Неустановившееся движение газа в пористой среде (дифференциальные уравнения Л.С. Лейбензона)

МИНИСТЕРСТВО  ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

УФИМСКИЙ  ГОСУДАРТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра разработки и эксплуатации

газовых и газоконденсатных месторождений

 

 

 

 

 

Курсовая  работа по дисциплине

«Подземная  гидромеханика»

 

на тему:

«Неустановившееся движение газа в пористой среде

(дифференциальные  уравнения Л.С. Лейбензона)»

 

 

Введение

 

Подземная гидромеханика – наука о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых горных породах. Она является той областью гидромеханики, в которой рассматривается не движение жидкостей и газов вообще, а особый вид их движения- фильтрация, которая имеет свои специфические особенности. Она служит теоретической основой разработки нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений. Вместе с тем методами теории фильтрации решаются важнейшие задачи гидрогеологии, инженерной геологии, гидротехники, химической технологии и т. д. Расчет притоков жидкости к искусственным водозаборам и дренажным сооружениям, изучение режимов естественных источников и подземных потоков, расчет фильтрации воды в связи с сооружением и эксплуатацией плотин, понижением уровня грунтовых вод, проблемы подземной газификации угля, задачи о движении реагентов через пористые среды и специальные фильтры, фильтрация жидкостей и газов через стенки пористых сосудов и труб – вот далеко не полный перечень областей широкого использования методов теории фильтрации.

Начало развитию подземной гидромеханики было положено французским инженером А- Дарси (1803-1858 гг.). который в процессе работы над проектом водоснабжения г. Дижона (Франция) провел многочисленные опыты по изучению фильтрации воды через вертикальные песчаные фильтры.

В опубликованной в 1856 г. замечательной книге А. Дарси  дал подробное описание своих  опытов и сформулировал обнаруженный им экспериментальный закон, в соответствии с которым скорость фильтрации жидкости прямо пропорциональна градиенту  давления.

В эти  же годы другой французский инженер  Ж. Дюпюи (1804-1866 гг.) опубликовал монографию, в которой впервые изложил гидравлическую теорию движения грунтовых вод, вывел формулы для расчета дебитов колодцев и дрен, названные его именем, решил другие фильтрационные задачи.

Л. С. Лейбензон (1879-1951 it. ) – основатель советской школы ученых и специалистов, занимающихся развитием теории фильтрации применительно к проблемам разработки нефтяных и газовых месторождений.

Теоретические и экспериментальные исследования Л. С. Лейбензона начались в 1921 г. в Баку. Ему принадлежит приоритет в постановке и решении ряда задач нефтегазовой и подземной гидромеханики. Им проведены первые исследования по фильтрации газированных жидкостей, сформулированы задачи нестационарной фильтрации при расчетах стягивания контуров нефтеносности при вытеснении нефти водой, получены фундаментальные результаты в развитии теории фильтрации природного газа.

Обобщение этих исследований приведено в обширной монографии «Нефтепромысловая механика», я которой, по существу, впервые изложены осноды нефтегазовой подземной гидромеханики.

Трудами учеников и последователей академика  Л. С. Лейбензона сложилась школа, которая по праву называется школой Л. С . Лейбензона.

В последние  годы ведутся интенсивные исследования в области гидрогазодинамического обоснования повышения степени извлечения углеводородов из недр, Это обусловлено исчерпанием легкодоступных запасов нефти и газа, усложнением горно-геологических и термобарических условий разработки месторождений. Наступает новый этап развития нефтегазовой подземной гидромеханики, в течение которого главным направлением исследований будет достижение достаточно высоких коэффициентов нефтегазоотдачи пластов.

Следует отметить, что фундаментальные гидродинамические  аспекты этой проблемы успешно развиваются  работами исследователей, которые широко привлекают методы термодинамики, физики, химии, а также современный аппарат математического описания сложных фильтрационных процессов.

Основоположниками отечественной школы теории фильтрации являются профессор И.Е. Жуковский, академики Н.Н- Павловский, Л. С. Лейбензон. Исследования этих выдающихся ученых, их многочисленных учеников и последователей стали фундаментальной основой развития теории фильтрации в нашей стране.

Н.Е. Жуковский (3847-1921 гг.) в 1S89 г. опубликовал первую работу по теории фильтрации «Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод». Им впервые выведены общие дифференциальные уравнения теории фильтрации, показано что напор как функция координат удовлетворяет уравнению Лапласа, указано на. математическую аналогию теплопроводности и фильтрации. Им исследованы также вопросы капиллярного поднятия воды в пористой среде решен ряд задач о притоке воды к скважинам.

Н.Н. Павловскому (1884-1937 гг.) принадлежит определяющая роль В развитии теории фильтрации в гидротехническом направлении. В о публике ваян ой монографии «Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные приложения» изложена разработанная им строгая математическая теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями. Им впервые многие задачи фильтрации воды были сформулированы как краевые задачи математической физики. Н.Н. Павловский впервые обосновал и предложил применение метода электрогидродинамической аналогии (ЭГДА) для решения фильтрационных задач, что в последующем нашло широкое применение для решения задач фильтрации воды, нефти и газа в неоднородных коллекторах.

Н.Н. Павловский впервые предложил использовать параметр Рейнольдса а качестве критерия существования закона Дарси, что имеет важное значение для исследования законов сопротивления при фильтрации, Фундаментальные результаты в развитии теории движения грунтовых вод получены академиком П. Я. Полубариновой-Кочиной.

Л. С. Лейбензон (1879-1951 гг. ) – основатель советской школы ученых и специалистов, занимающихся развитием теории фильтрации применительно к проблемам разработки нефтяных и газовых месторождений.

Теоретические и экспериментальные исследования Л. С. Лейбензона начались в 1921 г. в Баку. Ему принадлежит приоритет в постановке и решении ряда задач нефтегазовой и подземной гидромеханики. Им проведены первые исследования по фильтрации газированных жидкостей, сформулированы задачи нестационарной фильтрации при расчетах стягивания контуров нефтеносности при вытеснении нефти водой, получены фундаментальные результаты в развитии теории фильтрации •природного газа.

Обобщение этих исследований приведено в обширной монография «Нефтепромысловая механика», в которой, по существу, впервые изложены осноды нефтегазовой подземной гидромеханики.

Трудами учеников и последователей академика  Л. С. Лейбензона сложилась школа, которая по праву называется школой Л. С . Лейбензона.

 

 

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА

 

1.1 Вывод дифференциального уравнения Лейбензона

 

Основы  теории движения газа в пористой среде  были разработаны основателем советской  школы нефтегазовой гидромеханики  академиком Л. С. Лейбензоном. Он впервые получил дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарен. Полученное им нелинейное дифференциальное уравнение параболическою типа впоследствии было названо уравнением Лейбензова.

При выводе указанного уравнения предполагалось, что коэффициенты пористости и проницаемости  не изменяются с давлением, т.е. пласт  недеформируем, вязкость газа также не зависит от давления, газ совершенный. Принимается также, что фильтрация газа в пласте происходит по изотермическому закону, т.е. температура гида и пласта остается неизменной по времени. Впоследствии один из учеников Л. С. Лейбензона – Б.Б. Лапук в работах, посвященных теоретическим основам разработки месторождений природных газов. Показал, что неустановившуюся фильтрацию газа можно приближенно рассматривать как изотермическую, так как изменения температуры газа, возникающие при изменении давления, в значительной мере компенсируются теплообменом со скелетом пористой среды, поверхность контакта газа с которой огромна. Однако при рассмотрении фильтрации газа в призабойной зоне неизотермичность процесса фильтрации сказывается существенно вследствие локализации основного перепада давления вблизи стенки скважины. Кстати, на этом эффекте основано использование глубинных термограмм действующих, скважин для уточнения профиля притока газа по толщине пласта (глубинная дебитометрия). При рассмотрении процесса фильтрации в пласте в целом этими локальными эффектами допустимо пренебрегать.

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа воспользуемся  уравнением, которое справедливо для любого сжимаемого флюида

 

       (1)

 

где коэффициенты проницаемости (k) и вязкости (динамической ) постоянны.

Функция Лейбензона для совершенного газа определяется по формуле

 

         (2)

 

Продифференцируем выражение (2) по координатам 2 раза

 

^{, ,}

         (3)

 

Преобразуем правую часть уравнения (1). Считая пористость т₀ постоянной и учитывая, что для совершенного газа

 

, (4) получим:

^.          (5)

 

Подставив выражения (3) и (5) в уравнение (1), получим

 

       (6)

 

Выражение в скобке представляет собой оператор Лапласа относительно р², поэтому уравнение (6) можно кратко записать в виде

 

.           (7)

 

Полученное  дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации совершенного газа (6) называется уравнением Л. С. Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Подчеркнем, что оно справедливо для совершенного газа при выполнении закона Дарси. Изменением коэффициента пористости пренебрегают потому, что он входит в уравнение (1) в виде произведения , в котором плотность газа меняется в гораздо большей степени, чем пористость.

Уравнение Лейбензона (6) можно записать по-другому, умножив правую и левую части на давление р и заменив

 

;

       (8)

 

В такой  записи под знаками производных  по координатам и по времени находится  одна и та же функция р², но коэффициент в правой части kp/( ) переменный, в него входит искомая функция р(х, у, z, t).

Нетрудно  показать, что неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния  и с учетом зависимости коэффициента вязкости от давления и недеформируемости пористой среды ( =const, k =const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа

 

 9)

 

Для решения  конкретных задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (6) или (8) должно быть проинтегрировано по всей области  газовой залежи при заданных начальных  и граничных условиях. Простейшие виды этих условий следующие.

Продуктивный  пласт или выделенную из него часть  можно рассматривать как некоторую  область пространства, ограниченную поверхностями – границами. Границы  могут быть непроницаемыми для флюидов, например кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхность является также поверхность, по которой пласт  сообщается с областью питания, (с  дневной поверхностью, с естественным водоемом), это так называемый контур питания; стенка скважины служит внутренней границей пласта.

Чтобы получить решение системы уравнений, к  ним необходимо добавить начальные  и конечные условия.

Начальное условие заключается в задании  искомой функции во всей области  в некоторый момент времени, принимаемый  за начальный. Например, если искомой функцией является пластовое давление то начальное условие может иметь вид

 

 при t=0        (9.1)

 

т.е. в  начальный момент задается распределение  давления во всем пласте.

Если  в начальный момент пласт не возмущен, то начальное условие примет вид

 

 при t=0.        (9.2)

 

Граничные (краевые) условия задаются на границах пласта. Число граничных условий  должно быть равно порядку дифференциального  уравнения по координатам.

Возможны  следующие граничные условия.

І. На внешней  границе Г:

1). постоянное давление

p(Г,t)=p_к=const, (9.3) т.е. граница является контуром питания;

2). Постоянный  переток через границу при выполнении закона Дарси 

 

,

 

где n – нормаль к границе Г, откуда следует, что

 

;          (9.4)

 

3). Переменный  переток через границу

 

;           (9.5)

 

4). Замкнутая  внешняя граница

 

;           (9.6)

 

5). Бесконечный  по простиранию пласт

 

.        (9.7)

 

ІІ. На внутренней границе:

6). Постоянное  давление на забое скважины  радиусом r_c

 

 при        (9.8)

 

7). Переменное  давление на забое скважины

 

 при         (9.9)

 

8). Постоянный  дебит; это условие при выполнении  закона Дарси можно представить  следующим образом:

 

       (9.10)

или

 при         (9.11)

 

где - площадь боковой поверхности скважины; h – толщина пласта;

9). Переменный  дебит

 

 при ;         (9.12)

 

10). Отключение  скважины

 

 при ;         (9.13)

 

Так как  уравнение (6) или (8) представляет собой  сложное нелинейное уравнение в  частных производных, оно в большинстве  случаев не имеет точных аналитических  решений. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или  решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны.

Численные методы решения различных задач  фильтрации газа на основе уравнения  Л. С. Лейбензова также достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. При этом наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории .фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, и, в частности, изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентностъ газа и т. д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л. С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Так, оказалось что использование функции Лейбензона в форме (2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтраций во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа от температуры.