Кристаллографические проекции

Содержание:

 

1. Сферическая проекция…………………………………………………………4

2. Стереографическая проекция………………………………………………….5

3.  Гномостереографическая  проекция………………………………………………7

4.  Гномоническая проекция………………………………………………………8

5. Сетка  Вульфа…………………………………………………………………..10

6. Список литературы…………………………………………………………….13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ  ПРОЕКЦИИ.

 

Для решения многих кристаллографических задач применяют схематические проекции. Наиболее разностороннее применение имеет проекция стереографическая. Ее удобно использовать для обзора положения граней, поясной зависимости, для выявления оптических свойств и даже для вычерчивания кристаллов.[1]

Согласно закону постоянства  углов, характерными параметрами любого кристаллического вещества являются углы между гранями кристалла (т.е. между определенными плоскими сетками в структуре). При росте кристалла могут меняться размеры и форма граней, но углы между гранями остаются неизменными. Поэтому форму кристаллического многогранника, расположение его элементов симметрии, анизотропию свойств можно характеризовать набором углов между гранями.

В кристаллографии чаще пользуются углами между нормалями к граням; именно эти углы определяются по гониометрическим измерениям и рентгенограммам. Зная углы между нормалями к граням, можно мысленно заменить кристаллический многогранник его полярным комплексом, т. е. совокупностью полупрямых, перпендикулярных граням кристалла и проходящих через одну точку в центре

комплекса (рис. 23).

 

 

Если грань расположена так, что нормаль к ней не проходит через центр комплекса, то нормаль (или грань) следует перенести параллельно самой себе, что не нарушает угловых соотношений.

 

 

 

Сферическая проекция

Из точки пересечения  прямых на Рис. 23, б опишем сферу (рис. 24,а).

Пересечение нормалей к  граням кристалла с поверхностью сферы представляет собой сферическую проекцию этих нормалей (рис. 24, б). Каждая нормаль (как и любое другое направление) проецируется на поверхность сферы проекций в виде точки. На рис. 24, в представлена отдельно полная сферическая проекция кристалла. Каждой из точек проекции отвечает одна из граней кристалла.

Сферическую проекцию можно строить без замены граней кристалла их нормалями. В этом случае все грани кристалла путем параллельного переноса перемещают в центр сферы проекций (получают так называемый кристаллический комплекс) и строят следы пересечения этих граней со сферой проекций.

Положение любой точки  на поверхности сферы проекций можно охарактеризовать двумя сферическими координатами: р — полярное расстояние, отсчитываемое по любому направлению от нуля (северный полюс) до 180° (южный полюс); ф — долгота, отсчитываемая по экватору от меридиана, принятого за нулевой меридиан (рис. 25).

 

Сферическая проекция кристалла наглядна, но для практического применения ее следует спроецировать на плоскость и пользоваться стереографическими, гномостереографическими и гномоническими проекциями.

Стереографическая проекция

За плоскость стереографической  проекции Q выбирается экваториальная плоскость, на которую сфера проецируется в виде круга проекций (рис.26). В одном из полюсов этой сферы помещается точка зрения («глазная точка»)  S.

 

Чтобы спроецировать  прямую, например ОА, проводим линию AS от полюсной точки А этого направления на сфере проекций до точки зрения 5. Точка а пересечения линии AS с кругом проекций есть стереографическая проекция направления ОА.

Стереографические проекции направлений изображаются точками внутри круга проекций (рис. 27).

 

 

Очевидно, вертикальное направление проецируется как точка в центре круга проекций, горизонтальное — как две точки на экваторе. Плоскость, проходящая через точку О и пересекающая сферу, проецируется на стереографическую проекцию в виде соответствующей дуги большого круга. Чтобы не загружать чертежа, проецируют только пересечение плоскости с верхней полусферой, а нижнюю часть плоскости обычно не проецируют.

Стереографические проекции горизонтальных плоскостей (рис. 28)

представляют собой окружности, совпадающие с границами круга проекций; проекции вертикальных плоскостей совпадают с диаметрами круга проекций, а проекции наклонных плоскостей изображаются дугами, опирающимися на концы диаметра круга проекций.

Важнейшие свойства стереографической проекции:

1.  Все грани кристаллов на проекции изображаются точками.

2.  Проекции окружностей  на поверхности сферы являются также окружностями, если их плоскости проходят через центр сферы — это большие круги, аналогичные земным меридианам. Если плоскости круга не проходят через центр сферы, то они образуют малые круги.

Большие круги, проходящие через точку наблюдения, изображаются на проекции диаметрами, аналогично меридианам земного шара, когда южный или северный полюс является точкой наблюдения.

Остальные большие окружности сферы проецируются в виде двух дуг, точки пересечения которых лежат на основной окружности и одном и том же диаметре.

3.  Проекции всех  полюсов граней одного пояса  лежат на большой окружности, удаленной от проекции полюса этого пояса на угловое расстояние, равное 90°. Это обстоятельство является простым следствием того факта, что ось пояса и нормаль к   грани взаимно перпендикулярны.

4.  Стереографическая  проекция сохраняет величины  углов неизменными, показывает зависимость между углами кристалла и углами проекции.[2]

Гномостереографическая  проекция

Эта проекция чаще всего  применяется для изображения  кристаллических многогранников. При  этом проецируется не многогранник, а его полярный комплекс, т. е. не грань кристалла, а нормаль к грани.

Плоскостью гномостереографической проекции, как и стереографической, служит экваториальная плоскость сферы проекций. Гномостереографическая проекция кристалла представляет собой совокупность сте реографических проекций нормалей к граням кристалла.

Чтобы получить гномостереографическую проекцию плоскости, проводят нормаль  к этой плоскости до пересечения со сферой проекций и далее линию, соединяющую полученную полюсную точку с точкой зрения S (см. рис. 26).

Чтобы построить гномостереографические проекции нормалей, пересекающих шар в нижней полусфере, переносят точку зрения в северный полюс сферы N (рис. 29),

иначе нормали спроецировались  бы вне круга проекций. Проекции граней, расположенных выше плоскости проекции, обозначают кружками, а ниже — крестиками. (Иногда верхнюю грань изображают пустым кружком, нижнюю — зачерненным.)

Горизонтальные грани  проецируются в центре круга проекций (верхняя — кружком, нижняя — крестиком), вертикальные грани — на самом круге проекций, а косые грани — внутри него. Чем круче наклон косой грани, тем дальше от центра располагается проецирующая ее точка.

На рис. 30 приведена  гномостереографическая проекция граней кристалла,

 

показанного на рис. 23, а и 24. Гномостереографические проекции направлений (ребер кристалла) изображаются так же, как и нормали к граням (см. рис. 28).

Большой круг, центром  которого является центр круга проекций, есть геометрическое место полюсов всех вертикальных граней, а нормали к ним лежат в горизонтальной плоскости (и именно в плоскости большого круга). Комплекс граней, нормали к которым лежат в одной плоскости, образует зону, т. е. совокупность граней, параллельных одному ребру — так называемой оси зоны. Проекции граней, принадлежащих одной зоне (таутозональные грани), располагаются на одной дуге большого круга.

Гномоническая проекция

Часто наряду со стереографической проекцией применяется и гномоническая. Возможности ее приме-

нения не так широки, но в некоторых случаях она нагляднее; например, на ней пояса легко распознаются без применения дополнительных сеток. Легко читаются на ней и символы граней, принадлежащих одному поясу (тавтозональных граней). Такой вид проекции широко применяется в рентгеноструктурном анализе.

Плоскость гномонической проекции параллельна плоскости стереографической и гномостереографической проекций, но она не экваториальная, а касательная к северному полюсу сферы проекций (рис. 31).

 

Нормаль к  грани кристалла, проведенная из центра сферы проекций, продолжается до пересечения с плоскостью проекции. Гномоническая проекция плоскости представляет собой точку, проекция направления — прямую. Проекция граней одной зоны лежит на одной прямой. Полюсы граней, перпендикулярных плоскости проекции, отодвигаются в бесконечность. Их положения на проекции указываются стрелками (рис. 32).

 

Недостатком гномонической  проекции является то, что в ней не сохранены угловые соотношения: углы между линиями зон на проекции не равны углам между соответствующими плоскостями одной зоны на кристалле. Большим же преимуществом этой проекции является то, что координаты точек прямо пропорциональны индексам Миллера.

 

Соотношения между  сферической, стереографической, гномостереографической и гномонической проекциями.

 

Принцип построения стереографической и гномостереографической проекций одинаков; различие заключается в том, что стереографическая проекция строится по комплексу граней кристалла, гномостереографическая — по полярному комплексу. Практически их часто совмещают на одном чертеже, изображая элементы симметрии кристалла с помощью стереографической проекции, а грани и ребра — с помощью гномостереографической (см. рис. 27 и 28).

Соотношения между всеми  вышеописанными типами проекций показаны на рис. 34.

 

 

Проекция направления Оа дает на сферической проекции точку а, на гномонической проекции        (плоскость ММ) - точку а₂, на стереографической проекции (плоскость РР) — точку а₁. На гномостереографической проекции (плоскость РР) точка а₂ — это проекция плоскости, перпендикулярной направлению Оа. Угловые соотношения легко найти по рисунку.

 

Сетка  Вульфа

Для решения количественных задач с помощью стереографической и гномостереографической проекций пользуются обычно градусными сетками. Наиболее употребительна сетка Вульфа.

Сетка Вульфа (рис. 35 и  форзац) — это стереографическая  проекция всей системы меридианов и  параллелей, нанесенных на поверхность сферы.

 

 

Плоскостью проекций является плоскость одного из меридианов. Положение любой точки на сетке Вульфа определяется ее сферическими координатами ф и р.

Сетка Вульфа стандартно чертится на круге диаметром 20 см, линии  параллелей и меридианов проводят через 2°. Расстояния между ними можно разделить на глаз еще на 4 части, т. е. работать с точностью до 0,5°.

Правила работы с сеткой Вульфа:

1) приготовляют наклеенную на картон сетку Вульфа (рис. 35), кальку, остро отточенный

твердый карандаш;

2. сетку располагают так, чтобы ее экватор был горизонтален. На сетку кладут кальку, крестиком отмечают центр проекции, а горизонтальной черточкой на правом конце экватора сетки — нулевую точку. По этим двум отметкам всегда можно привести чертеж в исходное положение;
3. вся работа выполняется на кальке. Не допускаются никакие отметки на самой сетке;
4. все построения производятся путем концентрических вращений сетки. При поворотах чертежа нельзя фиксировать иглой ось поворота: от этого не только портится сетка, но и делается менее отчетливым центр чертежа, что очень существенно сказывается на точности решения задач.

Приведем примеры решения  задач с помощью сетки Вульфа.[3]

1. Построить стереографическую проекцию точки, заданной координатами ф и р.

      Решение:

1) накладываем кальку  на сетку, отмечаем крестиком  центр проекции и черточкой — нулевую точку (Ф=0°);

2) отсчитываем заданный угол ф от ф_о = 0° по основному кругу проекций по часовой стрелке и отмечаем точку на круге;

3) поворачиваем кальку так, чтобы найденная точка попала на конец одного из диаметров сетки

(при вращении необходимо следить, чтобы центр кальки совпадал с центром сетки);

4) по данному диаметру  отсчитываем р, ведя отсчет от центра сетки (р_о = 0) по одному из ее диаметров.

Для углов 0° меньше р меньше 90° проекции обозначают кружочками.

Если 90°< р< 180°, отсчет продолжается за плоскость чертежа. Такую точку, находящуюся как бы под

плоскостью чертежа, т. е. «невидимую» для наблюдателя, обозначают крестиком.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Шаскольская М. П., Кристаллография, “ВЫСШАЯ ШКОЛА” М, 1984

 

2. Лейтвейн Ф., Зоммер-Кулачевский Ш., Кристаллография, “ВЫСШАЯ ШКОЛА”

М, 1968

 

3. Левицкий И. А., Дащинский Л. Г. Минералогия и кристаллография. Мн.: БТИ им. С. М. Кирова, 1992 г.