Задача коммивояжера

Задача коммивояжера, известная также как задача о сверлильном станке или алгоритм коммивояжера была поставлена в 1934 году. Эта задача является одной из знаменитых задач теории комбинаторики и широко применяется при разработке программного обеспечения. 

Задача коммивояжера: сущность и применение на практике
Задача коммивояжера – задача математического программирования по определению оптимального маршрута движения коммивояжера, цель которого состоит в том, чтобы посетить все объекты, записанные в задании, за кратчайший срок и с наименьшими затратами. В теории графов – это поиск пути, связывающего два или более узла, с использованием критерия оптимальности.
Задача коммивояжера является типичной задачей оптимизации, которая широко применяется при разработке программного обеспечения. Задача о коммивояжере является упрощенной моделью для многих других задач дискретной оптимизации, а также часто является подзадачей. В своей области (оптимизации дискретных задач) она служит своеобразным катализатором, стимулирующим разработку наиболее эффективных методов, алгоритмов и способов их машинной реализации.
Задача коммивояжера формулируется очень просто: на плоскости (в пространстве) расположены N городов, заданы расстояния между каждой парой городов. Требуется найти маршрут минимальной длины с посещением каждого города ровно один раз и с возвращением в исходную точку.
В задаче коммивояжера целевой функцией, которую надо минимизировать, является стоимость обхода.
Особенностью задачи о коммивояжере является необходимость дополнительно учитывать расстояния от города до города, которые предполагаются известными. Эти «расстояния» можно заменить на количество затраченного времени, стоимость проезда или предполагать другие произвольные значения. В общем случае мы даже не предполагаем, что стоимость проезда из I в J обязательно совпадает со стоимостью обратного проезда из I в J. Данная задача соединяет в себе простоту условия и сложность решения, обусловленную большими размерами поискового пространства. 
На графах задача формулируется следующим образом: требуется найти гамильтонов цикл наименьшей стоимости во взвешенном полном графе. Т.е. выйдя из стартовой вершины, посетить каждую вершину графа ровно один раз и вернуться в начальную по кратчайшему пути. 

Гамильтонов путь (или гамильтонова цепь) – путь (цепь), содержащий каждую вершину графа ровно один раз. Гамильтонов путь, начальная и конечная вершины которого совпадают, называется гамильтоновым циклом. 
Гамильтоновы путь, цикл и граф названы в честь ирландского математика У. Гамильтона, который впервые определил эти классы, исследовав задачу «кругосветного путешествия» по додекаэдру, узловые вершины которого символизировали крупнейшие города Земли, а ребра – соединяющие их дороги.
Существует несколько частных случаев общей постановки задачи, в частности:
- геометрическая задача коммивояжёра (также называемая планарной или евклидовой, когда матрица расстояний отражает расстояния между точками на плоскости);
-треугольная задача коммивояжёра (когда на матрице стоимостей выполняется неравенство треугольника);

-симметричная и асимметричная задачи коммивояжёра. 

Также существует обобщение задачи, так называемая обобщённая задача коммивояжёра.
Общая постановка задачи и большинство её частных случаев, относится к классу NP-сложных задач. Поэтому алгоритмы решения этой задачи делятся на точные и приближенные. Все точные алгоритмы фактически представляют собой оптимизированный полный перебор вариантов. В некоторых случаях эти алгоритмы достаточно быстро находят решения, но в общем случае приходится перебирать все n! циклов. 
При постановке задачи коммивояжера для k коммивояжеров на множестве из n+1 городов строится k замкнутых маршрутов по следующим правилам:
-один из городов, называемый базой входит во все маршруты;

-каждый из городов, исключая базу входит в ровно один из маршрутов;

-суммарная длина всех маршрутов минимальна.

Задача коммивояжера может быть решена с применением любой процедуры исчерпывающего поиска (полного перебора), однако на практике для ускорения процесса поиска необходимы и другие соображения, использующие специфику этой задачи. Решение задачи посредством полного перебора возможно лишь при наличии общих сведений о задаче или пространстве поиска. В общем случае задача разрешима в той степени, в которой исследование части пространства поиска дает существенную информацию о характере оставшейся части этого пространства. При попытке охарактеризовать пространство поиска может быть задано множество вопросов:
-Разбивается ли задача достаточно хорошо на совокупность более мелких подзадач?

-Существует ли точная, непротиворечивая информация о задаче?

-Ожидается ли, что в процессе решения задачи человек будет взаимодействовать с вычислительной машиной?

Задача коммивояжера имеет ряд практических применений. 
Как правило, речь идет либо о простом перемещением по заданным точкам, либо с развозом груза небольшого формата или веса на транспортном средстве, вмещающем большое количество единиц, что создает предпосылки для применения задачи коммивояжера. Примером реализации задачи на практике является составление оптимального маршрута человека для доставки продуктов в магазины с оптового склада; доставки бутилированной воды; обновления программных продуктов автоматизированного учета на предприятии; пополнения банкоматов наличными деньгами; сбора сотрудников для доставки вахтовым методом; расклейки афиш; сбора наличных денежных средств их терминалов и др. В этом случае вершинами являются места установки терминалов (банкоматов и т.д.) и «базовый пункт». Стоимостью каждого ребра (отрезка маршрута) является время в пути между двумя точками (вершинами) на маршруте.
Еще одно применение задачи коммивояжера – это задача о сверлильном станке. Данное применение задачи является сугубо специализированным приложением, которое заключается в оптимизации движений сверлильного станка ЧПУ для создания большого количества нерегулярно расположенных отверстий или сварочного робота. Сверлильный станок изготавливает металлические листы с некоторым количеством отверстий. Координаты отверстий известны. Необходимо найти кратчайший путь через все отверстия, а значит, и наименьшее время, затрачиваемое на изготовление одной детали. В данном случае, если такой станок делает миллион деталей в год, то даже миллиметровая выгода может сэкономить приличные средства. Этим объясняется стремление развитых стран затрачивать огромные финансовые ресурсы на инвестиции в информационные технологии. 
Внимание исследователей к этой задаче привлекает благодаря: большому количеству практических задач, которые к ней сводятся; сосредоточению характерных математических, алгоритмических вычислительных сложностей; простоте и прозрачности формулирования. 
Методы решения задачи коммивояжера
Задачи коммивояжера решаются посредством различных методов, выведенных в результате теоретических исследований. Все эффективные методы (сокращающие полный перебор) — методы эвристические. В большинстве эвристических методов находится не самый эффективный маршрут, а приближённое решение. Зачастую востребованы так называемые any-time алгоритмы, то есть постепенно улучшающие некоторое текущее приближенное решение.

Выделяют следующие группы методов решения задач коммивояжера, которые относят к простейшим:
-Полный перебор;

Полный перебор (или метод «грубой силы») — метод решения задачи путем перебора всех возможных вариантов. Сложность полного перебора зависит от количества всех возможных решений задачи. Если пространство решений очень велико, то полный перебор может не дать результатов в течение нескольких лет или даже столетий.
-Случайный перебор;

Обычно выбор решения можно представить последовательностью выборов. Если делать эти выборы с помощью какого-либо случайного механизма, то решение находится очень быстро, так что можно находить решение многократно и запоминать «рекорд», т. е. наилучшее из встретившихся решений. Этот наивный подход существенно улучшается, когда удается учесть в случайном механизме перспективность тех или иных выборов, т. е. комбинировать случайный поиск с эвристическим методом и методом локального поиска. Такие методы применяются, например, при составлении расписаний для Аэрофлота.
-Жадные алгоритмы (метод ближайшего соседа, метод включения ближайшего города, метод самого дешевого включения);

Жадный алгоритм – алгоритм нахождения наикратчайшего расстояния путём выбора самого короткого, ещё не выбранного ребра, при условии, что оно не образует цикла с уже выбранными рёбрами. «Жадным» этот алгоритм назван потому, что на последних шагах приходится жестоко расплачиваться за жадность. При решении задачи коммивояжера жадный алгоритм превратится в стратегию «иди в ближайший (в который еще не входил) город». Жадный алгоритм, очевидно, бессилен в этой задаче. Рассмотрим для примера сеть (рис. 1.1), представляющую узкий ромб. Коммивояжер стартует из города 1. Алгоритм «иди в ближайший город» выведет его в город 2, затем 3, затем 4; на последнем шаге придется платить за жадность, возвращаясь по длинной диагонали ромба. В результате получится не кратчайший, а длиннейший тур.



Рисунок 1.1
 

-Метод минимального остовного дерева (деревянный алгоритм);

В основе алгоритма лежит утверждение: «Если справедливо неравенство треугольника, то для каждой цепи верно, что расстояние от начала до конца цепи меньше (или равно) суммарной длины всех ребер цепи». Это обобщение расхожего убеждения, что прямая короче кривой.
Деревянный алгоритм для решения задачи коммивояжера будет следующим: строится на входной сети задачи коммивояжера кратчайшее остовное дерево и удваиваются все его ребра. В результате получаем граф — связный с вершинами, имеющими только четные степени. Затем строится эйлеров цикл, начиная с вершины 1, цикл задается перечнем вершин. Просматривается перечень вершин, начиная с 1, и зачеркивается каждая вершина, которая повторяет уже встреченную в последовательности. Останется тур, который и является результатом алгоритма.
Доказано, что деревянный алгоритм ошибается менее чем в два раза, поэтому такие алгоритмы называют приблизительными, а не просто эвристическими. 
-Метод имитации отжига.

Экзотическое название данного алгоритма связано с методами имитационного моделирования в статистической физике, основанными на технике Монте-Карло. Исследование кристаллической решетки и поведения атомов при медленном остывании тела привело к появлению на свет вероятностных алгоритмов, которые оказались чрезвычайно эффективными в комбинаторной оптимизации. Впервые это было замечено в 1983 году. Сегодня этот алгоритм является популярным как среди практиков благодаря своей простоте, гибкости и эффективности, так и среди теоретиков, поскольку для данного алгоритма удается аналитически исследовать его свойства и доказать асимптотическую сходимость. 
Алгоритм имитации отжига относится к классу пороговых алгоритмов локального поиска. На каждом шаге этого алгоритма для текущего решения ik в его окрестности N(ik) выбирается некоторое решение j и, если разность по целевой функции между новым и текущим решением не превосходит заданного порога tk, то новое решение j заменяет текущее. В противном случае выбирается новое соседнее решение. 
На практике применяются различные модификации более эффективных методов: 
-Метод ветвей и границ;

Метод ветвей и границ предложен в 1963 году группой авторов Дж. Литлом, К. Мурти, Д. Суини, К. Кэролом. Широко используемый вариант поиска с возвращением, фактически является лишь специальным частным случаем метода поиска с ограничениями4. Ограничения в данном случае основываются на предположении, что на множестве возможных и частичных решений задана некоторая функция цены и что нужно найти оптимальное решение, т.е. решение с наименьшей ценой. Для применения метода ветвей и границ функция цены должна обладать тем свойством, что цена любого частичного решения не превышает цены любого расширения этого частичного решения (Заметим, что в большинстве случаев функция цены неотрицательна и даже удовлетворяет более сильному требованию).

Столь большой успех применения данного метода объясняется тем, что авторы первыми обратили внимание на широту возможностей метода, отметили важность использования специфики задачи и сами воспользовались спецификой задачи коммивояжера.
В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества. На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше рекорда — наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы.
Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд — оптимальное решение задачи. В противном случае, из неотброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т.д.
-Метод генетических алгоритмов;

«Отцом-основателем» генетических алгоритмов считается Джон Холланд, книга которого «Адаптация в естественных и искусственных системах» (1975) является основополагающим трудом в этой области исследований.
Генетический алгоритм — это эвристический алгоритм поиска, используемый для решения задач оптимизации и моделирования путём случайного подбора, комбинирования и вариации искомых параметров с использованием механизмов, напоминающих биологическую эволюцию. Является разновидностью эволюционных вычислений. Отличительной особенностью генетического алгоритма является акцент на использование оператора «скрещивания», который производит операцию рекомбинации решений-кандидатов, роль которой аналогична роли скрещивания в живой природе.
Генетические алгоритмы служат, главным образом, для поиска решений в многомерных пространствах поиска.
-алгоритм муравьиной колонии.

Алгоритмы муравья, или оптимизация по принципу муравьиной колонии (название было придумано изобретателем алгоритма, Марко Дориго), основаны на применении нескольких агентов и обладают специфическими свойствами, присущими муравьям, и используют их для ориентации в физическом пространстве. Алгоритмы муравья особенно интересны потому, что их можно использовать для решения не только статичных, но и динамических проблем, например, в изменяющихся сетях.