Исследование устойчивости линейных систем

Министерство образования и науки Российской Федерации

Сибирский государственный аэрокосмический университет

имени академика М. Ф. Решетнева

 

 

 

Кафедра САУ

 

 

 

 

Расчетно-графическое задание №2

«Исследование устойчивости линейных систем»

Вариант №3

 

 

 

 

Выполнил: студент гр. БИС-01

Белова Н.В.

Проверил: Величко Е.В.

 

 

 

 

 

 

 

г. Красноярск – 2012

 

Цель: Исследование устойчивости линейных систем и синтез последовательного корректирующего устройства по заданным параметрам системы и показателям качества регулирования.

Ход работы:

Передаточной функцией звена W(S) называется отношение изображение преобразование Лапласа выходной и входной величин и любых начальных условий. Время, за которое переходной процесс становиться впредь меньше кого-то значения называется временем регулирования.

Перерегулирование системы - это относительное максимальное отклонение входной величины от установившегося значения.

Корректирующее устройства - это устройства, изменяющие динамические свойства системы с целью достижения желаемых характеристик, проявляется в изменении усиления отдельных гармоник или только в той области частот, которая оказывается существенной для формирования той или иной характеристики. Влияние корректирующих устройств на динамические свойства системы проявляется также и в изменении фазовой характеристики.

Под устойчивостью понимается способность динамической системы возвращаться в равновесное состояние после окончания действия возмущения, нарушившего это равновесие.

Запас устойчивости по фазе определяется величиной Dj, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе с частотой среза w_ср, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной DG допустимого подъема ЛАЧХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи разомкнутой цепи по отношению к его граничному по устойчивости значению

Общий вид передаточной функции:

 

 

Таблица 1 "Исходные данные"

вариант	3
K	40
ν	2
T1	0,25
x1	0,3
T2	0
T3	0,1
x3	0,5
a	0
T4	0
x4	0
S	3
γ	40
ωcр.ж	3,16
g(t)	6

 

 

 

W1=1

W2=10

Wср=50

W1ж=0,001

W2ж=0,218

W3ж=7,242

 

 

 

 

 

 

Формулы

g(t)=0,2*sin(0,1*w_ср(t))   Сигнал ошибки при гармоническом воздействии (1)

Emax=(g*Wg^ɣ)     Точность при гармоническом воздействии (2)

Рассчитываем W2 и W3 по заданному Wср и ɣ.

W2ж=(a*Wcp)/2(s-1)           (3)

W3ж=(Wcp*a)/2           (4)

Wж(S)= (1/W2*S+1)^S-1/S^ɣ*(1/W1*S+1)^S-ɣ*∏(1/W_i*S+1)    (5)

L_ky(w)=L_ж(w)-L₀(w)           (6)

ɣ=180-|φ(W_cз)|           (7)

L=20*log(k)           (8)

W=1/T             (9)

a=π/2-ɣ(Wcp)            (10)

Для определения запаса устойчивости по фазе, воспользуемся формулой 7.

ɣ=180-5*π/6=150

 

Передаточная функция  желаемой ЛАХ

 

 

Для определения запаса устойчивости по фазе, воспользуемся формулой 7.

ɣ=180-2*π/3=60

Система имеет больший запас устойчивости. Из этого следует, что мы правильно построили желаемою ЛАХ, так как нашей задачей было достижение увеличения запаса устойчивости  системы.

Передаточная функция корректирующего устройства:

 

 

 

Для нахождения установившейся ошибки, с которой система воспроизводит  выходной сигнал g(t), используем  формулу 2:

g(t)=0,1*sin(10*w_ср(t))

20lgK(Wg)=32

K(Wg)=10^(33/20)=44.668

Emax=4.477*10^(-3)*sin(63+3π/16)=4.365*10^(-3)

Из этого можно сделать вывод, что установившейся ошибка будет  достаточно мала.

Для построения переходного процесса в скорректированной системе  от входного воздействия 1(t), нахождение перерегулирование и время регулирования системы, замкнем функцию и выполним преобразование Лапласа

 

 

Время регулирования: Время перерегулирования:

Время регулирования: 250с 

 Перерегулирование (5.1-4.935)/4.935*100=3.3%

Вывод:

Переходной процесс в скорректированной  системе, полученный в ходе расчетов, является устойчивым и монотонно возрастающим, т.е. не меняющим знак первой производной выходной величины по времени.

Процесс обладает низким процентом  перерегулирования системы, т.е. колебательность системы достаточно мала.

Время регулирования системы достаточно велико, что может говорить о низком характере быстродействия системы.