Метод Крамера

Российский Университет  Дружбы Народов

Инженерный факультет

 

 

 

 

 

Курсовая работа по предмету

Вычислительные методы и  компьютерное моделирование в научных  исследованиях

по теме:

«Метод Крамера»

 

 

 

 

 

 

 

Приготовила:

Студентка группы ИСМ-103

Кононенко В.В.

Проверил:

Севастьянов А.Л.

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2013 г.

Содержание

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Постановка задачи

1.2 Методы раз обувка  задачи

2. Практическая часть

2.1 Архитектура программы

2.2 Описание программы

2.3 Контрольный пример  и результат машинного эксперимента

Вывод

Список литературы

Приложения

 

Введение

Вычислительная техника  в последние годы широко применяются  во всех сферах деятельности человека. Она стала катализатором научно-технического прогресса. Бурное развитие ЭВМ способствовал широкому процесса математизации науки, техники и хозяйства в целом. Именно разработка и применение математических методов решения прикладных задач на базе ЭВМ является предметом современной математики.

Математика - одна из древнейших наук - возникла из практических потребностей человека. Развитие математики способствовал общему научно-техническому прогрессу цивилизации, а потребности естествознания, техники и практической деятельности людей составляли перед математикой новые задачи и стимулировали ее развитие.

Развитие вычислительной математики тесно связано с развитием  программирования, которое идет по пути упрощения способов общения  человека с компьютером. На современном этапе развития возникают языки программирования приближенные к природным, развиваются проблемно ориентированные языки программирования, средства визуального программирования, создаются пакеты прикладных программ. Возникают и активно развиваются структурное программирование и специализированные языки для разработки структурированных программ.

Задание на курсовой проект предусматривает разработку программного обеспечения для решения задачи математического характера. Для ее реализации я выбрала язык Turbo Pascal 7.0.

Паскаль - гибкий и развернутый, в отношении типов данных, язык. Привлекательные его рекурсивные возможности, а также поддержка технологии объектно-ориентированного программирования.

Разработчиком данного языка был швейцарский ученый Никлаус Вирт, который создал Паскаль еще в 70-х годах. Турбо Паскаль фирмы Borland является расширением стандарта. Язык имеет также интегрированную среду, которая намного ускоряет и облегчает процесс разработки программ. Этот программный продукт прошел через 6 версий, после чего и появился Турбо Паскаль 7.0.

Главные особенности языка Turbo Pascal:

• Широкий спектр данных.
• Возможность обработки ленточных и структурных данных.
• Достаточный набор операторов управления разветвлениями и циклами.
• Хорошо развитый аппарат подпрограмм.
• Удобные конструкции работы с файлами.
• Большие возможности управления всеми ресурсами компьютера.
• Разнообразные стыковки с языком Ассемблера.
• Поддержка идей объектно-ориентированного программирования.

Курсовой проект состоит  из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Текст пояснительной записки набран и распечатан с использованием текстового редактора Word.

 

1. Теоретическая часть

1.1 Постановка задачи

 

Пусть дана система п линейных алгебраических уравнений с п  переменными

 (I = 1.2 ..... n) (1)

Систему (1) можно записать в виде одного матричного уравнения

AX = B, (2)

где

матрица коэффициентов   (индекс и указывает уравнение, которому принадлежит коэффициент, а индекс j - переменную, при которой он стоит),

  ,

соответственно столбец  свободных членов и столбец переменных.

Благоустроенная совокупность п чисел  , которая, будучи подставленной в систему (1) вместо  , превращает все уравнения в правильные числовые равенства, называется решением системы (1)

 

то она имеет единственное решение. Его можно вычислить по формулам Крамера.

 (K = 1,2, ..., n),

где матрицу   получают из матрицы А, заменив ее k-й столбец столбцом свободных членов.

Методы решения систем линейных уравнений можно разделить  на две группы: точные и итерационные.

Точными называют такие методы, которые позволяют найти точное решение системы (1) с помощью выполнения конечного числа арифметических операций в предположении, что все  вычисления выполняются точно (без  округлений), а коэффициенты системы  и свободные члены - точные числа. Но на практике все вычисления выполняются с ограниченным количеством десятичных разрядов, а иррациональные коэффициенты и свободные члены, если таковые имеются, заменяются рациональными числами. Поэтому в процессе вычисления прибегают к округлений, а это означает, что решения, которые вычисляются по точными методами, фактически являются приближенными числами с определенными погрешностями (погрешностями округления). К точным относятся метод Гаусса, метод квадратных корней, правило Крамера т.п..

Интерацийнимы называют такие  методы, которые позволяют найти  приближенное решение системы (1) с  заранее указанной точностью  путем выполнения конечного числа  арифметических операций, хотя сами вычисления могут проводиться и без округления, а коэффициенты и свободные члены  системы быть точными числами. Точное решение системы (1) с помощью итерационных методов может найти только теоретически как границу сходящегося бесконечного процесса. Решая системы уравнений итерационными методами, кроме погрешностей округления, нужно учитывать погрешность метода. К итерационных относятся метод итерации, метод Зейделя т.п..

В задании на курсовой проект предусмотрена разработка программного обеспечения для решения системы  линейных уравнений по формулам Крамера.

Программа должна обеспечивать выполнение следующих операций:

• ввод коэффициентов системы уравнений и свободных членов;
• вычисления определителей системы и нахождения решений системы;
• вывод систем уравнений и ее решения на экран.

Для реализации поставленной задачи в среде Turbo Pascal 7.0 разработана  программа KRAMER.PAS. Вышеперечисленные операции реализуются в программе с помощью процедур.

 

1.2 Методы решения задачи

 

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

  (1)

Систему (1) можно записать так:

                  , I = 1, 2, 3.  

Здесь - некоторые заданные числа, а x, y, z - неизвестные, которые  нужно найти.

Как уже известно, тройка чисел   называются решением системы (1), если при подстановке их в уравнение системы вместо x, y и z выйдут верные числовые равенства.

Рассмотрим сначала случай, когда все коэффициенты уравнений  системы (1) равны нулю:

 i = 1, 2, 3.

В этом случае, если все свободные  члены уравнений системы равны  нулю:

,

то очевидно, дорогая тройка чисел (x; y; z) является решением этой системы. Если свободные члены уравнений равны нулю, то система не имеет решений.

Рассмотрим теперь более  интересный случай, когда все коэффициенты уравнений системы (1) равны нулю. Пусть, например,  . Тогда система эквивалентна следующей:

Последнее уравнение этой системы умножим на   и изымаем почленно из первого уравнения, в результате получа уравнения

 

. (2)

Аналогично, умножил последнее  уравнение на   и изымая почленно из второго уравнения будем иметь

. (3)

Очевидно, что система

                 (4)

в которой первое уравнение  получается из (2), а второе из (3) умножением на  , эквивалентна системе (1).

Таким образом, если  0, то исследование системы (1) сводится к исследованию системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

                 (5)

Рассмотрим сначала случай, когда все коэффициенты уравнений  системы (5) равны нулю. Тогда, если свободные члены уравнений системы (5) равны нулю, то любая пара чисел (x; y) является решением системы (5) и, следовательно, дорогая тройка чисел (x; y; z), где

 

,

 

является решением системы (1). Если же хотя бы у одного из уравнений системы (5) свободный член не равен нулю, то система (5), то и система (1) не имеют решений.

Рассмотрим случай, когда  все коэффициенты уравнений системы (5) равны нулю. Пусть, например,

Первое уравнение системы (5) умножим на  , второе - на -   и добавим, после очевидных преобразований получим уравнение

где

 

Таким образом, если  , то система (5) эквивалентна системе

Если  , то очевидно, дорогая пара чисел (x; y), где

 

, (6)

является решением системы (5).

С (6) и последнего уравнения  системы (4) находим

 (7)

Аналогично, если   и  , то любая тройка чисел (x; y; z), где  , а y и z находятся в формулах (6) и (7), является решением системы (1).

Если  , а  , то система (5), а также система (1) не имеют решений.

Пусть теперь  . Тогда

.

Подставив это значение х  во второе уравнение системы (5), найдем

,

где

 

Подставив полученные значения x и y в третье уравнение системы (4), получим

,

где

.

Следует, если  , то система (1) имеет одно решение, которое находится по формулам:

.

Эти формулы и называются формулами Крамера.

 

 

2. Практическая часть 

 

2.1 Архитектура программы

 

Представленная программа  реализуется программой Kramer. Написанная на языке Паскаль. Она включает в себя ряд процедур, обеспечивающих выполнение ввода вычислений и вывода на экран решения задачи.

Для уменьшения объема тела программы используется модуль zast.tpu (листинг модуля добавляется к  проекту), в котором находятся  все главные компоненты, которые  используют процедуры (интерфейсы, описания и т.д.).

Перед описанием процедур осуществляется описание меток (раздел меток) и переменных (раздел переменных). Затем (после описания процедур) идет раздел операторов (тело программы), которая заключается в операторные скобки, т.е. Begin ... End. В нем указывается последовательность действий, которые должны использоваться ЭВМ.

Запуск программы осуществляется следующим образом:

• Способ. Из среды любой операционной оболочки путем запуска Kramer.exe (предварительно программа должна быть откомпилирована с опцией Destination Memory).
• Способ. Из главного меню интегрированной среды Turbo Pascal путем выбора опции Run (программа предварительно должна быть загружена в ОП - File, Open, Kramer.pas).

После запуска программы  любым способом она выдаст на экран  главное меню, которое предлагает одну из опций:

• О программе
• Ввод коэффициентов
• Результаты
• Выход

При выборе определенного  пункта активизируется соответствующая  процедура. Завершение работы программы и возврат в среду системы программирования Turbo Pascal осуществляется при выборе пункта меню "Выход". Программа осуществляет вычисления системы уравнений методом Крамера и выводит результаты на экран дисплея.

В программе используются следующие процедуры:

 Vvid - предназначена для ввода значений.

 Vyvid - предназначена для вычислений  и вывода результатов.

 

2.2 Описание программы

заголовок программы

подключения внешних модулей

описание меток

{004} - {007} описание переменных

{008} заголовок процедуры  vvid

начало процедуры

отключения графического режима

очистка экрана

установки цвета шрифта

вывод таблицы ввода

{014} - {025} ввод левой и  правой части уравнения в соответствующие  ячейки

конец процедуры vvid

заголовок процедуры vivid

начало процедуры

отключения графического режима