Программа вычисления определенных интегралов на языке программирования Паскаль

     Содержание

     Введение……………………………………………………………………3

     Глава 1. Решение определенных интегралов в системе Math Cad…5

1. Назначение и место системы MathCad……………………………..5
2. Примеры решения определенных интегралов в MathCad……...…6

     Глава 2. Решение определенных интегралов в системе Maple……10

1. Общая характеристика системы Maple………………………………10

2.2 Примеры  решения определенных интегралов  в Maple…………..…11

Глава 3. Программа вычисления определенных интегралов на языке программирования Паскаль…………………………………...13

3.1 Вычисления  интегралов с помощью программы «Интегрирование»…………………………………………………………..

     3.2 Исходный код программы……………………………………………17

     Заключение……………………………………………………………….20

     Литература……………………………………..…………………………22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Введение

     Интеграл  – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое.

     Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная диференциированию.

       Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему.

       В геометрическом виде для  функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .Рис.1 

     

Рисунок –1.

     Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b.

     Иными словами, решить определенный интеграл, значит найти значение функции в заданных границах.

     Целесообразно для вычисления определенных интегралов использовать средства информационных технологий, такие как: математические пакеты – МathCad, Maple и тд.

     Актуальность  работы заключается в том, что  на сегодняшний день использование компьютерных технологий при обучении имеет большие перспективы так как происходит постепенная компьютеризация преподавания дисциплин.

     Целью дипломной работы является выявление необходимости использования информационных технологий, а также выявление более удобного для обучения современного программного обеспечения  решения определенных интегралов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Глава 1. Решение определенных интегралов  в  системе Math Cad

     1.1 Назначение и место системы MathCad

     MathCAD представляет собой компьютерное программное обеспечение, которое используется с целью создания документации расчетов в научной и технологической сферах.

     Оригинальная  идея о создании MathCAD принадлежит  Алену Рэздоу, одному из основателей Mathsoft, развивающейся в рамках Parametric Technology. Программа действует таким образом, что математические задачи, связанные с решением уравнений и сложных выражений представлены в виде графического изображения.

     Использование современного программного обеспечения MathCAD призвано облегчить работу со сложными вычислениями, осуществляя их автоматически в соответствии с заданными параметрами. Также MathCAD способствует легкому пониманию сложных числовых выражений с помощью отображения их в качестве графического рисунка.

     В среде МаthСad доступны более сотни операторов и логических функций, предназначенных для численного и символьного решения технических проблем различной сложности. МаthСad содержит:

     – обширную библиотеку встроенных математических функций;

     – инструменты построения графиков различных типов;

     – среда создания текстовых комментариев и оформления отчетов;

     – конструкции, подобные программным  конструкциям языков программирования, позволяющие писать программы для  решения задач которые невозможно очень сложно решить стандартными инструментами пакета;

     – удобно организованную интерактивную  систему получения справки и  оперативной подсказки.  

     Пакет Mathcad популярен, пожалуй, более в инженерной, чем в научной среде. Характерной особенностью пакета является использование привычных стандартных математических обозначений, то есть документ на экране выглядит точно так же обычный математический расчет. Для использования пакета не требуется изучать какую-либо систему команд, как, например, в случае пакетов Mathematica или Maple. Пакет ориентирован в первую очередь на проведение численных расчетов, но имеет встроенный символический процессор Maple, что позволяет выполнять аналитические преобразования. В последних версиях предусмотрена возможность создавать связки документов Mathcad с документами Matlab. В отличие от упомянутых выше пакетов, Mathcad является средой визуального программирования, то есть не требует знания специфического набора команд. Простота освоения пакета, дружественный интерфейс, относительная непритязательность к возможностям компьютера явились главными причинами того, что именно этот пакет был выбран для обучения студентов численным методам.

     Основное  отличие МаthСad от других программных средств этого класса состоит в том, что математические выражения на экране компьютера представлены в общепринятой математической нотации – имеют точно такой же вид как в книге, тетради и на доске. 

2. Примеры решения определенных интегралов в MathCad

     Дифференцирование в математическом анализе неразрывно связано с интегрированием. Для  вычисления неопределенных интегралов в среде MathCAD используется оператор, который можно легко найти на панели Calculus. Под знаком интеграла пользователь должен ввести функцию, для которой он хочет найти первообразную, а после знака дифференциала — переменную, по которой будет производиться интегрирование.

     Неопределенные  интегралы — это, конечно же, хорошо, но все же на практике куда как чаще используются интегралы определенные. MathCAD прекрасно умеет справляться и с этим видом интегралов. Определенный интеграл отличается от неопределенного наличием пределов интегрирования. Фактически неопределенный интеграл — это функция (первообразная подынтегральной функции), в то время как определенный интеграл — это просто какое-то число. То есть его мы можем вычислить не только аналитически, но и численно, что позволяет нам рассчитывать значения определенных интегралов даже тогда, когда первообразная рассчитана быть не может. Оператор для расчета определенных интегралов в MathCAD’е находится на панели Calculus недалеко от оператора расчета неопределенных интегралов и отличается от него, как я уже совсем недавно говорил, наличием пределов сверху и снизу от символа интеграла. После того, как вы запишете подынтегральное выражение, переменную интегрирования и собственно пределы, можно ставить знак равенства или стрелочку для вычисления определенного интеграла. В первом случае интеграл будет вычислен численно, во втором — аналитически.

     В применении системы MathCAD для расчета  определенных интегралов есть немало тонких моментов, которые не возникали при расчете интегралов неопределенных. Особенно это касается численных методов расчета интегралов. Эти методы позволяют рассчитать даже такие интегралы, которые не поддаются аналитическому вычислению.

     Для численного вычесления определенного  интеграла нужно ввести определенный оператор интегрирования и указать числа в качестве пределов интегрирования. Затем ввести подынтегральную функцию и знак равно.

     В результате на экране появится численное  значение интеграла.  

     Пример 1. Вычислить интеграл

 

Пример 2. Вычислить интеграл

 

     Пример 3. Вычислить площадь фигуры ограниченной кривыми  и  

     Пример 4. Вычислить интеграл  

     Пример 5. Вычислить интеграл где нижний предел больше верхнего  

 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Глава 2. Решение определенных интегралов  в  системе Maple

1. Общая характеристика системы Maple

 

     Maple – это мощная вычислительная система, предназначенная для выполнения сложных вычислений как аналитическими так и численными методами. MAPLE содержит поверенные, надежные и эффективные символьные и численные алгоритмы для решения огромного спектра математических задач, включая широко известные библиотечные численные алгоритмы компании NAG (Numeric Algorithm Groop).

     Maple умеет выполнять сложные алгебраические преобразования и упрощения над полем комплексных чисел, находить конечные и бесконечные суммы, произведения, пределы и интегралы, решать в символьном виде и численно алгебраические (в том числе трансцендентные) системы уравнений и неравенств, находить все корни многочленов, решать аналитически и численно системы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

     В Maple включены пакеты подпрограмм для решения задач линейной и тензорной алгебры, Евклидовой и аналитической геометрии, теории чисел, теории вероятностей и математической статистики, комбинаторики, теории групп, интегральных преобразований, численной аппроксимации и линейной оптимизации (симплекс метод) а также задач финансовой математики и многих, многих других задач.

     Главным достоинством системы MAPLE является ее способность выполнять арифметические действия. При работе с дробями и корнями они не приводятся в процессе вычисления к десятичному виду, что позволяет избежать ошибок при округлении. При необходимости работы с десятичными эквивалентами в системе MAPLE имеется команда, аппроксимирующая значение выражения в формате чисел с плавающей запятой.

     Система Maple вычисляет конечные и бесконечные суммы и произведения, выполняет вычислительные операции с комплексными числами, легко приводит комплексное число к числу в полярных координатах, числовые значения элементарных функций, а также многих специальных функций и констант.

     Maple имеет также множество мощных инструментальных средств для вычисления выражений с одной и несколькими переменными. Систему Maple можно использовать для решения задач дифференциального и интегрального исчисления, вычисления пределов, разложений в ряды, суммирования рядов, умножения, интегральных преобразований (таких как преобразование Лапласа, Z-преобразование, преобразование Меллина или Фурье), непрерывных или кусочнонепрерывных функций.

     Пакет Maple весьма популярен в научных кругах. Пользователи характеризуют Maple как очень надежный и устойчиво работающий Пакет. Кроме аналитических преобразований пакет в состоянии решать задачи численно. Характерной особенностью пакета является то, что ряд других программных продуктов используют интегрированный символический процессор Maple. 

2. Примеры решения определенных интегралов в Maple

 

Определенные интегралы в Maple вычисляются с помощью 2 команд:

1. Прямого исполнения – int (f, x), где f – подынтегральная функция, х – переменная интегрирования.
2. Отложенного исполнения  – int (f, x), где команда int (f, x) выдает интеграл на экран в аналитическом виде.

 
 
 

Пример 1. Вычислить интеграл

     

     Пример 2.Вычислить интеграл

       

     Пример 3. Вычислить площадь фигуры ограниченной кривыми и  

     

     Пример 4. Вычислить интеграл

       

     Пример 5. Вычислить интеграл где нижний предел больше верхнего

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Глава 3. Программа вычисления определенных интегралов на языке программирования Паскаль

     3.1 Вычисления интегралов с помощью программы «Интегрирование»

Пример 1. Вычислить интеграл  

     Пример 2.Вычислить интеграл

     Пример 3. Вычислить площадь фигуры ограниченной кривыми  и