Решение нелинейных уравнений методом итерации

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ                                                                                                                  3                                                     

1.Теоретический  обзор                                                                                                4

1.1 Определение,  виды решения нелинейного уравнения                                       4

1.2 Метод простых  итераций                                                                                      4

2.Реализация  алгоритма                                                                                              7

3.Разработка  интерфейса                                                                                            8

4.Результаты                                                                                                               11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                                                                          12    

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ                                                       13                  

ПРИЛОЖЕНИЯ  А                                                                              14 
ВВЕДЕНИЕ 

     Решение нелинейных уравнений является сложной задачей. Не существует методов, которые гарантировали бы успех решения любой такой задачи.

     Для отдельных уравнений, наибольшую проблему представляет задача отделения решений (корней).

     Цель  работы: решить нелинейное уравнение  методом простой итерации и реализовать  данный метод в среде программирования Delphi.

     Достижение  поставленной цели потребовало решение  следующих задач:

• изучить метод простой итерации, применяемый при решении нелинейных уравнений;
• разработать вычислительный алгоритм метода простой итерации;
• составить программу решения систем нелинейных уравнений методом простой итерации в среде Delphi

   Объект  исследования – процесс решения нелинейных уравнений методом простой итерации.

   Предмет исследования – вычислительный алгоритм метода простой итерации в Delphi.

   Методы  исследования:

• теоретический анализ материала по вычислительным методам и компьютерному моделированию;
• система программирования Delphi;

 

 

      1.Теоретический обзор. 

     1.1 Определение, виды решения нелинейного  уравнения 

Под нелинейными уравнениями понимаются  алгебраические и трансцендентные уравнения вида:F(X)=0 , где х- действительное число, F(X)- нелинейная функция

     Решить  уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение  может иметь 0; 1; 2;...∞ корней. Существует много методов решения нелинейных уравнений:

1.Метод  перебора.

2.Метод  половинного деления. 

3.Метод  хорд.

4.Метод  касательных.

5.Метод  хорд-касательных. 

6.Метод  итераций. 

     1.2 Метод простых итераций 

     Рассмотрим  подробнее метод простых итераций:

 При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде      

x=f(x).                                                                       (1)

     Задаются  начальное значение аргумента x0 и точность ε. Первое приближение решения x1 находим из выражения x1=f(x0), второе - x2=f(x1) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле :

     xi+1 =f(xi).                                                                (2)

     Указанную процедуру повторяем пока |f(xi)|>ε. Условие сходимости метода итераций |f'(x)|<1.

 

2.Реализация  алгоритма

 

                                             -                                +

                                                              -

-

+

 

 

Блок-схема 1 – Решение нелинейного уравнения

 

3.Разработка  интерфейса 

  Сначала создадим главное окно программы, без  которой нам никак нельзя обойтись. Обозначим  на ней «ввод», «решение», «график» и «заставка». Это окно будет являться опорным пунктом для наших дальнейших действий. Обозначим его как Form1

Рисунок 1 – Form1 

   Далее, создадим другие «формы» для  последующей работы, на которые в  дальнейшем просто будем ссылаться: окно ввода данных – Form 2, 
 
 
 
 
 

Рисунок 2- Form 2 
 
 
 
 

     Окно вывод результата решения уравнения – Form 3,

 
 
 
 
 

Рисунок 3- . Form 3 

     Окно для визуализации метода итераций – Form 4,

Рисунок 4.- Form 4

     Теперь, после того как мы создали все  необходимые формы , можем приступать к создании программного кода , в  котором будем ссылаться на каждую из них. В этом коде нам необходимо будет:

1. для Form1- обеспечить ввод данных, для указания начального значения, а так же точность вычисления корня;

2. для Form2 - включить в программу;
3. для Form3- обеспечить вывод результата точного подсчета;

4. для Form4- обеспечить вывод графика, а так же создать возможность сохранения результата;

5. для Form5- включить в программу.

 

4.Результаты 

Пример 1.

Программа решает уравнение  Fn:=ln(x)+1.8.

Ввели начальные  данные Х0=4, Е=1

Получили ответ 3,18629436111989

Пример 2.

Программа решает уравнение Fn:=ln(x)+10.

Ввели начальные  данные Х0=4, Е=1

Получили  ответ 12,5203068033037

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

     В процессе создания курсовой работы были решены нелинейные уравнения методом простой итерации, а также был реализован данный метод в Delphi.

     Достижением поставленной цели потребовало решение  следующих задач:

1. изучение метода простой итерации, применяемый при решении нелинейных уравнений;
2. создание вычислительного алгоритма метода простой итерации;
3. составление программ решения нелинейных уравнений методом простой итерации в среде Delphi

     Этот  метод отличается от других тем, что  по сравнению с другими методами, он является одним из наиболее простых  методов определения корней системы  нелинейных уравнений.

      Анализ  результатов показывает, что программы  работают правильно и верно находят корни нелинейных уравнений с заданой точностью.

 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бакланов.-  М. 2005- 178 с
2. Бобровский, С.И. Delphi7. учеб. Пособие для студ. Среднего проф. образования / С.И. Бобровский. - СПб. 2006. – 736 с.
3. Губарь, Ю.В. Введение в математическое моделирование. курс лекций / Ю.В. Губарь - М. 2007 - 340 с.
4. Потемкин, И.А. Информатика. базовый курс. 2-е издание / И.А. Потемкин. – СПб. 2005. – 640 с.
5. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. учебник для вузов. В 2-х т. Т.1 / Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл 2005. – 416 с.
6. Ракитин, В.И. Практическое руководство по методам вычисления / В.И. Ракитин. - М. 2008 – 440 с.
7. Самарский, А.А.Численные методы / А.А. Самарский - М. 2005.- 324 с.
8. Сухно, И.В.Численные методы и программирование/ И.В. Сухно - Краснодар 2005.- 473 с.
9. Фаронов, В.В. Delphi Программирование на языке высокого уровня. учебник для вузов / В.В. Фаронов. – СПб.: Питер, 2003. – 640 с.

 

ПРИЛОЖЕНИЯ  А 

program Project1;

uses

Forms,

Unit1 in 'Unit1.pas' {Form1},

Unit2 in 'Unit2.pas' {Form2},

Unit3 in 'Unit3.pas' {Form3},

Unit4 in 'Unit4.pas' {Form4},

Unit5 in 'Unit5.pas' {Form5},

Unit6 in 'Unit6.pas' {Form6};

{$R *.res}

begin

Application.Initialize;

Application.CreateForm(TForm1, Form1);

Application.CreateForm(TForm2, Form2);

Application.CreateForm(TForm3, Form3);

Application.CreateForm(TForm4, Form4);

Application.CreateForm(TForm5, Form5);

Application.CreateForm(TForm6, Form6);

Application.Run;

end.

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, Menus, StdCtrls, Buttons;

type

TForm1 = class(TForm)

MainMenu1: TMainMenu;

ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ А 

N1: TMenuItem;

N2: TMenuItem;

N3: TMenuItem;

N4: TMenuItem;

N5: TMenuItem;

N6: TMenuItem;

procedure N2Click(Sender: TObject);

procedure N4Click(Sender: TObject);

procedure N5Click(Sender: TObject);

procedure N6Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

implementation

uses Unit2, Unit3, Unit4, Unit5;

{$R *.dfm}

unit Unit2;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,