Автор работы: Пользователь скрыл имя, 22 Сентября 2014 в 17:03, реферат
Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из состояния равновесия и прекращения действия возмущения. Устойчивость – это одно из основных требований, предъявляемых к системе. Если система не устойчива, то она не работоспособна. Рассмотрим математическое понятие устойчивости.
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Омский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Автоматика и системы управления»
1. Введение
(1)
где - представляет собой общее решение однородного уравнения и определяет переходный процесс; – представляет собой частное решение неоднородного уравнения и определяет установившийся режим.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
, (2)
где: Ск – постоянные интегрирования, которые зависят от начальных условий; – корни характеристического уравнения:
Рассмотрим характер решения при различных значениях корней характеристического уравнения.
4) Пусть корни комплексно – сопряженные кратные
Для того чтобы система была устойчивой решение должно удовлетворять условию
(3)
Это условие выполняется, если корни характеристического уравнения системы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости P.
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы корни ее характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости P.
Характеристическое уравнение системы можно представить в виде:
(4)
Если уравнение содержит хотя бы один положительный корень, то хотя бы один коэффициент характеристического уравнения будет отрицательным. Необходимое, но недостаточное условие устойчивости (при n > 2) системы – это положительность коэффициентов характеристического уравнения.
Для нахождения корней характеристического уравнения необходимо решать алгебраические уравнения. Аналитическое решение уравнений 3-го и 4-го порядка громоздки, а уравнение выше 4-го порядка не имеют аналитического решения.
В теории автоматического управления разработан ряд так называемых критериев устойчивости, которые позволяют, не решая уравнений определять устойчивость систем.
2. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при а0 >0 определитель Гурвица, составленный для характеристического уравнения, и все его диагональные миноры были положительны.
Определитель Гурвица имеет вид:
(5)
Диагональные миноры определяются соотношениями
(6)
Рассмотрим частные случаи
1) Для системы первого порядка (n = 1) характеристическое уравнение имеет вид:
Условие устойчивости:
2. Для системы второго порядка (n=2) характеристическое уравнение имеет вид:
Условие устойчивости:
4. Для системы третьего порядка (n = 3) характеристическое уравнение имеет вид:
Условие устойчивости:
Для систем 1-го и 2-го порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости системы. Для системы 3-го порядка должно выполняться дополнительное условие
Достоинство критерия:
1) Высокая точность, так как это алгебраический критерий.
2) Простота для систем невысокого порядка.
Недостатки критерия:
1) Необходимо иметь математическое описание системы.
2) Сложность применения для систем высокого порядка.
Рассмотрим примеры определения устойчивости по критерию Гурвица.
Пример 1. Определить устойчивость системы, если ее характеристическое уравнение имеет вид:
Условие устойчивости не выполняется, следовательно, система не устойчива.
Пример 2. Определить устойчивость если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
.
Решение:
1. Определяем передаточную функцию замкнутой системы
2. Запишем характеристическое уравнение и условие устойчивости
.
Условие устойчивости выполняется, следовательно, система устойчива.
Пример 3. Для заданной системы (рисунок 1) определить условие устойчивости и критический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости.
Решение:
3. Определяем передаточную функцию разомкнутой системы
4. Определяем передаточную функцию замкнутой системы
5. Запишем характеристическое уравнение и условие устойчивости
4. Определим критический
3. Критерий устойчивости Михайлова
Для оценки устойчивости систем управления кроме алгебраических критериев, используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.
Доказательство частотных критериев базируется на следствии из принципа аргумента.
Допустим, задан полином
(7)
|
| ||
Если система n – го порядка содержит m неустойчивых полюсов, то угол поворота вектора D (jw) равен:
(8)
Формулировка критерия Михайлова:
Замкнутая система автоматического управления устойчива, если характеристическая кривая (годограф Михайлова), начинаясь на положительной вещественной оси в точке an, при изменении частоты 0£ w £ ¥ последовательно проходит число квадрантов равное степени характеристического полинома.
При этом:
(9)
Пример 4. Допустим, задан характеристический полином системы
Годограф устойчивой системы имеет вид (рисунок 3a).
Пример 5. Допустим, задан характеристический полином системы
Годограф устойчивой системы имеет вид (рисунок 3б).
Пример 6. Допустим, задан характеристический полином системы
Годограф устойчивой системы имеет вид (рисунок 3в).
Пример: Для заданной системы (рисунок 4) определить условие устойчивости, частоту собственных колебаний системы и критический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости.
Определить устойчивость при T1 = T2 = 1 c и kv = 1 c-1.
Решение:
1) Определяем передаточную функцию разомкнутой системы
где
2) Определяем передаточную функцию замкнутой системы
3) Запишем характеристическое уравнение
4) Определим частоту собственных колебаний системы и критический коэффициент усиления из условия границы устойчивости
Критический коэффициент усиления равен:
5) Определим устойчивость при T1 = T2 = 1 c и kv = 1 c-1.
6) Строим характеристическую кривую (рисунок 5) по данным, приведенным в таблице 1.
Таблица 1
w |
0 |
|
1 |
¥ | ||
X(w) |
1 |
0 |
-1 |
-¥ | ||
Y(w) |
0 |
|
0 |
-¥ |
В соответствии с критерием Михайлова, рассматриваемая система является устойчивой.
4. Частотный критерий устойчивости Найквиста
Частотный критерий устойчивости Найквиста позволяет по виду частотной характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы, т.е. он применим для замкнутых систем.
Рассмотрим функцию, которая связывает характеристики разомкнутых и замкнутых систем
(9)
где D(p) – характеристический полином замкнутой системы;
A(p) – характеристический полином разомкнутой системы.
При этом степени полиномов A(p) и D(p) одинаковы исходя из условия физической реализуемости системы.
В соответствии со следствием из принципа аргумента
(10)
Рассмотрим разные случаи.
Система, устойчивая в разомкнутом состоянии.
Так как разомкнутая система устойчива, то она не содержит корней в правой полуплоскости (т.е. m = 0), для того чтобы и замкнутая система была устойчива, должно выполняться условие:
(11)
Графически это обозначает, что годограф вектора W (jw) не охватывает начала координат, а вектора K (jw) – точку с координатами (-1, j0), как показано на рис. 6. Точка с координатами (-1, j0) называется критической.
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии.
Так как разомкнутая система неустойчива, то она содержит m корней в правой полуплоскости, для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, должно выполняться условие
(12)
Графически это обозначает, что годограф вектора K (jw) охватывает точку с координатами (-1, j0) m/2 – раз.
Формулировка критерия Найквиста– это замкнутая система. автоматического управления устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой, неустойчивой системы, имеющей m корней в правой полуплоскости, охватывает точку с координатами (–1, j0) m/2-раз.
Иногда по графику трудно определить охватывает ли АФХ критическую точку. В этом случае можно использовать правило переходов. Переходами называются точки пересечения АФХ отрезка оси (-¥.. – 1). Знак перехода определяется по следующему правилу: если фаза убывает – переход отрицательный.
Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая система автома-тического управления устойчива, если разность положительных и отрицательных переходов равна m/2, где m – количество корней в правой полуплоскости разомкнутой неустойчивой системы, т.е.
|
Пример 8. Для заданной системы (рисунок 7) определить условие устойчивости и критический коэффициент усиления.
Определить устойчивость при T1 = T2 = 1 c и kv = 1 c-1.
Решение:
1. Определяем передаточную
2. Строим АФХ разомкнутой системы
При T1 = T2 = 1 c и kv = 1 c-1 АФХ разомкнутой системы имеет вид
Расчетные данные приведены в таблице 2, а график АФХ на рисунок 8.
Таблица 2
w |
0 |
1 |
¥ | ||||
P(w) |
-2 |
-1/2 |
0 | ||||
Q(w) |
-¥ |
0 |
0 |
|
|
Как видно из рисунка 8 и таблицы 2, АФХ разомкнутой системы не охватывает критическую точку, следовательно, замкнутая система, при заданной структуре и параметрах, устойчива.
Определим критический коэффициент усиления из условия:
5. Определение областей устойчивости
Устойчивость систем зависит от структуры и параметров системы. При расчете систем автоматического управления возникает задача опреде-ления диапазона изменения варьируемых параметров системы, при которых она устойчива.
Область устойчивости – это совокупность значений параметров системы, при которых она устойчива.
Коэффициенты характеристического уравнения являются функциями от параметров системы, и они определяют расположение корней в комплексной плоскости, при изменении параметров корни перемещаются в комплексной плоскости и система может стать не устойчивой.
Для определения областей устойчивости можно использовать различные методы, наиболее часто используют метод D – разбиения. D-разбиение может быть выполнено по одному и более параметрам.
Рассмотрим алгоритм определения областей устойчивости с помощью метода D – разбиения по одному параметру на конкретных примерах.
Пример 9. Определить область возможных значений параметра «к», при которых заданная система (рисунок 9) устойчива
Порядок определения областей устойчивости
1. Определяем передаточную функцию замкнутой системы
2. Определяем характеристический полином
Информация о работе Устойчивость систем автоматического управления