Роль математики в современном естествознании

     Роль математики в современном естествознании

Содержание

Введение

1. Предмет и специфика  математики

2. Эффективность математики  для естествознания

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Вряд ли вызывает сомнение правомерность утверждения: математика нужна всем вне зависимости от рода занятий и профессии. Однако для разных людей необходима и разная математика: для продавца, может быть, достаточно знания простейших арифметических операций, а для истинного естествоиспытателя обязательно нужны глубокие знания современной математики, поскольку только на их основе возможно открытие законов природы и познание ее гармонического развития.

Потребность изучения математики в большинстве случаев обусловливается практической деятельностью и стремлением человека познать окружающий мир.

Может ли серьезный естествоиспытатель обойтись без глубокого познания премудростей математики? Да, может, но только в исключительном случае. И вот подтверждающий пример: Ч. Дарвин, обобщая результаты собственных наблюдений и достижения современной ему биологии, вскрыл основные факторы эволюции органического мира. Причем он сделал это, не опираясь на хорошо разработанный к тому времени математический аппарат, хотя и высоко ценил математику:«...в последние годы я глубоко сожалел, что не успел ознакомиться с математикой, по крайней мере настолько, чтобы понимать что-либо в ее великих руководящих началах; так, усвоившие их производят впечатление людей, обладающих одним органом чувств больше, чем простые смертные». Кто знает — может быть, обладание математическим чувством позволило бы Дарвину внести еще больший вклад в познание гармонии природы!

Известно, что еще в  древние времена математике придавалось  большое значение. Девиз первой Академии — платоновской Академии — «Не знающие математики сюда не входят» — свидетельствует о том, насколько высоко ценили математику на заре развития науки, хотя в те времена основным предметом изучения была философия.

Простейшие в современном  понимании математические начала, включающие элементарный арифметический счет и простейшие геометрические измерения, служат отправной точкой естествознания. «Тот, кто хочет решить вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым не является», — утверждал выдающийся итальянский физик и астроном, один из основоположников естествознания Галилео Галилей (1564—1642).

1. Предмет и специфика математики

Самое лаконичное и удачное определение  математики дает Николай Бурбаки (коллективное имя группы французских математиков). Он определяет современную математику как науку о структурах, «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры». В данном случае под структурой имеется в виду определенным образом упорядоченное многообразие математических элементов (чисел, функций и т.п.).

В основаниях любой математической дисциплины непременно обнаруживаются некоторые математические элементы и постулируемые различия между ними. При этом для построения математической системы используются, как правило, два метода: аксиоматический и конструктивистский.

При аксиоматическом методе исходят  из аксиом (исходных положений теории) и правил вывода (дедукции) из них других положений. Широко используются символьные записи, а не громоздкие словесные выражения. Замена естественного языка математическими символами называется формализацией. Если формализация состоялась, то аксиоматическая система является формальной, а положения системы приобретают характер формул. Получаемые в результате вывода доказательства формулы называются теоремами. Таково описанное вкратце содержание аксиоматического метода.

В случае конструктивистского метода исходят из принимаемых интуитивно очевидными математических конструктов, на их основе строят более сложные, чем они, элементы (а не выводят формулы), в процессе конструирования этих элементов используют подходящую для построения последовательность шагов.

Математик непременно оперирует конструктами, часть из которых принимается интуитивно, выражаясь точнее, на основе обобщения доступного ему математического опыта, а другие либо дедуцируются из аксиом, либо конструируются, чаще всего в форме последовательно осуществляемых символьных записей. Для математика важно задать отличие математических конструктов друг от друга. В синтаксическом ряду знаков они, будучи взаимосвязаны между собой, смотрятся в зеркало друг друга. В естествознании чувства, мысли, слова и предложения несут информацию об изучаемых природных явлениях, они обращены в сторону природы. В математике дело обстоит принципиально по-другому, здесь математические конструкты «не смотрят по сторонам», они соотносятся исключительно друг с другом. Можно пояснить сказанное на примере задания натуральных чисел.

Натуральное число может быть задано на основе следующих аксиом (правил):

1. 0 является натуральным числом.

2. Если n натуральное число, то и следующее за ним n' — натуральное число.

3. Никаких натуральных  чисел, кроме тех, которые получаются согласно 1 и 2, не существует.

4.  Для любых натуральных  чисел m и n из m′ = n' следует m = n.

5. Для любого натурального  числа n, n' ≠ 0.

Задать натуральное число —  значит выразить операцию «'», читается «следующий за» столько раз, сколько  это необходимо для задания данного числа. Так, задать натуральное число 2 означает дважды применить операцию «'». Используя операцию «следующий за», «'», математик строит ряд натуральных чисел настолько далеко, насколько это возможно. Ему важно установить, какое число следует за каким, как соотносятся числа друг с другом (так, 5 — 3 = 2, «5» — это число, которое на «2» больше чем «3»), т.е. какова их упорядоченность. Вопрос о том, существуют ли числа в природе, математика не интересует (природой пусть занимаются естествоиспытатели), ему важно изобрести систему упорядоченных конструктов, характер взаимосвязи которых невозможно установить без задания их отличительных признаков.

Характер математического знания таков, что его приверженцы, оправдывая свой статус, вынуждены как можно более детально устанавливать характер упорядоченности тех совокупностей элементов, которые они изобретают и изучают. Именно в этой связи доказательство новой теоремы или построение ранее неизвестного конструкта расценивается как математический успех.

Хорошо известно уравнение х² + у² = z², которому удовлетворяют многие тройки целых чисел, например х = 3, у = 4, z = 5. Французский математик Пьер Ферма утверждал, что уравнение х^п+ у^п = z^п (где п — целое число, больше 2) не имеет решений в целых положительных числах. На доказательство теоремы Ферма некоторыми математиками затрачены значительные усилия. Почему теорема занимает мысли математиков? Потому что новые сведения о ней расширят их представление о характере упорядоченности целых положительных чисел.

Примеры относительно натуральных  чисел и теоремы Ферма достаточно просты. Большинство математиков занимается проблемами поважнее теоремы Ферма. Это обстоятельство не меняет сути дела: интерес математика заключен в изобретении многообразий упорядоченных математических конструктов.

Если многообразие математических конструктов не упорядочено, т.е. невозможно их сопоставление друг с другом, то работа математика теряет всякий смысл. Дабы этого не случилось, математик внимательно следит за тем, чтобы математическая теория была непротиворечивой. Математическая теория называется непротиворечивой, если в ней не наличествуют два или больше взаимно исключающих предложения. Наличие противоречий «разваливает» математическую теорию. Простой пример: если бы согласно таблице умножения З х 3 = 9 и З х З = 8, то ее невозможно было бы продуктивно использовать.

Многовековое развитие математики показывает, что непротиворечивость — это ее основополагающий научный  критерий, который применительно  к математическому знанию столь же актуален, как критерии подтверждаемости и эффективности соответственно в естествознании и гуманитаристике. Статус науки предполагает:

а)   подтверждаемость семантического знания (естествознания);

б)   эффективность прагматического знания (гуманитаристика);

в)   непротиворечивость синтаксического знания (в том числе математики).

Частые попытки придания критериям научности статуса незыблемых несостоятельны. Для всех трех критериев научности знания характерна известная относительность. Речь идет о том, что в силу непрекращающегося роста научного знания невозможно раз и навсегда, на вечные времена обосновать непогрешимость какой-либо теории. В том, что еще вчера считалось непротиворечивым, подтверждаемым и эффективным, уже сегодня могут быть обнаружены элементы противоречивости, неподтверждения, неэффективности. Если это случается, то приходится пересматривать статус теории, принимать меры к тому, чтобы в той или иной форме избавиться от выявленных нежелательных симптомов ненаучности. Сказанное в полной мере относится к математике.

Подобно другим ученым, математики стремятся  в области своей компетенции  к максимальному успеху. То и дело встречаясь с нарушениями критерия непротиворечивости (особенно это связано с открытием различного рода парадоксов), некоторые математики, среди них выдающийся немецкий ученый Д. Гильберт, отважились на попытку доказательства непротиворечивости математики в тех случаях, когда она представлена в виде аксиоматически формальной системы. Многие надеялись на успех этой программы. Но в 1931 г. австрийскому математику К. Геделю удалось доказать теорему, которая вызвала в научном мире что-то вроде шока. Гедель доказал, что если формальная арифметика действительно непротиворечива, то это недоказуемо ее средствами. Можно показать, что то же самое относится к любой формализованной математической теории, не уступающей по своим выразительным средствам формальной арифметике.

Осмысление содержания упомянутой теоремы Геделя вылилось в конечном итоге в три важных вывода: а) несостоятельны универсальные программы обоснования непротиворечивости математики; б) обоснование математики в целом не может быть не чем другим, как обоснованием ее непротиворечивости; в) обоснованием непротиворечивости математики является многоступенчатый процесс всестороннего совершенствования математического знания.

2. Эффективность математики для естествознания

Тезис об эффективности  математики для естествознания, пожалуй, не нуждается в доказательстве, он общепризнан. Но, как ни странно, его осмысление встречается со значительными трудностями. Не счесть случаев, когда даже выдающиеся ученые рассуждали, как они выражались, о «непостижимой эффективности» математики. Неужели действительно эффективность, плодотворность математики непостижима, т.е. в известном смысле таинственна? Если математике в соответствии с логикой всего изложенного выше чужд критерий подтверждаемости, то каким же образом ее вообще удается подключить к естествознанию?

Бесспорно, что эмпирические наблюдения и практический опыт играли важнейшую роль при становлении  математики. Греческое слово «геометрия» означает землемерие. Многие геометрические, равно как и арифметические, соотношения были установлены при обустройстве территорий, построении зданий, в том числе пирамид, изготовлении сосудов различной формы. На заре становления науки, около 2,5 тыс. лет тому назад, математику считали эмпирической наукой. На этом фоне очевидным новшеством явились знаменитые «Начала» Евклида (III в. до н.э.). Постулаты Евклида предполагали построения при помощи идеальных линейки и циркуля, каковые существуют лишь в воображении, а не в качестве реальных инструментов.

Большие споры на протяжении более чем 2 тыс. лет вызывал V постулат Евклида, согласно которому через точку вне прямой в их плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную прямую. Однако в XIX в. Н.И.Лобачевский, Я. Больяи и К.Ф. Гаусс построили новую непротиворечивую геометрию, в которой был принят постулат о том, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную прямую. Н.И.Лобачевский назвал новую геометрию воображаемой, придуманной, а отнюдь не извлеченной из экспериментальных данных. Предполагалось, однако, что она приобретет (как и случилось позднее) практическое применение.

Непрекращавшийся рост математического знания, сопровождаемый изобретением все более и более непривычных конструктов, ставил под сомнение мнения тех ученых, которые продолжали настаивать на эмпирической природе математики.

Комплексные числа, сложные метаморфозы дифференциальных форм, предполагающих оперирование с бесконечно малыми величинами — все это вроде бы отсутствует в эксперименте. Стало ясно, что ход математических доказательств не поддается прямому сопоставлению с экспериментальной реальностью.

Таким образом, дело обстоит  не так, что математическое знание прямо  и непосредственно извлекается  из экспериментальных данных. Оно вначале воображается, следовательно, математики создают специфическую воображаемую реальность, которая, вполне возможно, обладает операциональным значением для естествознания и гуманитаристики. Как разъяснял еще в XVIII в. философ И.Кант, продуктивное воображение человека — его важнейшая способность. Действительно, в математике человек использует свое воображение эффективнейшим образом. Математические миры — это воображаемые миры. Было бы совершенно губительно для математики в угоду тем, кто без должных оснований настаивает на ее эмпирической природе, отрицать силу человеческого воображения как важнейшего конституента науки, без которого последняя превратилась бы в довольно унылое мероприятие.