Моделирование платины металла для МНЛЗ

 

Техническое задание

Изделие из углеродистой стали в форме пластины охлаждается водой в симметричных    условиях. Известны температура воды и коэффициент теплоотдачи. В начале процесса температура по толщине пластины распределена равномерно. Теплофизические свойства материала не зависят от температуры.

Выполнить и представить в отчёте все этапы моделирования.

Примем в этапе «Исследование закономерностей»:

- для среднего  варианта моделирования построить  температурное поле изделия для пяти значений времени включая t=0;

- построить кривые  охлаждения оси симметрии; точки, находящейся на ¼ полной толщины  и поверхности.

В этапе «Решение задач исследования»:

- провести расчёты  и построить графики влияния  коэффициента теплоотдачи (три значения) на продолжительность охлаждение оси изделия от температуры Т0 до температуры 100°С (ТСР = 0);

- аппроксимировать  полученную зависимость аналитическим  выражением.

В конце отчёта сформулировать выводы по результатам работы.

                Таблица 1. Исходные данные

Толщина пластины (S), м	0,1
Коэффициент теплоотдачи (a), Вт/м2·к	250; 500; 1000
Критерий Био (Bi)	1

 

 

 

 

1. Задачи  исследования, объект, цель и предмет.

 

Объект: пластина, охлаждаемая водой.

Проблема: пластина не охлаждается к нужному моменты времени.

Цель: определить время охлаждения пластины.

Гипотеза: процесс охлаждения определяется теплофизическими свойствами изделия и условиями охлаждения.

Метод исследования: метод математического моделирования.

Предмет: процесс охлаждения пластины.

Задачи:

1) Разработка компьютерной  модели и алгоритма решения.

2) Выбор исходных  данных.

3) Тестирование  алгоритма.

4) Исследовать температурное  поле изделия для трех значений  текущего времени при одном  варианте коэффициента теплоотдачи.

5) Построить в  задаче 2 кривые охлаждения оси  симметрии; точки, находящейся на ¼ толщины и поверхности.

6) Изучить влияние толщины пластины (три значения) на продолжительность охлаждения её оси от температуры Т0 до 100 (ТСР=0).

7) Аппроксимировать  полученную зависимость аналитическими  выражениями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Описание объекта.

 

Объектом исследования является процесс охлаждения  пластины водой. Схема объекта приведена на рисунке 2.1:

 

Рисунок 2.1. Схема охлаждения стальной пластины: 1 – пластина; 2 – водная среда;

3 - стойки

         При составлении модели вводятся  следующие допущения:

1. теплофизические свойства стали в процессе охлаждения не изменяются;
2. условия охлаждения симметричны;
3. охлаждение идёт от равномерной начальной температуры;
4. температура среды постоянна;

 

3. Построение математической модели.

 

В математическую модель процесса охлаждения входит уравнение теплопроводности. Процесс будем рассматривать одномерно и в неподвижной системе координат. Тогда уравнение теплопроводности примет вид:

  ,   0 ≤ х ≤ S,  0 ≤t ≤ tк                                                   (1)          

с - теплоёмкость материала, Дж/(кг·К);

ρ - плотность, кг/м3;

λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К);

tк – конечное время;

Т – температура;  t – время, с;

Расчетная область для уравнения (1) приведена на рисунке 3.1:

Рисунок 3.1. Схема расчётной области:

- начальная температура;

- температура поверхности;    S - половина толщины поверхности.

Задаем начальное и граничные условия  для решения уравнения (1):

1. Начальное условие в момент времени  t =0:

T(0, х) = Т0,

2. Граничное условие  пластины (условие симметрии):

Граничное условие III рода

 

 

где α – коэффициент теплоотдачи

 

 

4. Разработка приближенной модели.

 

Для разработки приближённой модели используем численный метод  - метод конечных разностей (МКР). В этом методе непрерывное течение времени заменяют дискретным с шагом Δt. Непрерывное изменение координат заменяется дискретными значениями,  и  вместо непрерывных функций рассматриваются дискретные или сеточные функции. Для этого расчетная область делится на выбранное количество узлов N  и определяется:                                                                                                             

                                               (2)

где N – количество узлов в расчетной области, Δх – шаг по координатам х.

Схема дискретизации расчетной области приведена на рисунке 4.1:

Рисунок 4.1. Схема дискретизации расчётной области.

 

Дискретные моменты времени:

tn = n·Δt,

где n –номер времени момента, n=0,1,2…,[]

Координата узла определяется по формуле:

xi = Δxi – Δx* ½= Δx (i – ½)

Приближенные значения  для частных производных:

Рисунок 4.2. Дискретизация расчётной области.

n, n+1 – временные слои; - внутренние узлы; - фиктивные узлы;

Δt – шаг по времени; Δx – шаг по координате.

                          (3)

       Введем дополнительные узлы для  аппроксимации второй производной  по координате (рисунок 4.3):

 

Рисунок 4.3. Схема аппроксимации второй производной.

 

                                   (4)

Для замены производной второго порядка используем дополнительные промежуточные узлы:  i-1, i+1, i+1/2, i-1/2.

       Расписывая далее, получим:

                                                    (5)

 

         (6)

Подставляем получившееся выражение (3) и выражение (6) в уравнение теплопроводности для пластины (1):

                                     (7)

Вводим обозначение:

lr                                                                          (8)

Перепишем уравнение (7) с учётом выражения (8):

=                            (9)

                              (10)

 

Ti0=T0 – распределение температуры по узлам в начальный момент времени.

Значение температуры в фиктивных узлах находим из граничных условий:

При  x=0:   

                 (11)

Следовательно:   

при x=S:

                        (12)

                         (13)

 

Выразим  с учетом обозначения

                                                                            (14)

 

Шаг по времени определяется из условия устойчивости: , 

где

- коэффициент устойчивости, Ку >2.

 

 

 

 

5. Разработка компьютерной модели.

 

 

Рисунок 5.1. Блок-схема алгоритма решения

Программа на языке Turbo Pascal

 

Program Plastina;

const

s=0.1;  lam=29;  c=690; p=7500; ky=3; Tsr=0; T0=1000;  alfa=500; N=10;  tk=1000;  dp=100;

var i,k,j:integer;

t,dx,a,cappa,dt:Real;

T1,T2:array[0..N+1] of real;

begin

dx:=S/N;

a:=lam/(c*p);

dt:=(dx*dx)/(a*ky);

writeln('dx= ',dx:7:3,' a=',a:7:7,' dt=',dt:7:3);

for i:=0 to N+1 do begin T1[i]:=T0; T2[i]:=T0; end;

k:=1; t:=0;

while t<=tk do

 begin

 t:=t+dt;

  for i:=1 to N do

   T2[i]:=T1[i]+a*dt*((T1[i+1]-2*T1[i]+T1[i-1]))/(dx*dx);

   T2[0]:=T2[1];

   cappa:=(alfa*dx)/(2*lam);

   T2[N+1]:=((1-cappa)*T2[N]+2*cappa*Tsr)/(1+cappa);

   for i:=0 to N+1 do T1[i]:=T2[i];

   if t>dp*k then

    begin

    readln;

    for i:=0 to N+1 do write(i:5);writeln;

    for i:=0 to N+1 do write(T1[i]:5:0);writeln;

    writeln('Time= ',t:3:3);

    writeln('на оси = ',T2[0]:3:3);

writeln(‘температура на поверхности = ', (T2[N+1]+T1[N])/2:3:3);

    inc(k);

    end;

   end;

 readln;

end.

 

 

 

 

 

 

 

6. Тестирование компьютерной модели.

 

Задачи тестирования модели:

1). Проверка правильности  работы алгоритма;

2). Исследование  сходимости решения;

3). Исследование  погрешности решения.

На этапе тестирования сравниваются результаты работы программы с тестом - точным решением при одинаковых исходных данных. Точное решение представляется в виде критериальной зависимости. Критерий - это безразмерный комплекс исходных данных, который позволяет сократить количество переменных в задаче и получить существенные связи между исследуемыми величинами.

Введем безразмерные величины:

               l

где - безразмерная температура, F0 -безразмерный критерий времени Фурье, X - безразмерная координата r, Bi - безразмерный критерий Био.

 

Для проведения тестирования определим исходные данные для программы:

 S=1, l=1, c=1, r=1, =1    =>>  ,

Для Bi =1 =>>  =>> a  =>> a

Решение, получаемое с помощью компьютерной модели, сходится к точному при  увеличении количества узлов, если погрешность решения при этом уменьшается. Изучим поведение погрешности при различном количестве узлов.

 

Проведем тест для N = 5, 10, 20 узлов. Результаты моделирования и данные точного решения занесены в таблицы:

ΔT = (T*ОСИ – TОСИ);       ½½, где Т*ОСИ  и Т*ПОВ берутся из справочных данных [1].

Таблица 6.1. №1 (для N=5):

F0	ТОСИ│Х=0	Т*ОСИ│Х=0	ΔТ	ε, %	ТПОВ│Х=1	Т*ПОВ│Х=1	ΔТ	ε, %
0,1	994,858	993,32	-1,538	0,155	737	723,84	-13,16	1,818
0,2	948,386	948,64	0,254	0,027	647,394	643,65	-3,744	0,582
0,3	892,607	892,02	-0,587	0,066	595,581	589,12	-6,461	1,097
0,4	827,39	831,19	3,8	0,457	547,406	544,44	-2,966	0,545
0,5	772,791	774,55	1,759	0,227	510,089	504,79	-5,299	1,05
0,6	714,314	717,93	3,616	0,504	471,083	468,53	-2,553	0,545
0,7	666,661	666,81	0,149	0,022	439,551	435,00	-4,551	1,046
0,8	616,038	619,29	3,252	0,525	406,138	403,98	-2,158	0,534
1,0	531,226	534,11	2,884	0,54	350,212	348,41	-1,802	0,517
				2,557				7,734

 

Таблица 6.2. №2 (для N=10):

F0	ТОСИ│Х=0	Т*ОСИ│Х=0	ΔТ	ε, %	ТПОВ│Х=1	Т*ПОВ│Х=1	ΔТ	ε, %
0,1	993,114	993,32	0,206	0,0207	725,122	723,84	-1,282	0,177
0,2	950,088	948,64	-1,448	0,1526	644,393	643,65	-0,743	0,115
0,3	893,018	892,02	-0,998	0,1119	591,337	589,12	-2,217	0,376
0,4	832,064	831,19	-0,874	0,105	546,374	544,44	-1,934	0,355
0,5	773,539	774,55	1,011	0,1305	506,54	504,79	-1,75	0,347
0,6	718,602	717,93	-0,672	0,0936	470,136	468,53	-1,606	0,343
0,7	667,405	666,81	-0,595	0,089	436,51	435,00	-1,51	0,347
0,8	618,279	619,29	1,011	0,163	404,338	403,98	-0,358	0,0886
1,0	533,2	534,11	0,91	0,17	348,684	348,41	-0,274	0,079
				1,0367				2,2276