Математические модели в образовании

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ..………………………………………………………………………...3

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ОБРАЗОВАНИИ……………4

1.1. Понятие математической модели.………...............................................4

1.2.Классификация математических моделей………………………………4

1.3. Функции математических моделей…………………………………….4

 

Глава 2. Практическое применение математических моделей в образовании.............................................................................8

2.1. Применения математической модели для подготовки компетентного специалиста..…………………………………………………………………………8

2.2. Построение формализованной математической модели оптимизации……………………………………………………………………….10

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………11

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.……………………………12

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Современная педагогика носит  гуманистический характер, но он не в полной мере может обеспечить точность характеристик образовательного процесса, поэтому без математических методов в педагогике невозможно обойтись. Применение математических методов к элементам процесса обучения придает педагогической науке основательность и строгость, которая ей так необходима. Поэтому в педагогике необходимо объединить математические методы с современными гуманитарно-ориентированными педагогическими методиками и технологиями.

Математические модели позволяют  точно фиксировать структурные  изменения любой системы и  отражать их в количественной форме, поэтому они, активно используются в научной и практической деятельности людей. Процесс познания связан с моделированием: в основе обучения лежит построение образа изучаемого объекта в психике учащегося, фиксирующего его основные свойства и отношения. Данное фиксирование удобнее выполнять в математической форме, используя структурные или функциональные модели. Именно поэтому математические модели необходимы для анализа эффективности функционирования образовательных систем, прогнозирования и проектирования их развития.

Математическое моделирование  занимает особое место среди различных  математических методов, так как  оно позволяет точно фиксировать структурные изменения любой системы и отражать их в количественной форме.

На актуальность проблемы применения математических методов  в педагогической науке указывали  многие учёные, такие как:  В. И. Загвязинский, Л. Б. Ительсон, В. В. Краевский и др.

Примеры различных математических моделей можно найти в работах  педагогов: В. М. Блинова, В. И. Загвязинского, Л. Б. Ительсона и др.

Объект исследования: современное образование.

Предмет исследования: математические модели в образовательном процессе.

Цель исследования: обосновать систему использования математических моделей в педагогике.

 

 

Глава 1. Математические модели в образовании

1.1 Понятие математической  модели

Говоря о  математическом моделировании в педагогике, мы понимаем метод количественного и структурного исследования и описания свойств и закономерностей педагогических явлений и процессов с помощью математических моделей.

Математическая модель - это совокупность записанных на языке  математики соотношений (формул, неравенств, уравнений, логических соотношений), определяющих характеристики состояния объекта  в зависимости от его элементов, свойств, параметров, внешних воздействий.

1.2 Классификация математических  моделей

Взяв за основу классификации, используемые экономикой и психологией, получаем следующие классификации  моделей, применяемых в педагогических исследованиях:

1. В соответствии с  общей классификацией математических  моделей: 

1) структурные (неметрические);

2) функциональные (метрические);

3) структурно-функциональные (смешанные).

2. По целевому назначению:

1) теоретико-аналитические  (общенаучные);

2) прикладные (специальные).

3. По степени идеализации: 

1) дескриптивные; 

2) нормативные. 

1.3 Функции математических  моделей

В образовательном процессе математические модели способны выполнять  разнообразные функции: описательную, управленческую, исследовательскую, интерпретационную, прогностическую и др.

1. Описательная функция  рассматривает педагогический объект в виде математической модели для того, чтобы выделить в нем свойства и отношения, составляющие его главное содержание. Математическое моделирование педагогического объекта помогает понять, как устроен педагогический объект, его структуру, свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром.

2. Управленческая функция  показывает, что заключенные в математических моделях закономерности процесса обучения могут помочь педагогу принять научно обоснованные решения по его совершенствованию.

3. Согласно исследовательской функции математические модели выступают в роли предмета или средства исследования. Эта роль хорошо видна при постановке педагогического эксперимента. В повседневной профессиональной деятельности такие модели помогают правильно распределить время для разных этапов урока, оценить сложность учебного материала.

4. Интерпретационная функция (объяснение, обобщение и исчерпывающее описание). Данная математическая модель может не только объяснить, но и позволяет описать множество частных случаев, которые могут быть выведены из нее логически и не требуют специального описания. Функция обобщения большого числа данных представляет наибольшую ценность на заключительных этапах педагогического исследования, когда жизнеспособность математической модели уже доказана многочисленными педагогическими экспериментами.

5. Прогностическая функция позволяет планировать педагогическую деятельность, строить перспективы развития педагогической системы с учетом условий, для которых построена математическая модель. В этой модели используются статистические критерии и различные методы прогнозирования.

Анализ работ по истории математического моделирования и по отдельным направлениям применения методов математического моделирования в педагогике позволил выявить основные области использования методов математического моделирования для формализации элементов образовательного процесса.

 

 

 

 

Таблица 1

Области применения методов  математического моделирования  в педагогике

Методы математического  моделирования	Область применения
Вероятностные методы	Конкретные свойства и  связи отдельных педагогических явлений, которым неоднозначность  педагогических процессов придает  случайный (вероятностный) характер
Графовые методы	Педагогические объекты, которые обладают структурой (в такой  форме можно моделировать и внешний  вид, и поведение педагогического  объекта)
Алгебраические методы	Педагогические процессы, в которых необходима формализация больших объемов информации
Методы линейного программирования	Применимы в тех случаях, когда можно однозначно количественно  определить (оценить) результаты любого из выбранных решений
Методы теории игр	Педагогические процессы, в которых каждое выбранное действие может дать в разных случаях разные результаты с известной вероятностью

Обобщенный алгоритм применения методов математического моделирования  в обучении включает следующие этапы:

1) построение модели элементов образовательного процесса;

2) экспериментирование с  моделью;

3) интерпретация полученных результатов на языке дидактики и установление соответствия вывода о свойствах модели высказыванию, о свойствах объекта.

Рассмотрение проблем, связанных с формализацией предметной области педагогики, возможно на основе общих этапов математического моделирования. В границах графового моделирования разработаны подходы к организации исследовательской деятельности педагогов: пути исследования учебной книги на полноту, разработки учебных пособий справочного характера, конструирование модели обучения по различным учебным пособиям и словарям, а также комплекс алгоритмов, связанных с обучением группы. Все вышеперечисленные алгоритмы универсальны, т.е. не зависят от того, с какой предметной областью работает педагог, это следует из универсальности моделей, на основе которых они построены.

Следовательно, обобщение исторического опыта и использование методов математического моделирования в педагогических науках, классификации применяемых в педагогике методов математического моделирования, описание функций математических моделей в образовательном процессе демонстрируют эффективность применения методов математического моделирования в образовательном процессе.

 Суть познавательного  процесса заключается в построении образа изучаемого объекта учащимся. Фиксирование такого образа с его основными свойствами и отношениями удобнее выполнять в математической форме, используя структурные или функциональные модели.

Структурные (не метрические) модели не отображают чисто количественные зависимости между величинами, а фиксируют разнообразные структурные отношения между ними (иерархию ценностей или мотивов, предпочтения в социальной группе и т.п.). В дидактике они используются с целью анализа структур процесса обучения (логической структуры учебного материала, структур познавательной деятельности учащихся, дидактических структур урока и т.д.). 
Функциональные (метрические) модели применяются для описания динамики исследуемых процессов, предсказания происходящих в них изменений. Такие модели называют прогностическими (трендовыми). Они описывают различные взаимосвязи между величинами с помощью функций и предназначены для изучения не структуры систем, а характера их поведения.

Математические модели представляют собой многофункциональное дидактическое  средство, способствующее решению разнообразных  педагогических задач. Использование математических моделей способствует достижению не только образовательных, но и развивающих дидактических целей. Это говорит о том, что модели, связанные с конкретным содержанием учебного предмета, помогают его представить ярко, наглядно, соединив строгость научных рассуждений с научным анализом структур изучаемых процессов и явлений. Модели закономерностей процесса обучения позволяют управлять познавательной деятельностью учащихся, учитывая степень влияния различных факторов, определяющих ее успешность.

 

 

 

Глава 2. Практическое применение математических моделей в образовании

2.1 Применения математической модели для подготовки компетентного специалиста.

В качестве условия  применения математических методов  с точки зрения совершенствования качества образования определено содержание и характер математического образования в педагогическом процессе и выделен принцип педагогико-прикладной направленности математического образования, который взаимодействует с принципом образовательного гуманизма и является одним из методологических принципов при анализе качества педагогической деятельности. Принцип педагогико-прикладной направленности позволяет обратить внимание на необходимость изучения педагогическими факультетами специального курса «Математическая теория педагогических исследований», который может входить в общий курс высшей математики для студентов нематематических специальностей.

Разработанная интегративная  модель межпредметного комплекса «математика педагогика кибернетика» позволяет реализовать указанное направление (рисунок 1)

Предлагаемая  модель построена на основе объединения областей математики, педагогики и кибернетики, включая уровни интеграции учебного предмета, кафедры, области педагогических исследований и систему непрерывного образования. Способом реализации данной модели выступает указанный спецкурс. Модель поможет подготовить компетентного специалиста, владеющего математико-педагогическими методиками, коррекционно-прогностическими, развивающими технологиями обучения, где он способен грамотно оценить качество образовательного процесса.

Одним из важнейших направлений повышения качества образования является совершенствование средств, методов и приемов диагностики, поиск эффективных инструментариев для оценки качества тех явлений в педагогической практике, которые влияют на становление и развитие личности субъектов образования. В связи с этим актуальной является разработка методик применения математических методов в личностно-ориентированном образовании.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. Интегративная модель межпредметного комплекса

«математика

педагогика кибернетика»

 

 

 

 

 

2.2 Построение формализованной математической модели оптимизации.

В экспериментальной методике «Оптимизация учебного курса в личностно-ориентированном образовании» формулируется задача оптимизации курса определенного предмета для студентов высшего профессионального образования. Для построения формализованной математической модели оптимизации в виде системы ограничений и целевой функции был проведен опрос студентов нескольких групп. Был использован экспертный метод для учета возможностей и способностей этих студентов в приобретении знаний, навыков и умений на различных видах занятий (лекциях, практических, консультациях).

Полученные экспериментальные данные были приведены к норме относительно структуры действующего курса. Для этого рассмотрено действующее соотношение видов занятий курса: 32 лекции, 31 практическое занятие, 7 консультаций. Для данной разбивки часового фонда с учетом приведенных экспериментальных данных можно оценить среднюю информативность одного занятия каждого вида. В соответствии с принятым критерием оптимальности составлена целевая функция Z и ограничивающие условия: