Обучение школьников приемам решения текстовых арифметических задач

        Глава I. Методы  обучения решению текстовых задач

Метод обучения —  это способ передачи знаний учащимся и способ организации познавательной и практической деятельности учащихся, направленный на усвоение ими знаний, умений, навыков, на овладение ими методами познания, на формирование личности.

 

Методы обучения нельзя рассматривать как механическую сумму методов преподавания и методов изучения; обучение—это органическое единство преподавания и учения. Другими словами, с помощью методов обучения должны создаваться такие учебные ситуации и положения, в которых может быть реализовано и преподавание и изучение.

Кроме того, в  последнее время особенно подчеркивается положение о том, что методы обучения должны соответствовать уровню умственного развития учащихся, а также быть направленными на осуществление этого развития.

Возникновение и  существование метода обучения обусловлены  историческим процессом школьного  обучения. Поэтому существование того или иного метода обучения объективно определяется целями обучения и содержанием обучения на данном его этапе. В самом деле, в зависимости от конкретных целей обучения и его содержания на каждом этапе эволюции процесса обучения устанавливались определенные приемы деятельности ученика и учителя, которые обеспечивали усвоение характерного для этого этапа содержания и достижение целей обучения.

Общий метод решения задач  состоит в моделировании их в  виде уравнений или систем уравнений (а также неравенств и систем неравенств). Но этот общий метод начал внедряться в школьное обучение лишь в последние  десятилетия. А до этого в обучении применялись разные, часто весьма изощренные методы решения задач, без  использования буквенной символики, которые обычно называют «арифметическими методами».

Однако арифметические методы легко используются для задач, моделью  которых являются уравнения или  системы уравнений. Если же моделью  задачи является уравнение более высокой степени, то арифметическое ее решение весьма сложно. Это обстоятельство дало повод известному русскому методисту А.И. Гольденбергу (1837–1902) разбить все задачи на «арифметические» и «алгебраические» (14). В этой классификации задач по виду уравнений, к которым они приводятся, видно влияние идей В.А. Евтушевского (1836–1888) и А. Глазырина (26).

Уточняя это разбиение, И.И. Александров (1856–1919) установил, что  искусственными арифметическими приемами могут быть решены лишь те задачи «алгебраического типа», которые сводятся к уравнениям или системам первой степени. Но так  как уравнения в курс арифметики, которая была предметом начальной  школы, до последнего времени не входили, то задачи «алгебраического типа» решались искусственными приемами. Недаром в  настоящее время курс математики, изучаемый в начальной школе, стали называть не арифметикой, как это было раньше, а математикой. Для того чтобы облегчить учащимся эту трудную работу, эти задачи распределялись в курсе арифметики по «типам», по способу их решения, поэтому, в отличие от обычных текстовых задач, они назывались типовыми.

Действительно, текстовая задача – задача описательная и для своего решения она должна быть перемоделирована в арифметический пример, который ученики уже должны уметь решать. Как же тогда можно решать текстовые задачи до примеров? Разумеется, примерам должны предшествовать учебные предметные задачи, которые дети решают, манипулируя самыми заданными предметами.

Целями изучения арифметических задач являются:

а) приложение к практике приобретенных математических знаний;

б) ознакомление с зависимостями  между величинами;

в) ориентировка в математической ситуации

1.1 Сущность алгебраического  метода решения текстовых задач

 

Под алгебраическим методом  решения задач понимается такой  метод решения, когда неизвестные  величины находятся в результате решения уравнения или системы  уравнений, решения неравенства  или системы неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным.

При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе  решения задачи: на разборе условия  задачи и составлении уравнений  или неравенств по условию задачи.

Вторым этапом является решение  составленного уравнения или  системы уравнений, неравенства  или системы неравенств.

Третьим важным этапом решения  задач является проверка решения  задачи, которая проводится по условию  задачи.

При алгебраическом методе решения формируются  умения и навыки:

1. Краткая запись условия задачи.
2. Изображение условия задачи с помощью рисунка.
3. Логические приёмы мышления: наблюдение и сравнение, анализ и синтез, абстрагирование и конкретизация, обобщение и ограничение, умозаключения индуктивного и дедуктивного характера и умозаключения по аналогии.
4. Выполнение арифметических действий над величинами (числами).
5. Решение систем уравнений и систем неравенств.
6. Решение уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.
7. Выбор значений неизвестных по условию задачи.
8. Исследовательская работа.

В связи с внедрением в  школьную программу элементов высшей математики, с ускоренным развитием  и внедрением во все сферы вычислительной математики большое значение имеет  формирование у учащихся не отдельных  специфических навыков, а тех  умений и навыков, которые имеют  дальнейшее приложение. К числу этих умений и навыков относятся умения и навыки, которые формируются  в процессе решения задач алгебраическим методом.

1.1.1 Типичные методические  ошибки учителя при работе  с текстовыми задачами

 

Ошибка 1. Пропуск этапа  анализа условия задачи.

«Прочитайте условие задачи. Кто пойдет к доске?» – такое  часто можно видеть на уроке. И  сразу начинается оформление решения. Этап анализа отсутствует и в  некоторых учебниках, и в решебниках. Учителя не всегда сами понимают, зачем  нужно проводить этот этап. «Мы  уже решали подобные задачи. Зачем  проводить этап анализа условия задачи?» На это можно возразить. Может быть, проведение этого этапа обязательно не для всех учащихся. В классе найдутся такие ученики, у которых этап анализа свернут. Они его проходят очень быстро, поэтому сразу видят решение и переходят к его оформлению. Задача педагога – помогать тем, у которых не получается. Решение задачи основывается на тех связях, которые существуют между данными и искомыми величинами. На выделение этих связей и направлен анализ условия задачи. Чтобы помочь учащимся самостоятельно осуществлять анализ условия, преподаватель может предложить им специальные памятки¹.

Ошибка 2. Пропуск этапа  поиска решения.

Пропуск этого этапа ведет  к недопониманию учащимися сущности эвристической деятельности, и как результат, к возникновению трудностей при самостоятельном решении задач. В практике обучения традиционной является ситуация, когда учитель вызывает к доске учащегося, который знает, как решить задачу. Однако при личностно ориентированном обучении основная забота учителя должна быть связана с теми, кто испытывает затруднения при самостоятельном решении задач.

Тем же учащимся, которые  без учителя могут решать задачи, необходимо подбирать задания, усиливающие их умения и способствующие их развитию (составить задачи на основе справочных данных; рассмотреть другие способы решения предложенной задачи; составить граф-схемы других уравнений по задаче и др.)

Ошибка 3. Пропуск этапа  исследования решения.

Зачем нужен этот этап? На этапе исследования выясняем, соответствует  ли полученный ответ условию задачи (правдоподобность результата); есть ли другие способы решения; что полезного можно извлечь на будущее из решенной задачи. Последний вопрос позволяет рассматривать каждую задачу как звено в общем умении решать задачи, что ведет к накоплению опыта по решению задач.

Ошибка 4. Смешение этапов анализа  и поиска решения.

Чтобы этого избежать, надо точно знать, какую цель мы преследуем на каждом этапе. Цель этапа анализа  условия – выявить все имеющиеся  связи между данными и искомыми величинами, чему помогает составление таблицы (схемы, рисунка). Цель этапа поиска решения – выбрать метод решения (алгебраический или арифметический) и составить план решения. Цели этапов разные, значит, и смешивать эти этапы никак нельзя.

На этапе анализа условия  задачи:

1. разбиваем условие задачи на части;
2. выясняем, какие величины характеризуют описываемый в условии процесс;
3. выясняем, какие величины известны, а какие требуется найти;
4. устанавливаем связи между величинами.

На этапе поиска решения  выясняем, что можно найти по данным задачи, и поможет ли это дальнейшему  решению.

Если для решения задачи выбран алгебраический метод, то поиск  ведем по следующим этапам:

1. определяем условия, которые могут быть основанием для составления уравнения, и выбираем одно из них;
2. составляем схему уравнения, соответствующего выбранному условию;
3. определяем, какие величины можно обозначить за х; выбираем одну из них;
4. определяем, какие величины нужно выразить через х, и находим условия, которые позволяют это сделать.

Завершается этап поиска составлением плана решения задачи.

Ошибка 5. На этапе анализа  условия фиксируются не все связи  между величинами.

Надо стараться зафиксировать  как можно больше таких связей. Почему это важно? Упустив какую-нибудь связь, мы можем потерять:

1. условие для составления уравнения;
2. возможность одну величину выразить через другие;
3. предусмотреть несколько способов решения.

Ошибка 6. Поиск решения  задачи алгебраическим методом начинается с выбора переменной.

Обратим внимание на то, что  при перечислении этапов, которые  мы проходим при поиске решения задачи алгебраическим методом, сначала был  назван выбор условия для составления  уравнения, затем составление схемы  уравнения, и только тогда мы вводим переменную. На практике мы почти везде  видим иное: сначала вводят переменную, затем выражают остальные величины через нее и затем составляют уравнение. Вот этот момент настолько  «закостенел» в нашем сознании, что  от него отказаться очень трудно.

На самом деле, лучше  делать «по-новому». Представьте себя на месте ученика в классе. Рассмотрим ситуацию, когда не были проведены  этапы анализа и поиска решения, к доске вызван ученик, который  знает, как решить задачу, и он начинает: «За х обозначим…» И что  же наш ученик, который затрудняется в самостоятельном решении? Мы из решения сделали тайну непостижимую. «Как он угадал, что обозначить за х?» И когда он будет пробовать дома решать задачу, у него сразу закрадывается сомнение: «А вдруг я не угадаю?»

И насколько спокойнее  и увереннее чувствует себя наш  ученик, если у него есть карточка по проведению анализа и поиска решения  задач; он смог составить по условию  задачи таблицу; найти несколько  условий для составления уравнений; записать схему уравнения для  выбранного условия. Ученик знает, что за х можно обозначить любую из неизвестных величин, и, если не получится уравнение по одной схеме, то можно попробовать составить его по другой схеме.

Ошибка 7. Постановка частных, подсказывающих вопросов учащимся.

Очень много зависит от умения ставить (задавать) вопросы учащимся. Вопросы не должны нести в себе подсказку, а подталкивать учащихся к размышлению. Вместо вопросов: «Во сколько туров проходила олимпиада?», «Как распределились посевные площади?», «Какое время находились туристы в пути?», «Какие машины находятся в автопарке?» лучше задавать общие вопросы: «Что происходит по условию задачи?», «Какие объекты участвуют в задаче?», «Какие части можно выделить в задаче?». Вместо вопроса «Можно ли найти такую-то величину?» лучше задать вопрос: «Что можно найти по данным задачи?», поскольку он может вывести на несколько вариантов решения.

Задавая вопросы, учитель  не должен вести учащихся к своему решению; нужно рассмотреть все пути решения, выслушать и обсудить все варианты.

 

 

1.2 Аналитико –  синтетический метод.

    Анализ – логический  приём, метод исследования,  состоящий   в  том,  что

изучаемый  объект  мысленно  (или  практически)  разбивается  на   составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из  которых  исследуется  в отдельности как часть расчлененного целого.

    Синтез –   логический  прием,  с  помощью   которого  отдельные  элементы

соединяются в единое целое (другими словами обратный анализу).

    Не следует  отделять эти методы друг от  друга, так  как  они   составляют единый аналитико-синтетический  метод. Так при решении сложной  задачи  она  с помощью синтеза  разбивается на ряд более простых  задач, а затем  при  помощи  синтеза происходит соединение  решений этих задач в единое  целое.

    Каждый из методов  имеет свои недостатки так  при  решении  синтетическим  методом  не  всегда  очевидно  понятно   с   чего   начинать   решение   или доказательство. С другой стороны при аналитическом  методе  иногда  можно,  к примеру,  получить несколько решений и  придется делать проверку.

    Обучение данным  методам важно ещё и потому  что  они   выступают  и   как особые формы мышления.