Математические методы в теории принятия решений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математические  методы в теории принятия решений

 

 

 

 

Содержание

 

Введение                 3

Принятие решения по многим критериям (многокритериальная

оптимизация)            4

Учет неопределенных пассивных условий                                                                     10 ЗАДАЧА 1                                                                                                        16          14

ЗАДАЧА 2            19

ЗАДАЧА 3            22

Заключение          24

Список используемой литературы       25

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

В настоящее время все  чаще стоит вопрос: "Как применить математические методы расчета в бизнесе, предпринимательстве, производстве, да и просто в жизни"? Как добиться "теоретической подкованности" в решении многих возникающих перед нами задач? Как рассчитать процент мешающей делу конкуренции и вычислить долю успеха в наших, суперначинаниях, когда, порой на карте стоит благополучие всей семьи? Как снизить вероятные промахи до минимума? Оказывается, на самом деле, сделать это довольно просто.

Цель курсовой работы заключается в теоретическом доказательстве, и практических расчетах и вычислениях, применяемых в предпринимательском деле. В большинстве теоретических задачах речь идет о постановках и методах решения задач, не содержащих неопределенностей. Однако, как правило, большинство реальных инженерных задач содержит в том или ином виде неопределенность. Можно даже утверждать, что решение задач с учетом разного вида неопределенностей является общим случаем, а принятие решений без их учета - частным. Однако, из-за концептуальных и методических трудностей в настоящее время не существует единого методологического подхода к решению таких задач. Тем не менее, накоплено достаточно большое число методов формализации постановки и принятия решений с учетом неопределенностей. При использовании этих методов следует иметь в виду, что все они носят рекомендательный характер и выбор окончательного решения всегда остается за человеком (ЛПР). Мы рассмотрим действие теории математических решений, целесообразность применения критериев Вальда, Лапласа, Гурвица, Сэвиджа, для каждого случая, научимся действовать практически разумно, найдем их плюсы и минусы, а также будет доказана суть всей работы и эффективность применения их в различных ситуациях.

 

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ  ПО МНОГИМ КРИТЕРИЯМ (МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ)

 

В экономических задачах  основными критериями служат экономическая  эффективность и стоимость при этом каждый из этих критериев может быть подразделен на более частные критерии.

Если исходы оцениваются  по m критериям, где m > 1, то такая задача принятия решения называется многокритериальной.

Основная сложность логического  анализа многокритериальных задач: эффект несравнимости исходов.

Несравнимость исходов является формой неопределенности, которая связана  со стремлением принимающего решения "достичь противоречивых целей".

Математическая модель ЗПР  при многих критериях может быть представлена в виде (D; f1,…,f m), где D - некоторое множество допустимых исходов, f1 - числовая функция, заданная на множестве D, при этом f1 (a) - оценка исхода a по j - му критерию.

Критерий f j называется позитивным, если принимающий решение стремится к его увеличению, и негативным, если он стремится к его уменьшению.

В многокритериальной ЗПР с позитивными критериями цель принимающего решение: получение исхода, имеющего как можно более высокие оценки по каждому критерию.

Для всякого исхода a є D набор его оценок по всем критериям, т.е. (f1 (a),…,fm (a)) есть векторная оценка исхода a. Векторная оценка исхода содержит полную информацию о ценности этого исхода для принимающего решение и сравнение любых исходов заменяется сравнением их векторных оценок.

Основное отношение, по которому производится сравнение векторных  оценок - это отношение доминирования по Парето.

Определение: говорят, что векторная оценка y = (y1,…,ym) доминирует по Парето векторную оценку y´= (y1´,…,ym´), если каждого j =1,…,m выполняется неравенство y ≥ y´, причем, по крайней мере, для одного индекса неравенство должно быть строгим.

 

Рисунок 1 Пирамида уровней управления, отражающая возрастание  власти, ответственности, сложности  и динамику принятия решений

 

Определение: векторная оценка y* называется Парето-оптимальной в некотором множестве векторных оценок, если она является максимальным элементом этого множества относительно Парето-доминирования (т.е. если в этом множестве не существует такой векторной оценки, которая доминирует по Парето векторную оценку y*).

Перенесём теперь эти понятия  на исходы.

Определение: говорят, что исход a1 доминирует по Парето исход a2, если векторная оценка исхода a1 доминирует векторную оценку исхода a2.

Определение: исход a*є D называется Парето-оптимальным исходом в множестве D, если он не доминирует по Парето никаким другим исходом их множества D (т.е. если векторная оценка исхода a* является Парето-оптимальной в множестве векторных оценок).

Парето-оптимальность исхода a* означает, что он не может быть улучшен ни по одному из критериев без ухудшения по какому-нибудь другому критерию.

Перейдем к проблеме оптимальности  для многокритериальных ЗПР. Сформулировать единый принцип для класса таких задач не представляется возможным, так как понятие векторного оптимума не определено. Укажем вначале необходимое условие оптимальности: если исход a*є D не является Парето-оптимальным. Он не может "претендовать на роль" оптимального исхода. Однако в типичных случаях Парето-оптимальных исходов может быть несколько.

Общая методика исследования ЗПР на основе математического моделирования  может быть реализована в рамках одного из следующих подходов.

Первый подход. Для заданной многокритериальной ЗПР находится множество Парето - оптимальных исходов. А выбор конкретного оптимального исхода из этого множества предоставляется принимающему решение.

Второй подход. Производится сужение множества Парето-оптимальных исходов с помощью формальных процедур, что облегчает окончательный выбор исхода для принимающего решения.

Рассмотрим некоторые  простейщие способы сужения Парето-оптимального множества.

Указание нижних границ критериев.

Дополнительная информация об оптимальном исходе a*є D в этом случае имеет следующий вид fj (a*) ≥yj j =1,…,m

При указании нижних границ критериев оптимальным может  считаться только такой Парето-оптимальный исход, для которого оценка по каждому из критериев j =1,…,m не ниже назначенной оценки fj. Таким образом, происходит сужение Парето-оптимального множества за счет условия. Окончательный выбор Парето-оптимального исхода производится из суженного Парето-оптимального множества принимающего решение.

Основной недостаток состоит  в том, что оптимальное решение  становится субъективным, так как  зависит от величины назначенных  границ критериев и от окончательного выбора, совершаемого принимающим решение.

Субоптимизацию производят следующим способом: выделяют один из критериев, а по всем остальным критериям назначают нижние границы. Оптимальным при этом считается исход, максимизирующий выделенный критерий на множестве исходов, оценки которых по остальным критериям не ниже назначенных.

Всякие задачи принятия решения  является:

Альтернативы (варианты, планы, допустимые альтернативы)

Исходы (Результаты)

Оптимальные решения (Наилучшие решения)

Математическая модель ЗПР  включает в себя формальное описание этих компонентов.

X - множество допустимых альтернатив

A - множество возможных исходов

В математической модели ЗПР: а) реализационная структура

б) целевая структура.

Реализационная структура  устанавливает связь между альтернативами и исходами. Следует иметь в виду, что в общем случае выбор той или иной альтернативы не определяет получающий исход: он зависит также от других факторов. Чаще всего связь между альтернативой и исходом устанавливается с помощью среды и введением дополнительной компоненты Y - множество всех состояниях среды. Среда это то, что при выбранной альтернативе определяет однозначно результат.

Определение: Функция реализация это отображение каждой пары вида (x,y) єX,Y.

где x альтернатива (xєX)

y состояние среды (yєY)

отображение каждого вида ставит в соответствии её исход.

(x,y) →a

По характеру организационной  структуры все задачи делятся  на три вида:

1. Принятие решений в условиях определенности характеризуется тем, что принимающий решение знает состояние среды.

2. Принятие решений в условиях неопределенности характеризуется тем, что принимающий решение не знает состояние среды, но знает множество всех сред.

3. Принятие решений несет информацию о вероятных появлений тех или иных состояний среды, тогда говорят что принятие решений происходит в условиях риска.

Рисунок 2 Компонента ЗПР.

Целевая структура ЗПР  дает оценку исходов с точки зрения принимающего решения. Эта оценка представляет функция: φ: A→ΙR каждому исходу ставится число в соответствии оценки с точки зрения принимающего решения. В экономике в качестве оценки выступает прибыль, доход, но не всегда. Время выполнение какого-нибудь проекта, доля рынка завоевание фирмой.

Компонента φ ·F есть функция которая каждой паре вида (x,y) ставит в соответствии число-оценку исхода F (x,y).

Компонента действует  последовательно!

φ ·F (x,y) = φ (F (x,y)) - есть число, которое является оценкой ситуации (x,y).

Принятие решений в  условиях определенности.

При принятие решений в условиях определенности состояние среды известно, поэтому мы его исключаем из вопроса. Оценочная функция задается сразу на множестве их допустимых альтернатив и представляет собой числовое значение: f׃ x→R

f (x) Оценка альтернативы x (с точки зрения принимающего решение)

оценка альтернативы есть некоторый критерий, который может  быть позитивным и негативным.

Позитивный критерий такой, каким мы хотим увеличить, а негативный наоборот, уменьшить. Принцип оптимальности алтернативы называется оптимальной если она максимизирует позитивный критерий (или миминизирует негативный).

x*єx ↔f (x*) =maxf (x) позитивный критерий

xєX

f (x*) =minf (x) негативный критерий

xєX

 

УЧЕТ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПАССИВНЫХ УСЛОВИЙ

 

Неопределенные факторы, закон распределения которых  неизвестен, являются наиболее характерными при исследовании качества адаптивных систем. Именно на этот случай следует ориентироваться при выборе гибких конструкторских решений. Методический учет таких факторов базируется на формировании специальных критериев, на основе которых принимаются решения. Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа уже давно и прочно вошли в теорию принятия решений.

 

 

В соответствии с критерием  Вальда в качестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем "нижняя цена игры с природой":

Правило выбора решения в  соответствии с критерием Вальда можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [W_ir] дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов W_ir каждой строки. Выбрать надлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение W_ir этого столбца.

Выбранное таким образом  решение полностью исключает  риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия V_j не встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже W. Это свойство заставляет считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишний пессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение этого критерия может быть оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

о вероятности появления  состояния V_j ничего не известно;

с появлением состояния V_j необходимо считаться;

реализуется лишь малое количество решений;

не допускается никакой  риск.

Критерий Байеса-Лапласа  в отличие от критерия Вальда, учитывает каждое из возможных следствий всех вариантов решений:

Соответствующее правило  выбора можно интерпретировать следующим  образом: матрица решений [W_ij] дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбирается тот вариант, в строках которого стоит наибольшее значение W_ir этого столбца.

Критерий Байеса-Лапласа  предъявляет к ситуации, в которой  принимается решение, следующие  требования:

вероятность появления состояния  V_j известна и не зависит от времени;

принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций;

допускается некоторый риск при малых числах реализаций.

В соответствии с критерием  Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:

 

 

Здесь величину W можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии  V_j вместо варианта U_i выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений [W_ij] вычитается из наибольшего результата max W_ij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей W_ir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.

Согласно критерию Гурвица  выбирается такая стратегия, которая  занимает некоторое промежуточное  положение между крайним пессимизмом  и оптимизмом:

 

,

 

где r - коэффициент пессимизма, выбираемый в интервале [0,1].