Определение требований к частотным характеристикам аналогового ФНЧ

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение……………………………………………………………………………...4

Задание для курсовой работы…………………………………………………….....5

Раздел 1 Определение требований к частотным характеристикам

аналогового ФНЧ…………………………………………………………7

Раздел 2 Синтез цифрового фильтра Баттерворта НЧ………………………….....8

Раздел 3 Синтез цифрового фильтра Чебышева НЧ……………………………..10

Раздел 4 Частотные характеристик НЧ…………………………………………...12

Раздел 5 Построение схем цифровых фильтров НЧ……………………………..13

Раздел 6 Синтез цифровых фильтров ПФ………………………………………...15

Приложения. Примеры выполнения курсовой работы………………………….18

А. Билинейное z-преобразование……………………………………….18

Б. Пример расчета требований к прототипу  цифрового фильтра……19

В. Пример расчета цифрового ФНЧ с характеристикой Баттерворта

по аналоговому прототипу………………………………………………21

Г. Пример расчета цифрового ФНЧ с характеристикой Чебышева

по аналоговому прототипу………………………………………………23

Д. Построение частотных характеристик цифрового ФНЧ

Баттерворта.................................................................................................25

Е. Построение схемы цифрового фильтра……………………………...28

Список рекомендуемой литературы………………………………………………29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

 

 

 

 

 

Задания для курсовой работы

В таблице 1 приведены исходные данные для расчета полосового фильтра. В первом столбце информация о номере варианта, где n – порядковый номер по списку группы

Таблица 1 –  Исходные данные для расчета цифровых фильтров	m = 3	f2з, кГц	11,56	12,96	14,47	13,7	11,8	12,1	11,6	13,4	14,6	14,1	15,1	12,1	11,9	13,9	13,7	12,2	11,9	9,7	9,6	10,4	10,2	10,5	11	11,3	11,55	13	11,75	11,15	10,3	9,64
		f2п, кГц	9,06	9,64	10,25	10,25	9,64	9,06	9,06	9,64	10,2	10,2	9,64	9,06	9,06	9,64	9,64	10,2	10,2	9,06	9,06	9,64	9,06	10,24	9,64	9,93	10,3	10,3	9,93	9,64	9,34	9,06
		f1п, кГц	7,06	6,64	6,25	6,25	6,64	7,07	7,07	6,64	6,3	6,3	6,64	7,07	7,07	6,64	6,64	6,3	6,3	7,07	7,07	6,64	7,07	6,85	6,64	6,4	6,3	6,3	6,4	6,64	6,85	7,07
		f1з, кГц	5,56	4,96	4,47	4,69	5,44	5,29	5,56	4,79	4,39	4,54	4,13	5,29	5,39	4,65	4,67	5,26	5,4	6,6	6,68	6,19	6,3	6,09	5,86	5,67	5,5	4,94	5,44	5,74	6,24	6,63
	m = 2	f2з, кГц	13,41	14,72	16,07	15,41	13,64	14	13,41	15,16	16,3	15,84	17,17	13,97	13,76	15,47	14,93	14,02	13,7	11,65	11,55	12,29	12,08	12,44	12,84	13,19	13,45	14,78	13,64	13,06	12,19	11,6
		f2п, кГц	11,04	11,6	12,19	12,19	11,6	11,04	11,04	11,6	12,19	12,19	11,6	11,04	11,04	11,6	11,6	12,19	12,19	11,04	11,04	11,6	11,04	11,32	11,6	11,9	12,19	12,19	11,9	11,6	11,32	11,04
		f1п, кГц	9,05	8,62	8,2	8,2	8,62	9,05	9,05	8,62	8,2	8,2	8,62	9,05	9,05	8,62	8,62	8,2	8,2	9,05	9,05	8,62	9,05	8,83	8,62	8,41	8,2	8,2	8,41	8,62	8,83	9,05
		f1з, кГц	7,46	6,79	6,22	6,48	7,33	7,16	7,46	6,6	6,13	6,3	5,82	7,16	7,27	6,46	6,7	7,13	7,29	8,59	8,66	8,14	8,27	8,03	7,79	7,58	7,44	6,77	7,33	7,65	8,2	8,52
	m = 1	f2з, кГц	12,45	13,8	15,18	14,511	12,69	13,03	12,45	12,24	15,42	14,95	16,31	13,03	12,81	14,57	14,01	13,08	12,76	10,66	10,56	11,31	11,1	11,22	11,87	12,23	12,49	13,85	12,7	12,1	11,22	10,63
		f2п, кГц	10,05	10,62	11,21	11,21	10,62	10,05	10,05	10,62	11,21	11,21	10,62	10,05	10,05	10,62	10,62	11,21	11,21	10,05	10,05	10,62	10,05	10,33	10,62	10,91	11,21	11,21	10,91	10,62	10,33	10,05
		f1п, кГц	8,06	7,63	7,22	7,22	7,63	8,06	8,06	7,63	7,22	7,22	7,63	8,06	8,06	7,63	7,63	7,22	7,22	8,06	8,06	7,63	8,06	7,84	7,63	7,42	7,22	7,22	7,42	7,63	7,84	8,06
		f1з, кГц	6,5	5,87	5,33	5,58	6,38	6,22	6,5	5,68	5,25	5,48	9,96	6,22	6,32	5,56	5,78	6,19	6,35	7,59	7,67	7,16	7,39	7,21	6,82	6,62	6,48	5,84	6,38	6,69	7,21	7,62
	A1, дБ		0,011	0,028	0,044	0,099	0,177	0,011	0,028	0,044	0,099	0,177	0,011	0,028	0,044	0,099	0,177	0,011	0,028	0,044	0,099	0,177	0,011	0,028	0,044	0,099	0,177	0,011	0,028	0,044	0,099	0,177
	A2, дБ		41	39	40	39	40	45	44	45	44	43	50	49	50	49	50	40	41	40,5	40,5	40	46	45,5	45	44	44,5	45,5	45	44	43	44
	n		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

 

Табл.ица 1 (продолжение) – Исходные данные для расчета цифровых фильтров	m = 6	f2з, кГц	10,63	11,22	12,1	12,7	13,85	12,49	12,23	11,87	11,22	11,1	11,31	10,56	10,66	12,76	13,08	14,01	14,57	12,81	13,03	16,31	14,95	15,42	12,24	12,45	13,03	12,69	14,511	15,18	13,8	12,45
		f2п, кГц	10,05	10,33	10,62	10,91	11,21	11,21	10,91	10,62	10,33	10,05	10,62	10,05	10,05	11,21	11,21	10,62	10,62	10,05	10,05	10,62	11,21	11,21	10,62	10,05	10,05	10,62	11,21	11,21	10,62	10,05
		f1п, кГц	8,06	7,84	7,63	7,42	7,22	7,22	7,42	7,63	7,84	8,06	7,63	8,06	8,06	7,22	7,22	7,63	7,63	8,06	8,06	7,63	7,22	7,22	7,63	8,06	8,06	7,63	7,22	7,22	7,63	8,06
		f1з, кГц	7,62	7,21	6,69	6,38	5,84	6,48	6,62	6,82	7,21	7,39	7,16	7,67	7,59	6,35	6,19	5,78	5,56	6,32	6,22	9,96	5,48	5,25	5,68	6,5	6,22	6,38	5,58	5,33	5,87	6,5
	m = 5	f2з, кГц	11,6	12,19	13,06	13,64	14,78	13,45	13,19	12,84	12,44	12,08	12,29	11,55	11,65	13,7	14,02	14,93	15,47	13,76	13,97	17,17	15,84	16,3	15,16	13,41	14	13,64	15,41	16,07	14,72	13,41
		f2п, кГц	11,04	11,32	11,6	11,9	12,19	12,19	11,9	11,6	11,32	11,04	11,6	11,04	11,04	12,19	12,19	11,6	11,6	11,04	11,04	11,6	12,19	12,19	11,6	11,04	11,04	11,6	12,19	12,19	11,6	11,04
		f1п, кГц	9,05	8,83	8,62	8,41	8,2	8,2	8,41	8,62	8,83	9,05	8,62	9,05	9,05	8,2	8,2	8,62	8,62	9,05	9,05	8,62	8,2	8,2	8,62	9,05	9,05	8,62	8,2	8,2	8,62	9,05
		f1З, кГц	8,52	8,2	7,65	7,33	6,77	7,44	7,58	7,79	8,03	8,27	8,14	8,66	8,59	7,29	7,13	6,7	6,46	7,27	7,16	5,82	6,3	6,13	6,6	7,46	7,16	7,33	6,48	6,22	6,79	7,46
	m = 4	f2з,, кГц	9,64	10,3	11,15	11,75	13	11,55	11,3	11	10,5	10,2	10,4	9,6	9,7	11,9	12,2	13,7	13,9	11,9	12,1	15,1	14,1	14,6	13,4	11,6	12,1	11,8	13,7	14,47	12,96	11,56
		f2п,, кГц	9,06	9,34	9,64	9,93	10,3	10,3	9,93	9,64	10,24	9,06	9,64	9,06	9,06	10,2	10,2	9,64	9,64	9,06	9,06	9,64	10,2	10,2	9,64	9,06	9,06	9,64	10,25	10,25	9,64	9,06
		f1п,, кГц	7,07	6,85	6,64	6,4	6,3	6,3	6,4	6,64	6,85	7,07	6,64	7,07	7,07	6,3	6,3	6,64	6,64	7,07	7,07	6,64	6,3	6,3	6,64	7,07	7,07	6,64	6,25	6,25	6,64	7,06
		f1з,, кГц	6,63	6,24	5,74	5,44	4,94	5,5	5,67	5,86	6,09	6,3	6,19	6,68	6,6	5,4	5,26	4,67	4,65	5,39	5,29	4,13	4,54	4,39	4,79	5,56	5,29	5,44	4,69	4,47	4,96	5,56
	A1, дБ		0,177	0,099	0,044	0,028	0,011	0,177	0,099	0,044	0,028	0,011	0,177	0,099	0,044	0,028	0,011	0,177	0,099	0,044	0,028	0,011	0,177	0,099	0,044	0,028	0,011	0,177	0,099	0,044	0,028	0,011
	A2, дБ		44	43	44	45	45,5	44,5	44	45	45,5	46	40	40,5	40,5	41	40	50	49	50	49	50	43	44	45	44	45	40	39	40	39	41
	n		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

 

 

 

 

Раздел 1

Определение требований к частотным

характеристикам цифрового ФНЧ

 

1 По исходным данным варианта построить шаблон требований к частотным характеристикам рабочего ослабления и коэффициента передачи аналогового ПФ (рис. 1).

Для построения шаблона требований к частотной характеристике коэффициента передачи ПФ определить Hа(f) по формуле:

                                                     (1.1)

Рисунок 1 – Шаблон требований к частотной характеристике

аналогового полосового фильтра:

а – затухания; б – коэффициента передачи

 

2 По известным требованиям к аналоговому ПФ определить требования к аналоговому ФНЧ (рис. 2).

Ширина полосы пропускания (ПП) ФНЧ-прототипа f1 будет равна ширине ПП ПФ, а граничная частота полосы задерживания ПЗ f2 – разности граничных частот ПЗ ПФ:

                                                   (1.2)

                                                   (1.3)

Рисунок 2 – Шаблон требований к частотной характеристике аналогового фильтра нижних частот: а – затухания; б – коэффициента передачи

3. Произвести операцию преобразования частоты для цифрового фильтра. Частоты f1цп и f2цп рассчитываются по формуле 1.4 (рис. 3):

                      (1.4)

Рисунок 3 – Амплитудно-частотная характеристика:

а – аналогового ФНЧ, б – аналогового прототипа цифрового фильтра

 

 

Раздел 2

 Синтез цифрового фильтра Баттерворта НЧ

 

1 Определить операторную передаточную функцию (ОПФ) аналогового ФНЧ по данным раздела 1.

Для этого необходимо:

а) записать общее выражение ОПФ и определить корни полинома знаменателя;

б) изобразить расположение корней на комплексной плоскости;

в) изобразить требования к ФНЧ в виде функций – сомножителей первого и второго порядков.

2 Определить операторную передаточную функцию цифрового фильтра (HБ(z)).

3 Построить схемы цифрового фильтра Баттерворта.

4 Построить частотные характеристики фильтра Баттерворта.

Для этого необходимо:

а) записать выражение комплексной передаточной функции (КПФ) HБ(jω);

б) используя выражение КПФ, построить частотные характеристики  HБ(ω) и θ(ω) синтезированного фильтра.

 

1. Порядок аналогового фильтра определяется по формуле [3]:

,                                       (2.1)

где .

2. Квадрат модуля передаточной функции с полиномом Баттерворта определяется по формуле [3]:

,                                         (2.2)

где Сn – коэффициент при старшей степени полинома  знаменателя функции квадрата модуля.

Данную формулу удобнее использовать в несколько ином виде, разделив числитель и знаменатель на Сn:

.                                         (2.3)

Затухание ФНЧ Баттерворта определяется по формуле [3]

, (2.4)

где ε – коэффициент неравномерности в полосе пропускания.

Из формул (5.1.4) выходит, что

,                                      (2.5)

3. Корни квадрата модуля определяются из уравнения . Известно, что для устойчивой цепи корни должны располагаться в левой полуплоскости, поэтому для синтеза фильтра выбирают только корни вида:

.                                               (2.6)

Для функции порядка n эти корни будут иметь вид [4]:

,                           (2.7)

где k = 1,2,3…n.

Передаточная функция формируется в виде произведений полиномов второй степени (биквад) для чётных порядков. В случае нечётных порядков добавляется полином первого порядка.

Передаточная функция в общем виде будет иметь вид:

– для четных n:

,                                  (2.8)

где и – комплексно-сопряженные корни;

для нечетных n:

.                           (2.9)

Вначале находятся корни для Сn = 1. Все корни этого полинома располагаются на единичной окружности. Произведение двух комплексно-сопряженных сомножителей имеет вид:

 (2.10)

 Если Сn ≠ 1, то корни  будут расположены на окружности радиусом . Далее составляются биквады, при этом объединяются пары комплексно-сопряженных корней.

Значения  корней  умножают на δ. Это значит, что в сомножителе первой степени вместо 1 необходимо поставить δ, а в сомножителях второй степени коэффициент при первой степени умножается на δ, а свободный член на δ2:

.

На рис. 4 изображено семейство частотных характеристик при различных коэффициентах Сn.

Далее операторная передаточ- ная функция аналогового фильтра H(p) преобразуется в операторную передаточную функцию цифрового фильтра с помощью билинейного z-преобразования [см. приложение А].

Для построения схемы и частотных характеристик фильтра можно воспользоваться приложе- ниями В и Г соответственно.

 

 

Раздел 3

Синтез цифрового фильтра Чебышева

 

1 Определить операторную передаточную функцию (ОПФ) аналогового ФНЧ.

Для этого необходимо:

а) записать общее выражение ОПФ и определить корни полинома знаменателя.

б) изобразить расположение корней на комплексной плоскости.

в) изобразить требования к ФНЧ в виде функций – сомножителей первого и второго порядков.

2 Определить операторную передаточную функцию цифрового фильтра (HЧ(z)).

3 Построить схемы цифрового фильтра Чебышева.

4 Построить частотные характеристики фильтра Чебышева.

Для этого необходимо:

а) записать выражение комплексной передаточной функции (КПФ) HЧ(jω).

б) Используя выражение КПФ, построить частотные характеристики  HЧ(ω) и θ(ω) синтезированного фильтра.

 

1. Порядок аналогового фильтра определяется по формуле [3]:
2.                                    .                                  (3.1)
3. Квадрат модуля передаточной функции ФНЧ Чебышева [3]:

,                               (3.2)

где – полином Чебышева степени n.

Затухание ФНЧ Чебышева определяется как:

.                              (3.3)

Корни передаточной функции полинома Чебышева расположенные в левой полуплоскости рассчитываются по формуле:

,         (3.4)

где коэффициент неравномерности в полосе пропускания определяется как

,                                           (3.5)

 k = 1, 2,…, n.

Передаточная функция подлежащая реализации примет вид [4]:

– для четных n:

,                 (3.6)

для нечетных n:

,        (3.7)

где , – комплексно-сопряженные корни.

Далее составляются пары комплексно-сопряженных корней и записывается передаточная функция в виде произведения полиномов второго порядка.

Дальнейшие преобразования операторной передаточной функции аналогично преобразованиям аппроксимации по Баттерворту.

Раздел 4

Построение частотных характеристик

 

Для определения частотных характеристик фильтра необходимо перейти от передаточной функции H(z) к H( ), для чего выполняют замену .

Далее выполняются преобразования по формуле Эйлера:

Производится замена: