Вариационные и статистические ряды

Прежде чем перейти к анализу полученных, в результате эксперимента, статистических данных проводят их обработку, которая включает упорядоченную группировку и графическое представление. Результаты эксперимента – это в общем случае ряд чисел расположенных в беспорядке.

Операция расположения статистических данных по возрастанию, называется их ранжированием. Полученные таким  образом последовательности можно записать x1, x2…..xn .

Статистические ряды распределения  представляют собой упорядоченное расположение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному признаку.

По количественному признаку строится вариационный ряд распределения. Он состоит из частоты (численности) отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда. Данные числа показывают, насколько часто встречаются различные варианты (значения признака) в ряду распределения. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности.

Численности групп выражаются в абсолютных и относительных величинах. В абсолютных величинах выражается числом единиц совокупности в каждой выделенной группе, а в относительных величинах – в виде долей, удельных весов, представленных в процентах к итогу.

В зависимости от характера вариации признака различают дискретные и интервальные вариационные ряды распределения. В дискретном вариационном ряде распределения группы составлены по признаку, изменяющемуся дискретно и принимающему только целые значения.

В интервальном вариационном ряде распределения группиро–вочный признак, составляющий основание группировки, может принимать в определенном интервале любые значения.

Вариационные ряды состоят из двух элементов: частоты и варианты.

Вариантой называют отдельное значение варьируемого признака, которое он принимает в ряду распределения.

Частота – это численность отдельных вариант или каждой группы вариационного ряда. Если частоты выражены в долях единицы или в процентах к итогу, то их называют частостями.

Правила и принципы построения интервальных рядов распределения строятся по аналогичным правилам и принципам построения статистических группировок. Если интервальный вариационный ряд распределения построен с равными интервалами, частоты позволяют судить о степени заполнения интервала единицами совокупности. Для проведения сравнительного анализа заполненности интервалов определяют показатель, который будет характеризовать плотность распределения.

Плотность распределения – это отношение числа единиц совокупности к ширине интервала.

 Графическое  изображение рядов распределения

Анализ рядов распределения можно проводить на основе их графического изображения. Линейчатые и круговые диаграммы строятся для отображения структуры совокупности.

Применяются вместе с диаграммами и такие линии, как полигон, кумулята, огива, гистограмма. При изображении дискретных вариационных рядов используется полигон.

Полигон – ломаная кривая, строится на основе прямоугольной системы координат, когда по оси Х откладываются значения признака, а по оси У – частоты.

Гладкая кривая, соединяющая точки – это эмпирическая плотность распределения.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению ni / h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni / h.

Площадь i - го частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению Wi / h (плотность относительной частоты).

Кумулята – ломаная кривая, строящаяся на основе прямоугольной системы координат, когда по оси Х откладываются значения признака, а по оси У – накопленные частоты.

Если статистический ряд дискретный, то кумулята представляет собой ломаную линию, отрезки которой соединяют точками с координатами (xi, niнак), ( xi, wiнак).

Для интервального вариационного ряда, такая ломаная начинается с точки абсцисс, которая равна началу первого интервала, а ордината накопленной частоте или относительной частоте.

Другие точки этой ломаной соответствуют концам интервалов.

Накопленная частота – число вариантов со значениями менее чем ni. Следовательно, накопленная частота определяется:

.

Аналогично определяется накопленная относительная частота с учетом соотношения:

.

Задача №1

Одна из организаций БТИ отбирает 10 работ ежедневно в течении 30 дней:

15,12,14,18,10,12,14,12,15,17,18,16,11,10,8,10,12,15,11,8,10,14,17,18,12, 16,11,16,8,14.

Построить вариационный и статистический ряд ежедневной обработки информации в течении месяца. На основании полученных данных построить график частот и относительных частот.

Решение:

1. Построим вариационный ряд:

8,8,8;  10,10,10,10;  11,11,11;  12,12,12,12,12;  14,14,14,14;  15,15,15;  16,16,16;  17,17;  18,18,18.

2. Составим статистический ряд и  построим полигон частот:

Xi	8	10	11	12	14	15	16	17	18
ni	3	4	3	5	4	3	3	2	3

3. Определяем относительные частоты и построим полигон относительных частот:

 

Xi	8	10	11	12	14	15	16	17	18
Wi	0.1	0.13	0.1	0.17	0.13	0.1	0.1	0.07	0.1

 

Задача №2

Для интегрального статистического ряда, заданного таблицей, построить гистограмму относительных частот:

интервалы	152-158	158-164	164-170	170-176	176-182	182-188
ni	4	5	6	7	5	3

Решение:

1. Вычислим объем выборки и относительные частоты:

;

;

интервалы	152-158	158-164	164-170	170-176	176-182	182-188
Wi	0.13	0.17	0.2	0.23	0.17	0.1

 

2. Определяем длину интервала и вычисляем высоту прямоугольной ступенчатой фигуры:

;

.

интервалы	152-158	158-164	164-170	170-176	176-182	182-188
Hi	0.02	0.028	0.033	0.038	0.028	0.017

 

3. Строим гистограмму относительных частот, при этом соединяем середины верхних оснований прямоугольников отрезками, получим полигон  относительных частот того же распределения и здесь же показываем f(x) случайной величины.

Задача №3.

Для статистического ряда, заданного таблицей, построить куммулятивную кривую.

Xi	1	2	3	4	5	6
ni	4	5	8	10	24	11

 

Решение:

Имеем дискретный статистический ряд. Составим таблицу, содержащую накопленные относительные частоты. Предварительно найдем относительные частоты.

;

;

niнак	4	9	17	27	51	62
Wi	0,06	0,08	0,13	0,16	0,39	0,18
wiнак	0,06	0,14	0,27	0,43	0,82	1