Задачи по "Статистике"

Задача 1

Исходные данные.

В табл. 1 приведены данные о доходах узлов почтовой связи  по видам обмена за базисный и отчетный годы.

Таблица 1

Доходы по видам обмена, млн. руб.
Письменная корреспонденция		Денежные переводы		Посылки
Базисный год	Отчетный год	Базисный год	Отчетный год	Базисный год	Отчетный год
485	550	320	400	630	620

 

Задание. Вычислить:

- относительные показатели  динамики по каждому виду обмена  и в целом по обмену;

- структуру доходов  за базисный и отчетный годы;

- изобразить графически структуру и динамику доходов.

 

Решение:

Относительный показатель динамики определяется как отношение  уровня исследуемого процесса за данный период времени к уровню этого  же процесса в прошлом.

Относительный показатель динамики письменной корреспонденции:

= 0,88 = 88% (доходы от письменной  корреспонденции уменьшились на 12%).

Относительный показатель динамики денежных переводов:

= 0,8 = 80% (доходы от денежных  переводов уменьшились на 20%).

 

Относительный показатель динамики посылок:

= 1,01 = 101% (доходы от посылок увеличились на 1%)

Относительный показатель динамики в целом:

= 1,09 = 109% (в целом по обмену  произошло увеличение доходов на 9%)

             

Рис 1. Динамика дохода

 

Относительный показатель структуры (ОПС) представляет собой  отношение структурных частей изучаемого объекта и их целого.

Общие доходы за базисный год составили:

485 + 320 + 630 = 1435 млн. руб.

Относительный показатель структуры письменной корреспонденции за базисный год:

  = 0,34 = 34%

Относительный показатель структуры денежных переводов за базисный год:

= 0,22 = 22%

Относительный показатель структуры посылок за базисный год:

= 0,44 = 44%

Общие доходы за отчетный год составили:

550 + 400 + 620 = 1570

Относительный показатель структуры письменной корреспонденции за отчетный год:

  = 0,35 = 35%

Относительный показатель структуры денежных переводов за отчетный год:

= 0,25 = 25%

Относительный показатель структуры посылок за отчетный год:

= 0,39 = 39%

 

Рис 2 Структура доходов

Задача 2

По приведенным данным определить:

1. среднюю заработную плату одного работника;
2. моду и медиану;
3. коэффициент асимметрии.

Изобразите анализируемый  ряд графически. Сформулируйте выводы по исчисленным показателям.

Таблица 2

Размер среднемесячной заработной платы, тыс. руб.	Количество работников, чел	Середина интервального размера	x*f
до 3	40	2,5	100
3-4	60	3,5	210
4-5	100	4,5	450
5-6	80	5,5	440
6-7	70	6,5	455
свыше 7	50	7,5	375
Итого	400		2030

 

Решение:

Определим средний уровень  ряда по формуле средней  арифметической взвешенной для интервального ряда:

X_iср – середина i-го интервала;

f_i – частота i-го интервала;

Sf_i - сумма частот ряда.

= 5,08 тыс. руб.

Определим моду и медиану.

Конкретное значение моды для интервального ряда определяется формулой:

где х_Ма - нижняя граница модального интервала;

i_mo - величина модального интервала;

f _{М о} - частота, соответствующая модальному интервалу;

f _{М о-1} — частота, предшествующая модальному интервалу;

f_Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

= = 4,67 усл. ед.

Медиана (Me) — это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части.

Формула медианы в  интервальном ряду распределения будет иметь следующий вид:

где Xмè -  нижняя граница медианного интервала;

 i_Me  - величина медианного интервала;

 Σf/2 - полусумма частот  ряда;

 Σf _Mе-₁- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f_Met   - частота медианного интервала.

Для определения медиального интервала необходимо рассчитать накопленною частоту до тех пор пока она не превысила:

= 200,5

М_е = = 5,0

Определим показатель среднего квадратического  отклонения:

=1,5

*100 = = 29,5

Отдельные варианты ряда отклоняются от среднего значения в  среднем на 1,5 тыс. руб.

Симметричность распределения  рабочих можно оценить с помощью показателя асимметрии:

0,27

                

Рис 3 Распределение работников по заработной плате

Задача 3

Задание. По приведенным  данным определить:

1. среднегодовой уровень денежных переводов за весь период;
2. абсолютные приросты денежных переводов и среднегодовой прирост;
3. цепные и базисные темпы роста и прироста денежных переводов;
4. абсолютное значение одного процента прироста;
5. среднегодовой темп роста за весь период;
6. исходные данные изобразить графически. Сделать вывод о характере изменения денежных переводов по годам.

Таблица3

Денежные переводы (тыс. единиц)
2000	2001	2002	2003	2004
314	343	386	431	480

 

Средний уровень интервального  ряда определяется по средней арифметической простой:

 = 390,8 тыс. ед.,

где у₁,у_2..,у_т – уровни ряда динамики; n – число уровней.

Абсолютный  прирост показывает, на сколько, в абсолютном выражении, изменился уровень ряда. Он определяется по следующим формулам:

цепной: ∆у = у_i – у_i-1 ; базисный: ∆у₀ = у_i – у₁

где y_i- уровень сравниваемого периода; y ₀- уровень базисного периода;

y_i-1 – уровень предшествующего периода

Средний абсолютный прирост можно определить по  формуле:

; где n-число уровней ряда.

 = 41,5 тыс. ед.

Цепной темп роста определяется как отношение данного уровня к предыдущему или начальному уровню:

 

Рассчитаем:

= 109%

= 113%

= 112%

= 111%

Отношение каждого последующего уровня к начальному, дает базисный темп роста:

Рассчитаем:

= 109%

= 123%

= 137%

= 153%

Таблица 4 Аналитические показатели

Годы	Денежные переводы (тыс. единиц)	Абсолютный прирост		Темп роста, %		Темп прироста, %		Абсолютное значение 1% прироста
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
2000	314	-	-	-	-	-	-	-
2001	343	29	29	109	109	9	9	3,14
2002	386	43	72	113	123	13	23	3,43
2003	431	45	117	112	137	12	37	3,86
2004	480	49	166	111	153	11	53	4,31

 

Темп прироста показывает, на сколько процентов один уровень ряда отличается от другого. Темп прироста можно вычислить путем вычитания из значения темпа роста 100%.

Данные таблицы 7 показывают, что абсолютное значение 1 % прироста увеличивается из год в год, что означает увеличение скорости роста денежных переводов.

Среднегодовой темп роста  определяется как  средняя геометрическая из цепных темпов роста:

Средний темп роста рассчитывается как:

=

Среднегодовой уровень  денежных переводов за весь период:

= 390,8 тыс. ед.

Рис. 4 Динамика денежных переводов за 2000-2004 гг.

На рис. 4 хорошо видно ежегодное плавное увеличение  количества денежных переводов.

Задача 4

Задание. Произвести выравнивание динамического ряда по прямой (методом аналитического выравнивания). Сделать выводы о закономерности изменения данного ряда. Изобразить эмпирический и выравненный ряды графически.

Таблица 5

Месяц	Обмен по месяцам
Январь	220
Февраль	242
Март	238
Апрель	190
Май	254
Июнь	253
Июль	260
Август	265
Сентябрь	250
Октябрь	248
Ноябрь	253
Декабрь	249

 

Метод аналитического выравнивания позволяет не только выявить тренд, но и построить его модель. Уровни ряда заменяются теоретическими уровнями рассчитанными на  основе адекватной математической модели, наилучшим образом отображающей основную тенденцию развития явления. В качестве такой модели возьмем линейную функцию:

Параметры уравнения  определим с помощью метода наименьших квадратов, решив следующую систему уравнений:

Расчет параметров упрощается, если за начало отсчета времени (t=0) принять центральный интервал (момент).

Рассчитаем:

а₀ = = = 243,5

а₁= = =  = = 1,4

В результате мы получили следующее уравнение тренда:

 

= 243,5 + 1,4 (-11) = 243,5 - 15,4 = 228,1

= 234,5 + 1,4 (-9) = 243,5 – 12,6  = 230,9