Показатели вариации признаков, способы их расчета

ВВЕДЕНИЕ

Тема реферата «Показатели  вариации признаков, способы их расчета». Предметом данной работы являются показатели вариации признаков. Цель лежит в изучении теоретических основ статистики. Основная задача реферата состоит в изучении способов расчета показателей вариации признаков.

Вариация – это  различие в значениях какого- либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Например, работники фирмы  различаются по доходам, затратам времени  на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно  в период формирования многоукладной  экономики. Измерение вариации, выяснение  ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты усредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом – эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом – велика, это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.

Чем больше варианты отдельных  единиц совокупности различаются между  собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - чем  меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность.

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ ПРИЗНАКОВ, СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.

Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Средняя величина — это абстрактная, обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от нее. В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность.

В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.

Термин "вариация" произошел  от латинского variatio –“изменение, колеблемость, различие”. Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию признака: случайную и систематическую.

Анализ систематической  вариации позволяет оценить степень  зависимости изменений в изучаемом  признаке от определяющих ее факторов. Например, изучая силу и характер вариации в выделяемой совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и качественном отношении, а следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости данных отдельных единиц хi к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей.

Абсолютные  и средние показатели вариации и  способы их расчета

 

Для характеристики совокупностей и исчисленных величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средним.

Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей. Наиболее простой из них - размах вариации.

Размах вариации - это разность между наибольшим ( ) и наименьшим ( ) значениями вариантов.

Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение d, которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности. Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:

 

 

Порядок расчета среднего линейного отклонения следующий:

1) по значениям признака исчисляется  средняя арифметическая: ;

2) определяются отклонения каждой  варианты  от средней ;

3) рассчитывается сумма абсолютных величин отклонений: ;

4) сумма абсолютных величин отклонений  делится на число значений: .

Если данные наблюдения представлены в виде дискретного  ряда распределения с частотами, среднее линейное отклонение исчисляется  по формуле средней арифметической взвешенной:

Порядок расчета среднего линейного отклонения взвешенного  следующий:

1) вычисляется средняя  арифметическая взвешенная: ;

2) определяются абсолютные отклонения  вариант от средней / /;

3) полученные отклонения  умножаются на частоты  ;

4) находится сумма  взвешенных отклонений без учета  знака: ;

5) сумма взвешенных  отклонений делится на сумму  частот: .

Расчет дисперсии  и среднего квадратического отклонения по индивидуальным данным и в рядах распределения

 

Основными обобщающими  показателями вариации в статистике являются дисперсии и среднее  квадратическое отклонение.

Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается . В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:

 — дисперсия не взвешенная (простая);

 — дисперсия взвешенная.

 

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается S:

 — среднее квадратическое отклонение невзвешенное;

 — среднее квадратическое  отклонение взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.

Порядок расчета  дисперсии взвешенную:

1) определяют среднюю  арифметическую взвешенную ;

2) определяются отклонения  вариант от средней  ;

3) возводят в квадрат  отклонение каждой варианты от  средней  ;

4) умножают квадраты  отклонений на веса (частоты)  ;

5) суммируют полученные  произведения ;

6) Полученную сумму  делят на сумму весов .

Свойства дисперсии

Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии  не изменяет.

Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.

Уменьшение или увеличение каждого значения признака в  какое-то число раз к соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в раз, а среднее квадратическое отклонение - в к раз.

Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной: .

Если А равна нулю, то приходим к следующему равенству: , т.е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.

Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими.

Порядок расчета  дисперсии простой:

1) определяют среднюю  арифметическую  ;

2) возводят в квадрат  среднюю арифметическую ;

3) возводят в квадрат  каждую варианту ряда ;

4) находим сумму квадратов  вариант  ;

5) делят сумму квадратов  вариант на их число, т.е. определяют средний квадрат ;

6) определяют разность  между средним квадратом признака  и квадратом средней  .

Расчет дисперсии в интервальном ряду распределения

Порядок расчета  дисперсии взвешенной (по формуле  ):

1) определяют среднюю арифметическую ;

2) возводят в квадрат полученную среднюю ;

3)возводят в квадрат каждую варианту ряда ;

4) умножают квадраты вариант на частоты ;

5)суммируют полученные произведения ;

6)делят полученную сумму на сумму весов и получают средний квадрат признака

;

7)определяют разность между средним значением квадратов и квадратом средней арифметической, т.е. дисперсию .

Показатели  относительного рассеивания

 

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей).

Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.

3. Коэффициент вариации

Учитывая, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если V больше 40 %, то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Применяя любой вид  статистических показателей, полезно  знать, каковы предельно возможные  значения данного показателя для  изучаемой системы и каково отношение фактически наблюдаемых значений к предельно возможным. Особенно актуальна эта проблема при изучении вариации абсолютных показателей, таких, как объем производства определенного вида продукции, наличие определенных ресурсов, распределение капиталовложений, доходов, прибыли.