Средние величины в статистике

 

 

Задание 1.

Средние величины в статистике.

 

1. Понятие о  средних величинах.

Статистика, как известно, изучает массовые социально-экономические явления. Каждое из этих явлений может иметь различное количественное выражение одного и того же признака. Например, заработная плата одной и той же профессии рабочих или цены на рынке на один и тот же товар и т.д.

Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно изменяющимся) признакам статистика использует средние величины.

Таким образом, смысл и значение средней величины в статистике состоят в том, что она дает обобщенную цифровую характеристику изучаемого общественного явления.

Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин.

Например, обобщающим показателем доходов рабочих акционерного общества (АО) служит средний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда заработной платы и выплат социального характера за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) к численности рабочих АО. Для лиц с достаточно однородным уровнем доходов, например, работников бюджетной сферы и пенсионеров по старости (исключая имеющих льготы и дополнительные доходы) можно определить типичные доли расходов на покупку предметов питания. Так можно говорить о средней продолжительности рабочего дня, среднем тарифном разряде рабочих, среднем уровне производительности труда и т.д.

Средняя отражает характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений, характеризует эти уровни и их изменения во времени и в пространстве. 

Средняя – это сводная характеристика закономерностей процесса в тех условиях, в которых он протекает.

Анализ средних выявляет, например, закономерности изменения производительности труда, заработной платы рабочих отдельного предприятия на определенном этапе его экономического развития, изменения климата в конкретном пункте земного шара на основе многолетних наблюдений средней температуры воздуха и др.

На практике современная статистика использует так называемые системные средние, обобщающие неоднородные явления (характеристика государства, единой  народнохозяйственной системы: например, средний национальный доход на душу населения, средняя урожайность зерновых по всех стране, средний реальный доход на душу населения, среднее потребление продуктов питания на душу населения, производительность общественного труда).

В современных условиях развития рыночных отношений в экономике средние служат инструментом изучения объективных закономерностей социально-экономических явлений. Однако в экономическом анализе нельзя ограничиваться лишь средними показателями, так как за общими благоприятными средними могут скрываться и крупные серьезные недостатки в деятельности отдельных хозяйствующих субъектов, и ростки нового, прогрессивного. Так, например, распределение населения по доходу позволяет выявлять формирование новых социальных групп. Поэтому наряду со средними статистическими данными необходимо учитывать особенности отдельных единиц совокупности.

Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку, но для характеристики  любой совокупности, описания ее типических черт и качественных особенностей нужна система средних показателей. Поэтому в практике отечественной статистики для изучения социально-экономических явлений, как правило, исчисляется система средних показателей. Так, например, показатели средней заработной платы оцениваются совместно с показателями средней выработки, фондовооруженности и энерговооруженности труда, степенью механизации и автоматизации работ и др.

 

2. Виды средних.

В каждом конкретном случае применяется одна их средних величин: арифметическая, гармоническая, структурная и т.д.

Средняя арифметическая.

Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего (изменяющегося) признака всей совокупности является суммой значений признаков отдельных единиц.

При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата или средний доход работников предприятия - это такая сумма денег, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь фонд оплаты труда (или все доходы, направленные на личное потребление) был распределен между работниками поровну.

Исходя из определения, формула средней арифметической простой величины имеет вид:

 

 = , где

х - значение величин, для которых необходимо расчитать среднее значение,

 – общее количество значений х (число единиц в изучаемой совокупности).

Например: Студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической простой:

 4.

 

 

Средняя арифметическая взвешенная – средняя из вариантов, которая повторяется различное число раз или, как говорят, «имеет различный вес».

Она имеет следующий вид:

 

 ,  где

х - значение величин, для которых необходимо расчитать среднее значение,

ƒ – количество величин с одинаковым значением х.

Например: Студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической взвешенной:

 = = 4.

 

 

Если значения х заданы в виде интервалов, то для расчетов используют середины интервалов х, которые определяются как полусумма верхней и нижней границ интервала.

Например: На предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 - со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников - со стажем более 5 лет. Тогда рассчитаем средний стаж работников по формуле средней арифметической взвешенной, приняя в качестве х середины интервалов стажа (2, 4 и 6 лет):

  = 3,71 года.

 

Средняя арифметическая применяется чаще всего, но бывают случаи, когда необходимо применение других видов средних величин.

 

 

Средняя гармоническая.

Средняя гармоническая применяется, когда исходные данные не содержат частот f по отдельным значениям х, а представлены как их произведение хf. Обозначив хf = w, выразим f = , и, подставив эти обозначения в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу средней гармонической взвешенной:

= , где

x – значение осредняемого признака;

w – вес варианты x, объем осредняемого признака.

 

 

К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Например: По имеющимся данным о продаже хлеба «Дарницкий» определить среднюю цену одной булки хлеба.

№ торгового павильона	Цена одной булки хлеба «Дарницкий» весом 0,5 кг, руб. (x)	Сумма выручки от продажи хлеба «Дарницкий», руб. (w)	Количество проданных булок , шт
1	10,40	10400	1000
2	9,60	4800	500
3	11,20	11200	1000
Итого:		26400	2500

 

Средняя цена одной булки хлеба может быть определена делением общей суммы выручки от продажи хлеба на общее количество проданных булок 

 Применяя формулу средней гармонической взвешанной получим:

 

  = = = 10,56 руб.

 

Используя для расчёта средней цены формулу средней арифметической простой, получим = =10,40 руб., что является неверным результатом, так как не учтено количество проданных булок. Погрешность составляет 16 коп.

 

 

Структурная средняя величина.

К наиболее часто используемым структурным средним относятся статистическая мода и статистическая медиана.

Статистическая мода (Мо) - это наиболее часто повторяющееся значение величины х в исследуемой совокупности значения признака.

Мода может применяться при определении магазинов, которые чаще посещаются, наиболее распространенной цены на какой-либо товар. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле:

= +   •  , где

- нижняя граница модального интервала;

 – частота модального интервала;

 –  частота интервала, предшествующего  модальному;

 –  частота интервала, следующего за  модальным.

– величина интервала;

 

Например:

Группировочные данные по торговой площади магазинов

Торговая площадь магазинов, кв. м	Число магазинов, единиц
До 100	3
От 10 до 120	13
От 120 до 140	15
От 140 до 160	20
От 160 до 180	8
180 и более	1
ИТОГО	60

 

Как видно из сгруппированных данных, модальный интервал будет лежать в границах интервала от 140 до 160 кв. м, так как этому интервалу соответствует большая частота (20 магазинов).

 

= + •  = 140 + • (160 - 140) =          

= 140 + • 20 = 140 + • 20 = 145,8 кв.м.

Следовательно, из этой группы больше всего магазинов имеют торговую площадь 145,8 кв. м.

 

Как и мода, медиана относится к структурным средним, она так же является конкретной величиной. Размеры отклонения значений на моду и медиану не оказывают влияния.

 

Статистическая медиана (Ме) - это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части - со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда.

 

= +   • () , где

- нижняя граница модального интервала;

   – половина от общего числа наблюдений;

 – сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

 – число наблюдений в медианном интервале;

– величина интервала;

 

 

Например:   Расчет медианы по интервальному ряду

 

Группы семей по среднемесячному доходу на 1 человека, руб.	Число семей
До 900	10
900 – 1200	20
1200 – 1500	40
1500 – 1800	10
1800 и более	20
ИТОГО	100

 

= +   • () = 1200 + • (1500 - 1200) = 1200 + • 300 = = 1350 руб.

Следовательно, 50% семей имеют доход на одного человека не более 1350 руб., а 50% имеют доход на одного человека более 1350 руб.

 

 

Средняя геометрическая.

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени из произведений отдельных значений — вариантов признака x.

, где

n - число вариантов;

- знак  произведения.

 

Средняя квадратическая и средняя кубическая.

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны кубов).

 

Формулы для расчета средней квадратической:

 

Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного отделения суммы квадратов отдельных значений признака на их число: