Статистический анализ СУ в САПР

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение............................................................................................................	4
1. Многовариантный анализ в САПР...........................................................	5
2. Анализ чувствительности ССУ................................................................	7
2.1 Методы анализа чувствительности СУ при их использовании в САПР.................................................................................................................	9
3. Статистический анализ СУ в САПР........................................................	15
3.1 Методы статистического анализа СУ в САПР..................................	15
Заключение........................................................................................................	23
Список использованных источников..............................................................	24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОБРАЗОВАНИЯ И СОКРАЩЕНИЕЯ

 

СУ – Система управления

ССУ – Средства и системы управления

ММ – математическая модель

САПР – Система автоматизированного проектирования

ОДУ – Обыкновенное дифференциальное уравнение

ДПФ - Дискретное преобразование Фурье

ВВЕДЕНИЕ

 

В основу многовариантного анализа, в отличие от всех других методов прогнозирования, положена концепция, по которой в силу многих неопределенностей нельзя заранее знать то “одно” будущее, которое когда-то будет иметь место. Поэтому надо оценить вероятные альтернативные последствия различных его вариантов и быть готовым к возможным изменениям, заранее выявив различные схемы отклика на конкретное протекание событий.

Многовариантный анализ используется как на начальных этапах проектирования, так и при отработке СУ и позволяет разработчику провести всестороннее изучение СУ, определить зависимость выходных параметров от внутренних параметров и их разброса в заданном диапазоне внешних воздействий.

Только при наличии такой информации разработчик может судить о возможности реализации СУ на данных элементах и о соответствии ее функционирования техническому заданию.

 

 

1. МНОГОВАРИАНТНЫЙ АНАЛИЗ САПР

 

Верификация проектных решений СУ требует выполнения многовариантного анализа. Многовариантный анализ заключается в многократном решении задач одновариантного анализа (многократное решение систем уравнений ММ объекта) при изменении внутренних параметров СУ или внешних параметров. Выходные параметры объекта (вектор Y) являются функцией внутренних (вектор X) и внешних (вектор Q) параметров .

В задачи этого вида анализа входит определение допустимых отклонений внутренних параметров проектируемых объектов от их номинальных значений (полученных с помощью одновариантного анализа) и именующих случайный (стохастический) характер.

Именно такого вида отклонения определяют надежность работы установки и точность поддержания её выходных характеристик. Этот вид анализа предполагает изучение случайных событий и процессов, происходящих в различных системах проектируемых изделий и использование аппарата теорий случайных процессов, математической статистики для оценки их влияния.

Исследование влияния малых отклонений внутренних (и внешних параметров) на выходные характеристики разрабатываемых изделий предполагает:

а) Исследование характера (типа) отклонений этих параметров;

б) Знание статистических характеристик случайных (стохастических) отклонений.

По типу все отклонения могут быть систематические и случайные.

а) Систематические отклонения - постоянные во времени и пространстве.

б) Случайные отклонения могут быть пространственными (постоянными во времени) например отклонения в параметрах элементов электронных схем (допуски на сопротивления, конденсаторы и т.п.), неточности в изготовлении ячеек ускоряющих волноводов и т.п.

Методы многовариантного анализа являются в некотором смысле надстройкой над одновариантных моделях, которые отражают специфику конкретных предметных областей. В этом смысле многовариантный анализ достаточно универсален, а его методы практически не зависят от конкретных приложений.

Типовыми процедурами многовариантного анализа, реализуемыми в САПР, являются процедуры анализа чувствительности и статистического анализа.

 

Рисунок 1.1 — Структура многовариантного анализа

 

 

2. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ССУ

 

Анализ чувствительности заключается в нахождении тех элементов схемы и параметров этих элементов, отклонение которых от номинальных значений приводит к наибольшему отклонению выходных параметров схемы.

Параметры СУ в процессе работы не остаются равным расчетным значениям, что объясняется изменением внешних условий, неточностью изготовления отдельных устройств системы, старением элементов и т.д. Для числовой оценки чувствительности используют функции чувствительности, определяемые как частные производные от координат системы или показателей качества процессов управления по вариациям параметров:

где yi –координаты системы; xj – параметры системы. Индекс 0 означает, что функция uij вычисляется при номинальных значениях параметров.

Система, значения параметров которой равны номинальным и не имеют вариаций, называется исходной системой, а движение в ней – основным движением. Система, в которой имеют место вариации параметров, называется варьированной системой, а движение в ней – варьированным. Разность между варьированным и основным движениями называют дополнительным движением.

Пусть исходная система описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений.

Пусть в некоторый момент времени в системе произошли вариации параметров Δxj, где j = 1, 2, …., m; тогда параметры станут равными xj +Δxj.

Если вариации параметров не вызывают изменения порядка уравнения, то варьированное движение описывается новой системой n уравнений первого порядка:

Продифференцируем уравнения исходной системы (3.2) по Δxj:

Полученные линейные дифференциальные уравнения (3.3) называют уравнениями чувствительности. Решение их дает функции чувствительности uij. В силу сложности уравнений (3.3) их решение весьма затруднительно. Поэтому для автоматизации метода анализа чувствительности разработаны и используются в САПР ряд численных методов.

Анализ чувствительности применяется по отношению к объектам с непрерывными ММ. Результаты анализа чувствительности находят применение при решении задач параметрической оптимизации внутренних параметров объекта с целью улучшений его выходных параметров, так как позволяет определить какие внутренние параметры и в каком направлении следует изменять в первую очередь.

Количественно степень влияния внутренних и внешних параметров на выходные оценивается с помощью коэффициентов влияния (чувствительности) – частных производных.

 – абсолютный коэффициент  чувствительности

 – относительный коэффициент  чувствительности

xjном, yiном – номинальное значение  параметров.

Значения аij, bij для всех выходных и изменяемых внутренних параметров составляют матрицы чувствительности А и В, размера (m ´ n) при

 

x = (x1, x2, …, xn) и y = (y1, y2, …, ym)

Каждая строка матрицы А является вектором – градиентом одного из выходных параметров в пространстве внутренних параметров

Каждый столбец матрицы А характеризует влияние одного из внутренних параметров на все выходные параметры. В частных случаях может потребоваться вычисление только части матрицы чувствительности (например, градиент одного из выходных параметров). Формулы, явно выражающие коэффициент влияния через известные параметры объекта, могут быть получены в сравнительно редких случаях, когда используют аналитические модели объектов в виде . Тогда коэффициенты влияния определяются обычным дифференцированием выражений обычной модели.

 

2.1 МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ СУ ПРИ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИИ САПР

 

1. Метод приращений

Метод приращений – основан на численном дифференцировании зависимостей Y(X). Выполняется (n + 1) вариант анализа. В первом варианте принимается X = Xном результат анализа есть Yном. В каждом последующем (i + 1) варианте, i = 1, 2,.., n, задаётся отклонение от xiном только одному из внутренних параметров. Вычисляется значение Yi вектора Y и рассчитывается очередной i-й столбец Аi матрицы чувствительности

– выбирают обычно в пределах 5 – 10% от Хiном.

Достоинством метода являются универсальность, возможность распараллеливания вычислительного процесса. Недостатки метода – увеличение трудоёмкости, уменьшение точности.

2. Метод присоединенной цепи

Метод позволяет анализировать как линейные так нелинейные схемы, содержащие компоненты всех известных типов. При этом для определения чувствительности нужно использовать результаты расчета двух схем – исходной и специальной вспомогательной – присоединенной. Присоединенная схема строится по формальным правилам путем некоторых преобразований элементов исходной схемы, т.е. основным требование для присоединенной схемы является идентичность топологии с исходной.

В общем случае для получения присоединенной схемы необходимо закоротить все источники напряжения, на выходе схемы подключить единичный источник тока, использовать специальные модели, заменяющие нелинейные элементы. При этом чувствительность выходного напряжения вычисляется на основании расчета статического режима исходной и присоединенной схемы. Анализ динамических коэффициентов чувствительности основан на анализе статических коэффициентов чувствительности для каждого шага интегрирования.

В основе подхода лежит теорема Теллиджена. Теорема утверждает, что если - напряжение ветвей схемы А, а - токи ветвей схемы А, то

в любой момент времени.

Эта формула выражает закон сохранения энергии в любой момент времени. Исходя из теоремы Теллиджена можно сделать следующие утверждения.

Схема А' называется присоединенной к схеме А, если она имеет идентичную топологию. При построении присоединенной цепи требуется соблюдать некоторые дополнительные условия.

Пусть - напряжение ветвей схемы А', а - токи ветвей схемы А' (где А' присоединенная схема),

Пусть - напряжения ветвей схемы А и - для схемы A то справедливо такие выражения

,

Рассмотрим определенный коэффициент чувствительности для резистивной схемы.

Рисунок 3.1 — Схема А

На рисунке к выходу схемы подключен дополнительный источник тока (его сопротивление = ) не влияющий на работу схемы, но обеспечивающий удобство дальнейших преобразований.

Рассмотрим вторую схему А', топологически идентичную первой

Рисунок 3.2 — Схема А'

Компонентное уравнение для n-й ветви

Выражение для приращений

Применяя вышеприведенные формулы можно получить

здесь - чувствительность выходного напряжения по элементу

il, i'l - токи l-ных элементов исходной и присоединенной схем

Достоинство метода в том, что для получения коэффициентов чувствительности по всем элементам l необходимо промоделировать две схемы - А и А'.

Недостаток метода – расчет проводится только для одного выхода.

3. Метод дифференцирования уравнений

Представим ММ в виде:

где - вектор-столбец узловых потенциалов, - вектор-строка источников напряжения, - вектор-строка параметров компонентов схемы

Если φ* - решение уравнения (3.14), то справедлива система тождеств:

Продифференцировав (3.15) по параметрам p, получим:

Матрица коэффициентов чувствительности узловых потенциалов по параметрам, вычисляется по формуле (14)

 

4. Прямой метод

Прямой метод – используется, когда ММ объекта есть система ОДУ, а выходные параметры – функционалы результатов интегрирования (определяются по результатам анализа переходных процессов). Пусть ММ объекта представлены в виде системы ОДУ с вектором НУ V0, где V – вектор фазовых переменных размерности n; Х – вектор внутренних параметров (изменяемых) размерности m.

Эта система уравнений называется основной. Продифференцируем её по i-му элементу вектора X

Обозначив , получим вспомогательную систему из n линейных дифференциальных уравнений, называемых моделью чувствительности

Вектор zi – вектор чувствительности фазовых переменных к изменению i-го параметра.

Преобразование матрицы Z, составленной из столбцов zi, в матрицу чувствительности выполняется по алгоритмам, зависящим от способа определения выходных параметров Y, как функционалов зависимости V(t). Если yj – значение Vk вектора V в момент времени T, то , где Аj - j-я строка матрицы А, zk – k-я строка матрицы Z.

, то

Этот метод анализа чувствительности менее универсален, чем метод приращений, но позволяет повысить точность или снизить затраты машинного времени.

Он основан на интегрировании специальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, относится к специальному математическому обеспечению и применяется в подсистеме схемотехнического проектирования.

5. Регрессионный метод.

В регрессионном методе анализа чувствительности коэффициенты чувствительности отождествляются с коэффициентами регрессии, рассчитываемыми в процессе статистического анализа по методу Монте-Карло.