Теория измерений

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра «Метрология, стандартизация и сертификация»

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по теме:

«Теория измерений»

Вариант 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работу выполнил:

Студент группы Н32

Кириллова А.М.

Проверил: Свирюкова О.В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2013

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1. Задание.
2. Точечные оценки результатов измерений.
3. Решение задачи №1
4. Решение задачи №2
5. Список использованной литературы

Приложение 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точечные оценки законов распределения.

 

Функции распределения описывают  поведение непрерывных случайных величин, т.е. величин, возможные значения которых неотделимы друг от друга и непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал. На практике все результаты измерений и случайные погрешности являются величинами дискретными, т.е. величинами х_i, возможные значения которых отделимы друг от друга и поддаются счету. При использовании дискретных случайных величин возникает задача нахождения точечных оценок параметров их функций распределения на основании выборок — ряда значений х_i, принимаемых случайной величиной х в n независимых опытах. Используемая выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. должна достаточно хорошо представлять пропорции генеральной совокупности Х.

Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним  числом.

Задача нахождения точечных оценок — частный случай статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной  величины на основании выборки. В отличие от самих параметров их точечные оценки являются случайными величинами, причем их значения зависят от объема экспериментальных данных, а закон распределения — от законов распределения самих случайных величин.

Точечные оценки могут быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

 Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к истинному значению числовой характеристики.

 Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике. Наиболее эффективной считают ту из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию. Требование несмещенности на практике не всегда целесообразно, так как оценка с небольшим смещением и малой дисперсией может оказаться предпочтительнее несмещенной оценки с большой дисперсией. На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все три этих требования, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных точек зрения.

Наиболее распространенным методом  получения оценок является метод наибольшего правдоподобия, который приводит к асимптотически несмещенным и эффективным оценкам с приближенно нормальным распределением. Среди других методов можно назвать методы моментов¹  и наименьших квадратов.

Точечной оценкой математического  ожидания (МО) результата измерений  является среднее арифметическое значение измеряемой величины

 

 (8)

 

 

При любом законе распределения МО является состоятельной и несмещенной оценкой, а также наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов.

Точечная оценка дисперсии является несмещенной и состоятельной, определяется по формуле 

 

 (9)

 

 

Более удобна для практики другая оценка распределения случайной величины Х, это – среднее квадратическое отклонение (СКО).

Оценка среднего квадратического отклонения (СКО) случайной величины х определяется как корень квадратный из дисперсии.

Соответственно его оценка может быть найдена путем извлечения корня из оценки дисперсии. Однако эта операция является нелинейной процедурой, приводящей к смещенности получаемой оценки.  Для исправления оценки СКО вводят поправочный множитель k(n), зависящий от числа наблюдений n. Он изменяется от k(3) = 1,13 до k(∞) ≈1,03.

Оценка среднего квадратического отклонения

 

 

Полученные оценки МО и СКО являются случайными величинами. Это проявляется в том, что при повторениях серий из n наблюдений каждый раз будут получаться различные оценки Рассеяние этих оценок целесообразно оценивать с помощью СКО .

 

Ввиду того, что большое число  измерений проводится относительно редко, погрешность определения σ может быть весьма существенной. В любом случае она больше погрешности из-за смещенности оценки, обусловленной извлечением квадратного корня и устраняемой поправочным множителем k(n). В связи с этим на практике пренебрегают учетом смещенности оценки СКО отдельных наблюдений и определяют его по формуле

 

 (11)

т.е. считают  k(n) = 1.

Иногда оказывается удобнее  использовать следующие формулы  для расчета оценок СКО отдельных  наблюдений и результата измерения:

 (12)

Точечные оценки других параметров распределений используются значительно реже.

 

 

          Доверительная вероятность и доверительный интервал.

 

Рассмотренные точечные оценки параметров распределения дают оценку в виде числа, наиболее близкого к значению неизвестного параметра. Такие оценки используют только при большом числе измерений. Чем меньше объем выборки, тем легче допустить ошибку при выборе параметра.

Для практики важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, называемый доверительным, между границами которого с заданной доверительной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра

P {x_н < x < x_в} = (1-q)

 

где q — уровень значимости; х_н, х_в — нижняя и верхняя границы интервала разброса Х.

В общем случае доверительные интервалы можно строить на основе неравенства Чебышева. При любом законе распределения случайной величины, обладающей моментами первых двух порядков, верхняя граница вероятности попадания отклонения случайной величины х от центра распределения Х_ц интервал tS_x описывается неравенством Чебышева

 

P {|x -X_ц| ≤ tS_x}   ≤    (1 - 1/ t²)

 

где S_x — оценка СКО распределения; t — положительное число.

Для нахождения доверительного интервала не требуется знать  закон распределения результатов  наблюдений, но нужно знать оценку СКО.

Полученные с помощью неравенства  Чебышева интервалы оказываются  слишком широкими для практики. Так, доверительной вероятности 0,9 для многих законов распределений соответствует доверительный интервал 1,6S_x. Неравенство Чебышева дает в данном случае 3,16S_x. В связи с этим оно не получило широкого распространения.

В метрологической практике используют главным образом квантильные  оценки доверительного интервала. Под 100*P-процентным квантилем (х_р) понимают абсциссу такой вертикальной линии, слева от которой площадь под кривой плотности распределения равна Р%. Иначе говоря, квантиль — это значение случайной величины (погрешности) с заданной доверительной вероятностью Р. Например, медиана распределения является 50%-ным квантилем  - х₀₅.

На практике 25- и 75%-ный квантили принято называть сгибами, или квантилями распределения. Между ними заключено 50% всех возможных значений случайной величины, а остальные 50% лежат вне их.

Интервал значений случайной величины х между x_0.05  и x_0.95 охватывает 90% всех ее возможных значений и называется интерквантильным промежутком с 90%-ной вероятностью. Его протяженность равна 

d_0.9 = x_0.95 - x_0.05

На основании такого подхода  вводится понятие квантильных значений погрешности, т.е. значений погрешности с заданной доверительной вероятностью Р — границ интервала неопределенности 

±∆_Д  =  ±(х_р-х_1-р}/2  =  ±d_р/2

На его протяженности встречается  Р% значений случайной величины (погрешности), а q = (1-P)% общего их числа остаются за пределами этого интервала.

1) Для получения интервальной  оценки нормально распределенной  случайной величины необходимо:

• определить точечную оценку МО ( ) и СКО (S_x) случайной величины по формулам (8) и (11) соответственно;

• выбрать доверительную вероятность  Р из рекомендуемого ряда значений 0,90; 0,95; 0,99;

F(x_н) = q/2 = (1 - P)/2;          F(x_в) = (1 - q/2) = P + q /2

• найти верхнюю х_в и нижнюю х_н границы.

Значения х_н и х_в определяются из таблиц значений интегральной функции распределения А(t) или функции Лапласа Ф(t).

Полученный доверительный интервал удовлетворяет условию

 

               (13)

где n — число измеренных значений;

z_p — аргумент функции Лапласа Ф(t), отвечающей вероятности Р/2.

В данном случае z_p называется - квантильным множителем.

Половина длины доверительного интервала D_р = z_pS_x/n^1/2 называется доверительной границей погрешности результата измерений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

 

 

1. Приложение 1. «Статистическая таблица. Коэффициенты Стьюдента».
2. «Метрология»,  Сергеев А.Г., Крохин В.В., «Логос», Москва, 1999
3. «Оценка погрешностей результатов измерений», Новицкий П.В., Зограф И.А., «Энергоатомиздат», М, 1985.
4. «Сборник задач и вопросов по метрологии и измерительной технике.» К.П.Латышенко; Федер.агенство по образованию, Моск. Гос.ун-т инж. экологии, ф-т АИТ, каф. «Мониторинг и автоматизация системы контроля». – М.: МГУИЭ, 2006. – 212с.
5. http://5fan.ru/downloadjob.php

 

 

Приложение 1.

 

Таблица.    Коэффициенты Стьюдента  t(Р_Д, n).