Уточнение первого закона Кеплера

 

 

УТОЧНЕНИЕ   ПЕРВОГО   ЗАКОНА   КЕПЛЕРА

Мягких Ю.П.

1.Введение

 

В 1609 году в Праге вышла из печати книга Кеплера «Новая астрономия»,  в которой Кеплер изложил свой первый эмпирический закон: «Планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, при этом Солнце располагается не в центре эллипса, а в одном из фокусов эллипса. Следовательно, расстояние планеты от Солнца не всегда одинаковое (закон эллипсов)» (рис.1).

Но не все учёные были согласны с сутью первого закона Кеплера. В 1680 году попытку найти  математическое выражение кривой, которая более точно соответствовала бы фактической траектории  планет, сделал Джованни Кассини. Он предложил вместо эллипса использовать для планетных орбит овал Кассини, являющийся сечением тора. 

Сейчас общепринято, что Кассини придерживался устарелых физических концепций, а именно: был противником теории Всемирного тяготения и предлагал заменить кривые второго порядка (эллипсы Кеплера) кривыми четвертого порядка (овалами Кассини). Однако мнение известного астронома о том, что несоответствия между теоретическим и фактическим расположением планет требуют уточнения закона Кеплера, заслуживает внимания.

В настоящее время считается, что законы Кеплера, действительно, только лишь приближённо соответствуют реальному движению планет.  Отклонения планет  от движения по эллипсам называются  возмущениями. Путём подбора  параметров  Солнца и планет, была создана  такая структура Солнечной системы, которая теоретически объясняет деформацию идеальных Кеплеровых орбит  воздействием  планет друг на друга.  Поэтому сейчас трудно  сделать вывод о том, что больше заставляет планеты отклоняться  от  закона Кеплера: возмущения со стороны других планет или  ошибка в формулировке первого закона  (закона эллипсов).

Кроме того, существует и логическая претензия к  справедливости первого закона Кеплера, которая состоит в том, что если в одном фокусе эллипса находится Солнце, то, что же тогда должно находиться в его втором фокусе?  Чем один фокус хуже другого?  Было бы гораздо понятнее, если бы кривая, которая определяет траекторию планет,  содержала  бы  только одно место для Солнца.

Как мы увидим далее, такой кривой является именно эллипс, но Солнце не должно находиться в его фокусе. Тогда в какой же точке эллипса находится Солнце? В чём состоит ошибка Кеплера?

 

2. Отличия конического и цилиндрического эллипса

 

Кеплер взял фокус эллипса за центр Солнца, так как математический эллипс не содержит других характерных точек, смещённых от его центра.

Ошибка  в первом законе Кеплера вызвана тем, что за две тысячи лет существования теории конических сечений, у самих конических сечений так и не был выявлен их главный  характерный параметр, что позволило считать эллиптические сечения конуса и цилиндра абсолютно идентичными. Мы же будем называть их  более конкретно – коническим и цилиндрическим эллипсом, так как они принципиально отличаются друг от друга.

Это наглядно можно увидеть, если одновременно построить два эллипса, являющихся сечением конуса и цилиндра. На рис.2 показаны  конус и цилиндр, оси которых совпадают, а поверхности пересекаются по окружности с центром О, которую мы назовём «исходной». Проведём через исходную окружность горизонтальную секущую плоскость и повернём её вместе с исходной окружностью относительно центра О на угол β в положение А-А.

Ниже секущей плоскости А-А, в проекционной связи, показано сечения цилиндра, которое представляет собой привычный нам цилиндрический эллипс с единственной характерной точкой О1, которая является проекцией точки О и геометрическим центром эллипса. Такой эллипс можно получить пропорциональным математическим  «растяжением» исходной окружности, проекция которой  показана пунктиром. «Растяжение» вдоль большей оси эллипса обеспечивается умножением координат всех точек исходной окружности на коэффициент, величина которого больше единицы.

Выше секущей плоскости А-А показано эллиптическое сечение конуса, которое  расположено явно несимметрично относительно проекции центра О исходной окружности - точки М, так как конический эллипс с одной стороны очень растянут относительно исходной окружности, а  с другой, наоборот, сжат. Таким образом, конический эллипс на рис.2 имеет тоже всего лишь одну характерную точку М, которая не совпадает с геометрическим центром эллипса и представляет собой проекцию точки О, то есть точки пересечения оси конуса с секущей плоскостью, порождающей данный эллипс. В дальнейшем, для упрощения описания точки М конического эллипса, мы будем называть её «мюп-центром». Это явное отличие эллипса конического от эллипса цилиндрического  влечёт за собой  далеко идущие последствия. Однако это отличие не нашло места в  геометрии, в которой существует только симметричный цилиндрический эллипс. Почему это произошло?

Во-первых, геометрия изучает конические сечения только как математические кривые, стараясь придать их уравнениям самый простой вид. Это возможно только тогда, когда уравнения имеют каноническую форму, достигаемую при симметричном расположении изучаемого конического сечения относительно осей координат. Действительно, если  на рис.2 верхнее коническое сечение расположить симметрично осям координат, сдвинув точку М в геометрический центр эллипса, то мы получим полное подобие конического и цилиндрического эллипса.

Во-вторых, с помощью сфер Данделена геометрия выявила геометрические свойства эллипсов - фокальное, директориальное, оптическое, которые оказались одинаковыми, как для цилиндрических, так и для конических эллипсов, что ещё более способствовало исключению «мюп-центра» из числа характерных параметров конического эллипса. Одновременно, этот параметр исчез  из характерных точек остальных конических сечений – гипербол и парабол.

Однако то, что является несущественным для геометрии конических сечений, оказалось существенным для небесной механики, которая, с подачи геометрии, вместо основного (первичного) параметра конических сечений (мюп-центра) использовала вторичный параметр – один из двух фокусов.

  Поэтому имеет смысл наглядно показать во всех конических сечениях положение «мюп-центра», в котором должно находиться Солнце.

 

3. Мюп-центр гиперболы

 

Если взять конус на рис.2 и продолжить его образующие вверх, то мы получим полный конус, который представляет собой две конические половинки (полы), вершины которых  стыкуются  друг с другом. Теперь, если взять одну половину (полу) конуса с углом 900 при его вершине  и поместить её внутрь равносторонней четырёхгранной  пирамиды, боковые плоскости которой касаются поверхности конуса, то мы получим фигуру, изображённую на рис.3. Из шести таких фигур можно собрать куб, показанный на рис.4.  Внутри такого куба противоположные полы конусов образуют три полных конуса, вершины которых находятся в центре куба, а боковые поверхности касаются друг друга. Плоские поверхности пирамид тоже  касаются друг друга, образуя вокруг каждого  конуса  пространство, которое можно считать областью   существования конуса.

Если мы совместим центр такого куба и оси конических поверхностей с началом и осями декартовой (прямоугольной)  системы координат, то, проводя различные секущие плоскости, мы можем увидеть взаимодействие конических сечений друг с другом.  На рис.5 показаны положения секущих плоскостей,  сечение которых мы будем рассматривать.

На рис.6 показано горизонтальное сечение куба плоскостью А-А, проходящей через начало системы координат О и оси двух горизонтальных конусов. В данном сечении мы видим только две пересекающиеся прямые линии, которые проходят под углом 450 к осям координат. Эти линии представляют собой  линии пересечения секущей плоскости с двумя горизонтальными конусами (из двух пол) и их пирамидами, но так как в плоскости А-А конусы и их пирамиды касаются друг друга, то в сечении образуется одна линия, являющаяся линией их соприкосновения.

На рис.7 показано горизонтальное сечение куба плоскостью Б-Б, которая расположена ниже плоскости А-А. Плоскость Б-Б рассекает все три конуса и образует конические сечения, показанные сплошными толстыми линиями – окружность и две сопрягающиеся равнобочные гиперболы, каждая из которых состоит из двух ветвей. Эти сечения являются каноническими, так как они симметричны осям координат, при этом геометрические центры конических сечений совпадают с их «мюп-центром», то есть с точкой пересечения горизонтальной секущей плоскости с вертикальной осью координат. Пересечения секущей плоскости с пирамидами показаны прерывистыми толстыми  линиями, которые образуют зоны существования сечений. Основой  этих зон является квадрат, который называется «фундаментальным».

Областью существования окружности является фундаментальный квадрат, в который она вписана. Считается, что гиперболы вневписаны в фундаментальный квадрат, так как областью их существования является зона вне квадрата, ограниченная продолжениями двух пересекающихся диагоналей «фундаментального квадрата». Эти продолжения называются асимптотами и совпадают с сечением пирамид.

В каноническом виде сечений мы можем выделить на рис. 7 следующие характерные точки.

Точка О указана вместо точки М (на рис.5), так как она является геометрическим центром канонических сечений. Если мы опишем пунктиром окружность относительно фундаментального квадрата на рис.7, то точки её пересечения с осями координат (точки 1,2,3,4)  являются фокусами гипербол, а если мы впишем тонкими линиями квадрат в центральную окружность, то стороны этого квадрата являются директрисами соответствующих ветвей гипербол. Эти директрисы пересекают оси координат в точках 5,6,7,8, которые можно назвать фокусными точками окружности. Тогда  точки 1,2,3,4 можно назвать директрисными точками окружности (смотри окружность Аполлония). Таким образом, для сопряжённых  по фундаментальному квадрату (примыкающих друг к другу) конических сечений фокусы одного сечения находятся на директрисах другого.

Это свойство сохраняется даже при изменении формы канонических сечений путём их аффинного преобразования – деформации пропорциональным «растяжением». На рис.8 показана форма, которую приобретут горизонтальная гипербола и окружность,  если координату каждой их точки по оси Х умножить на коэффициент, больший единицы.

Мы видим, что на рис.8 сечения остались каноническими, то есть симметричными осям координат, но фундаментальный квадрат стал фундаментальным прямоугольником, окружность – цилиндрическим эллипсом, а гипербола стала неравнобочной, так как асимптоты стали продолжением диагоналей прямоугольника, а не квадрата. Точки 1,3,5,7 (рис.7) превратились на рис.8 в фокусные и директориальные точки цилиндрического эллипса и гиперболы.

Термин  «асимптота» был введён Аполлонием Пергским для канонического сечения и означает «несливающаяся» с гиперболой. Действительно, на рис.5 в сечении Б-Б существует зазор Д между поверхностью конуса и пирамиды. Если продолжать конус и пирамиду в бесконечность, то этот зазор будет уменьшаться, но он всегда будет существовать. Это стало до того привычным, что даже в учебниках это свойство трактуется как фундаментальное свойство гиперболы.

Например, на рис.9 приведён  рисунок из учебника Александрова «Геометрия» [1, с.39], на котором показано, как верно и как неверно изображать гиперболу относительно  асимптот. На рисунке показано, что если гипербола касается асимптоты, то это является ошибкой. Однако в реальной жизни всё может быть совершенно иначе.

Давайте рассмотрим на рис.10 сечение В-В, полученное на рис.5 поворотом секущей плоскости Б-Б относительно точки М в положение В-В. При этом секущая плоскость В-В параллельна оси У и не перпендикулярна осям Х и Z. Сплошными толстыми линиями на рис.10 показаны сечения трёх конусов, а сплошными тонкими линиями - сечения пирамид, определяющих прежние асимптоты - область существования соответствующих конических сечений.

Как видите, в реальном коническом сечении фундаментальный квадрат превратился не в прямоугольник, а в трапецию, диагонали которой стали не асимптотами (несливающимися), а касательными к гиперболам, которые сливаются вместе в точках касания «b». Точка М (мюп-центр эллипса)  лежит на пересечении диагоналей  фундаментальной трапеции и является точкой пересечения секущей плоскости В-В с осью Z. На пересечении (продолжении) боковых сторон трапеции лежит точка К (мюп-центр горизонтальной гиперболы) – точка пересечения секущей плоскости В-В с осью Х (см. рис.5).

Через мюп-центр эллипса (точку М) проведена пунктиром  вертикальная прямая «а-а», соединяющая точки «a», которые являются точками касания эллипса с сопряжённой (примыкающей) вертикальной гиперболой и боковыми сторонами трапеции. Через мюп-центр гиперболы (точку К) проведена пунктиром вертикальная прямая «b-b», соединяющая точки «b», которые являются точками касания гипербол. Продольная ось вертикальной гиперболы является проекцией оси У, на которой находится вершина конусов (точка О на рис.5). У эллипса и горизонтальной гиперболы показаны фокусы и геометрический центр, которые не совпадают с мюп-центрами М и К.

На рис.11 показано увеличенное изображение конического эллипса с рис.10, из которого видно, что мюп-центр М смещён относительно геометрического центра эллипса О на величину µ, которую будет удобно называть мюп-эксцентриситетом. Мюп-центр К гиперболы тоже  смещён относительно геометрического центра О гиперболы на аналогичный мюп-эксцентриситет.

Таким образом, в математике существуют только канонические формы конических сечений, которые представляют собой только два предельных положения секущей плоскости: перпендикулярное и параллельное к оси конуса. Только в этом случае диагонали «фундаментального» четырёхугольника становятся асимптотами, так как точка контакта конического сечения с диагоналями смещена в бесконечность. Все остальные положения секущей плоскости превращают асимптоты в касательные линии к коническим сечениям и дают мюп-центр, который лежит на линии, соединяющей точки касания.

 

4. Мюп-центр параболы

 

Для того чтобы найти положение мюп-центра в параболе, давайте рассмотрим на рис. 12 сечение Г-Г, которое повёрнуто относительно точки М так, что секущая плоскость проходит параллельно  ближайшей к ней образующей вертикального и горизонтального  конуса на рис.5.