Контрольная работа по " Финансовая математика"

Министерство  образования и науки РФ 

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

«ЧЕЛЯБИНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

ИНСТИТУТ  ТЕРРИТОРИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ 

Кафедра учета и финансов 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА  
 

по дисциплине: Финансовая математика 
 
 
 
 
 
 

Работу  выполнил:

Студент гр. 12ФЗ-401

Ф.И.О. Городцова М.В. 

                                                                       Работу проверил:

(звание) старший преподаватель

                                                                       Ф.И.О. Маврина Н.А. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Челябинск 2012

Задача 1

      Депозитный  сертификат номиналом 100 руб. выдан 5 мая погашение 7 ноября под 25% годовых. Определить  сумму начисленных процентов и  сумму погашения долгового обязательства (3-мя способами).

Решение:

1 способ. Если капитализация насчитывается на конец депозита (т.е. 7 ноября) – тогда 25 % годовых делим на 365 дней и получаем 0,06849 % в день. От 5 мая до 7 ноября 186 дней: 186дн. * 0,06849% = 12,739 %. т.е. 7 ноября депозитный сертификат номиналом 100 рублей должен быть выкуплен за 112,74 рублей.

2 способ. Если капитализация поквартальная, то за каждые 3 месяца начисляется 6,25 %: 5 мая – 5 августа – 106,25 руб.; 5 августа – 5 ноября – 6,640 (это проценты от суммы собранной в 1 квартале) + 106,25 = 112,89 руб.; плюс 2 дня = 112,89 + (0,06849 % * 2) = 113,02 рублей.

3 способ. Если дневная капитализация, то депозитный сертификат будет выкуплен за: 100 руб. * (1 + 25 % / 365 дней) = 106,85 рублей.

Задача 2

      За  какой срок наращения стоимость финансового инструмента номиналом 125 000 рублей достигнет 140 000 рублей при условии начисления сложных процентов по ставке 8 % раз в году и поквартально? Расчеты выполнить по процентной и учетной ставкам.

Решение:

Найдем 1 процент: 125 000 / 100 % = 1 250 руб.

1 250 руб. * 8 % = 10 000 руб. (это 8 процентов)

140 000 руб. – 125 000 руб. = 15 000 руб. – всего переплаты.

15 000 / 10 000 = 1,5 года.

Задача 3

      Простая процентная ставка по векселю равна 10 %. Определить значение эквивалентной ставки, если вексель выдан:

а) на 2 года;

б) на 250 дней.

При сроке 250 дней рассмотреть варианты:

1) временная  база ставок одинакова – 360 дней;

2) временная  база процентной ставки – 365 дней, учетной 360 дней.

Решение:

Эквивалентная учетная ставка связана с простой  учетной ставкой следующей зависимостью:

,

где i - простая учетная ставка;

n - срок ссуды в годах.

В случае, когда  срок ссуды меньше года: n = t/K,

где t - число дней ссуды;

К = 360 дней.

а) Определим эквивалентную учетную ставку, если вексель выдан на 2 года:

= 8,33%

Как видно, при  наращении по учетной ставке 8,33% владелец векселя получит такой  же доход, что и по простой ставке 10%.

б) 1. Определим эквивалентную учетную ставку для векселя, выданного на 250 дней, если временная база 360 дней:

, что составляет  9,35 %

2. Определим эквивалентную учетную ставку для векселя, выданного на 250 дней, если временная база 365 дней:

, что составляет 9,36 % 

Задача 4

      Ставка  по облигации номиналом 3 500 рублей составляет 7 %. Определить число лет, необходимое для удвоения стоимости облигации, применив простые и сложные проценты:

а) используя  антисипативные проценты;

б) используя  декурсивные проценты.

Решение:

а) t = (1 – P / S) / i * k = (1 – 3 500 / 7 000) / 0,07 * 365 = 2 607 дней = 7,2 года.

б) Применяя простые проценты, получим:

 t = (S / P - 1) / i * k = (7 000 / 3 500 – 1) / 0,07 * 365 = 5 214 дней = 14,3 года

Применяя  сложные проценты, получим:

n = (log₂ 7 000 / 3 500) / (log₂ (1 + 0,07)) = 1 / 0,098 = 10,2 года

Задача 5

      В условиях выпуска сертификата Сбербанка  номиналом 1 200 рублей предусмотрены выкупные суммы в зависимости от срока хранения: за 5 лет – 2 300 рублей. 7 лет – 2 595 рублей. Определить уровни годовых сложных ставок процента для указанных сумм наращения.

Решение:

Уровень годовой сложной ставки процента за 5 лет составит:

i = (ⁿ√ S/P) – 1 = (⁵√2 300 / 1 200) – 1 = 1,139 – 1 = 0,139 = 13,9 %

Уровень годовой сложной ставки процента за 7 лет составит:

i = (ⁿ√ S/P) – 1 = (⁷√2 595 / 1 200) – 1 = 1,116 – 1 = 0,1169 = 11,6 %

Задача 6

      По  муниципальной облигации номиналом 10 тыс. руб., выпущенной на 2,5 года, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: первый год – 60 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 5 %.

      Требуется:

1) определить  наращенную стоимость облигации  по простой процентной  и учетной  ставкам;

2) составить  план наращения первоначальной  стоимости по простым процентам;

3) рассчитать  наращенную стоимость облигации по сложной процентной и учетной ставкам;

4) составить  план наращения первоначальной  стоимости по сложным процентам;

5) построить  график наращения стоимости по  простым и сложным процентам;

6) проанализировать  доходность вариантов.

Решение:

1) Наращенная стоимость по простой процентной ставке:

P_n = P(1+ni)

P_n = 10 000 (1 + 1 * 0,6 + 0,5 * 0,65 + 0,5 * 0,7 + 0,5 * 0,75) = 26 500 руб.  
Наращенная стоимость по простой учетной ставке:

S = P/(1-d*T)

S_1год = 10 000 / (1 - 0,6 * 1) = 25 000 руб. 
Проценты I _1год = 25 000 – 10 000 = 15 000 руб.

S_{3полугодие} = 10 000/(1 - 0,65 * 0,5) = 14 815 руб. (сумма за 3 полугодие)

I _{3полугодие} = 14 815 – 10 000 = 4 815 руб.

S_{4полугодие} = 10 000/(1 - 0,7 * 0,5) = 15 385 руб.

I _{4полугодие} = 15385 – 10000 = 5 385 руб.

S_{5полугодие} = 10 000 / (1 - 0,75 * 0,5) = 16 000 руб.

I _{5полугодие} = 16 000 – 10 000 = 6 000 руб.

Суммарная наращенная стоимость по учетной ставке: 
S = 15 000 + 4 815 + 5 385 + 6 000 = 31 200 руб.

2)

Период  начисления Метод: простые  проценты 1 год 10 000 (1 + 1 * 0,6) = 16 000 1,5 года 10 000 (0,5 * 0,65) + 16 000 = 19250 2 года 10 000 (0,5 * 0,7) + 19 250 = 22 750 2,5 года 10 000 (0,5 * 0,75) + 22 750 = 26 500

 

3) При начислении  сложных процентов применяется  формула

S = P(1+i₁ t₁)(1+ i₂ t₂)(1+ i₃ t₃)(1+ i_n t_n)

S = 10 000 (1 + 0,6 * 1)(1 + 0,65 * 0,5)(1 + 0,7 * 0,5)(1 + 0,75 * 0,5) = 39 352,5 руб.  
Сложная учетная ставка: S = Р / (1 – d_с) ⁿ 
S_1год = 10 000 / (1 – 0,6)¹ = 25000 руб. 
S_{3полугодие} = 25 000 / (1 – 0,65)^0,5 = 42 258 руб. 
S_{4полугодие} = 42 258 / (1 – 0,7)^0,5 = 77 152 руб. 
S_{5полугодие} = 77 152 / (1 – 0,75)^0,5 = 154 304 руб.

4)

Период  начисления Метод: сложные проценты 1 год 10 000 (1 + 0,6 * 1) = 16 000 1,5 года 16 000 (1 + 0,65 * 0,5) = 21 200 2 года 21 200 (1 + 0,7 * 0,5) = 28 620 2,5 года 28 620 (1 + 0,75 * 0,5) = 39 352,5

5)

     6) После первого года простая учетная ставка и сложная учетная ставка и проценты дают примерно одинаковый результат, поэтому на этом этапе разницы между этими методами начисления процентов для кредитора и заемщика почти нет. Уже на втором этапе резко выделается сложная учетная ставка, которая выгода кредитору и невыгодна заемщику. Разница между методами начисления процентов начинается и усиливается после 1,5 года.  
Из графика ясно, что наиболее выгодным для кредитора является вариант сложной учетной ставки. Затем идут сложные проценты, простая учетная ставка и наименее выгодными являются простые проценты.

     Для заемщика ситуация противоположна –  наиболее выгодным вариантом являются простые проценты, наименее выгодна сложная учетная ставка.

     Кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой  дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой  процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Чтобы  убедиться в этом, достаточно сравнить наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом.

Задача 7

      Определить число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15 % годовых.

Решение:

Сначала определим  число лет при начислении простых  процентов. 
Формула простых процентов: P_n = P(1+ni), где 
P_n – наращенная сумма, 
i - ставка процента, 
P – изначальная сумма, 
n - число периодов начисления. 
Составим уравнение: 
Первоначальный капитал увеличится в 5 раз, следовательно Pn = 5P 
5P = P(1 + n*0,15) 
1 + n*0,15 = 5 
0,15n = 4 
n = 26,6 т.е. примерно через 26,6 лет капитал увеличится в 5 раз при простых процентах. 
Формула сложных процентов: P_t = P(1 + i)^t, где 
t - количество периодов наращения, 
i - ставка процента, 
P – изначальная сумма, 
P_t – наращенная сумма. 
Первоначальный капитал увеличится в 5 раз, следовательно, Pn = 5P 
5P = P(1 + 0,15)^t  
(1,15)^t = 5 
t = 11,5 т.е. через 11,5 лет капитал увеличится в 5 раз при сложных процентах

Задача 8

      Вексель с обязательством 15 тыс. руб. учитывается  банком за 3 месяца до погашения с  дисконтом 3 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину ставки процента.

Решение:

Формула расчета дисконта банка: D = d*S*n, где 
d – годовая учетная ставка, 
n – срок до даты учета, 
S – наращенная сумма. 
d = D/ S*n 
d = 3 000 / 15 000 * 3/12 = 0,8 т.е. 80 %

Задача 9

      Вексель погашается через 3 года за 5 тыс. руб. Определить дисконтную цену векселя по простым и сложным процентам.

Решение:

В условии пропущена ставка процентов. Примем ставку процентов за 10% годовых. Тогда: