Контрольная работа по "Финансовой математике"

Решение варианта № 10 по дисциплине «Финансовая математика»

 

Задача 1.10

Вексель номинальной стоимостью 1000 руб. и сроком обращения  два  года учтен за 2 месяца до окончания  срока его обращения по простой  учетной ставке 10% годовых. Найти  стоимость векселя на момент его учета.

Решение

Применим формулу простых учетных  процентов.

Дисконт – это доход, полученный по учетной ставке.

Учетная ставка и период начисления должны корреспондироваться по времени. Поскольку первоначальная сумма меньше наращенной на величину дисконта, справедлива формула:

Формула: P = F*(1 - n*d),   где

P – вложенная сумма (сумма, которую получает владелец векселя при его учете);

F – наращенная сумма (номинальная стоимость векселя);

n – период, с момента учета до конца срока обращения векселя;

d – простая учетная ставка.

Дано:                                 Решение:

F = 1000 руб.                   

dпр = 10 % = 0,1                  

Найти:                           Вывод: стоимость векселя на момент его учета по                     

P - ?                                  простой учетной ставке будет составлять 983,33 руб.

 

 

Задача 2.10

Вексель номинальной  стоимостью 1000 руб. и сроком обращения  два года учтен за 2 месяца до окончания  срока его обращения по сложной  учетной ставке 10% годовых. Найти стоимость векселя на момент его учета.

Решение

Применим формулу сложных учетных  процентов.

Процесс дисконтирования происходит с замедлением, поскольку на каждом шаге учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой учетной ставке), а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге во времени.

Дисконтирование по сложной учетной  ставке выполняется по формуле:

,

где d – сложная годовая учетная ставка;

      S – наращенная сумма.

Дано:                                 Решение:

S = 1000 руб.                   

dсл = 10 % = 0,1                  

Найти:                             Вывод: стоимость векселя на момент его учета по                     

P - ?                                  сложной учетной ставке будет составлять 982,59 руб.

 

 

 

Задача 3.10

Два коммерческих банка  предложили клиенту следующие условия: первый банк предлагает на вклады начисление процентов по номинальной ставке 5% годовых при ежемесячном начислении,  второй – производит начисление по непрерывной ставке δ = 3%.  В какой банк клиенту выгоднее вкладывать деньги?

Решение

Номинальной процентной ставкой называется годовая процентная ставка j, при которой проценты начисляются m раз в год по ставке j/m.

Суть непрерывных процентов  заключаются в том, что количество периодов наращения или дисконтирования  стремится к бесконечности, а  временной интервал между ними – к нулю.

В нашем случае данные ставки не зависят от срока n, т. е. нам необходимо рассчитать только множитель наращения для дальнейшего сравнения, чтобы сделать вывод, какой из вариантов вложения наиболее выгоднее.

Дано:                                    Решение:

1. j = 5% = 0,05                   1. Используем формулу наращения по

    m = 12                                  номинальной процентной ставке.

2. δ = 3% = 0,03                              ,    где

                                                             F – наращенная сумма;

                                                             P – первоначальная сумма;

                                                             j – номинальная ставка;

                                                             m – период (сколько раз в год);

                                                             n – количество лет.

                                             – множитель наращения за 1 год.

                                             

                                                  

                                                    2. Используем формулу наращение по непрерывной

                                                ставке d.

                                                                    ,    где

                                                                    F – наращенная сумма;

                                                                    P – первоначальная сумма;

                                                                    e – число Эйлера (2.718281);

                                                                    δ – непрерывная ставка;

                                                                    n – количество лет.

                                              – множитель наращения за 1 год.

                                             

 

Вывод: в первый банк вкладывать выгоднее, так как множитель наращение у него выше, чем во втором банке.

 

 

Задача 4.10

Определить  срок, за который капитал в размере 100 000 руб. превратился в 200 000 руб. при  начислении  непрерывных процентов  по ставке 6%.

Решение

Используем формулу  определения срока платежа при начислении  непрерывных процентов.

Дано:                                    Решение:

P = 100000 руб.                   ,    где

F = 200000 руб.                   n – количество лет;

δ = 6% = 0,06                       F – наращенная сумма;

Найти:                                 P – первоначальная сумма;

n –?                                       δ – непрерывная ставка.

                                            

                                           Вывод: срок равен 11,55 лет.

 

 

 

Задача 5.10

Коммерческий банк приобрел на 20 млн. руб. облигации со сроком обращения 6 месяцев. По истечении указанного срока банк рассчитывал получить по облигациям 34,5 млн. руб. Определить реальную ожидаемую доходность этой сделки, в виде  простой процентной ставки, если ежемесячный темп инфляции составляет 1%.

Решение

Учет инфляции необходим: при расчете наращенной суммы  денег и определении действительной ставки процентов.

Падение покупательной способности  денег характеризуется с помощью  индекса  покупательной способности денег Jn. Он равен обратной величине индекса роста цен Jp, т.е. . 

Индекс  роста цен  на товары и услуги определяется как  отношение цен на товары и услуги в один период времени к ценам  этих же товаров в другой период времени:

           

Индекс покупательной  способности денег:

           

Отношение наращенной суммы  денег к индексу роста цен  характеризует реальную покупательную  способность наращенной суммы:

            ,     где

           F' – наращенная сумма в условиях инфляции;

           P – первоначальная сумма;

           i – простая процентная ставка;

           h – темп прироста инфляции;

           n – период.

Дано:                                      Решение:

F’ = 34,5 млн. руб.                 

P = 20 млн. руб.                     

h = 1% = 0,01                         

n = 6 мес.                                

Найти:                                   

i – ?                                         

 

Вывод: реальная ожидаемая доходность этой сделки, в виде  простой процентной ставки, составляет 10,61%.

 

 

Задача 6.10

Определить  эффективную сложную ставку процентов (обычные проценты) при покупке обязательства по простой учетной ставке 10% со сроком оплаты через 120 дней (точные проценты).

Решение

Используем определение эквивалентных процентных ставок: разнородные процентные ставки называются эквивалентными, если в конкретных условиях контракта приводят к одному и тому же финансовому результату.

Сохранение взаимных обязательств кредитора и заемщика обеспечивается равенством множителей наращения или дисконтирования.

В нашем случае необходимо применить формулу эквивалентности простой учетной ставки  и ставки сложных процентов:

            ,    где

            dпр – простая учетная ставка;

            iсл – сложная ставка процентов;

            n – период.

Период можно представить как , где t – количество дней, T – продолжительность календарного года. Если T – фактическое число дней в году, то такие проценты называются точными (год принят равным 365 дням (а високосный – 366 дням)).

Дано:                                Решение:

dпр = 10% = 0,01             

                    

Найти:                           

iсл – ?                              

                                              

                                              

                                              

                                              

                                              

                                              

 

Вывод: эффективная сложная ставка процентов равняется 10,71%.

 

 

Задача 7.10

Платеж в  размере 1000 руб. и сроком уплаты через 3 года заменяется платежом со сроком уплаты через 6 лет. Применяется сложная  процентная ставка 20% годовых. Какова сумма нового платежа?

Решение

Используем формулу  замены платежей:

           P0 = P1 (1 + i ,   где

           P0 – новый платеж;

           P1 – старый платеж;

           i – сложная процентная ставка;

           n0 – новый срок уплаты;

           n1 – старый срок уплаты.

Дано:                                   Решение:

P1 = 1000 руб.                     P0 = 1000 (1+0,2 = 1000 1,728 = 1728

i = 20% = 0,2

n0 = 6 лет                            Вывод: при замене срока платежа с 3 лет до 6 лет

n1 = 3 года                          сумма нового платежа составит 1728 руб.

Задача 8.10

Сумма долга  равна 100 тыс. руб. Предполагается, что  выплачивается долг ежегодно по 40 тыс. руб. Определите срок выплаты долга  при сложной ставке процентов 28% годовых.

Решение

Ряд последовательных фиксированных  платежей, производимых через равные промежутки времени называются финансовой рентой или аннуитетом.

По моменту выплат ренты делятся  на постнумерандо (платежи производятся в конце периодов), пренумерандо (платежи производятся в начале периодов).

Воспользуемся формулами для определения  срока ренты по заданному значению современной величины:

 1. для ренты-пренумерандо: ;

2. для ренты-постнумерандо: ,   где

                                                  n – срок ренты;

                                                  S – сумма долга (современная стоимость);

                                                 R – величина ежегодного взноса;

                                                 i – сложная ставка процента.

Дано:                                 Решение:

S = 100 тыс. руб.              1.

R = 40 тыс. руб.                2.

i = 28% = 0,28

Найти:

n – ?

 

Вывод: в случае платежей в начале периодов срок ренты составит 4,88 года; в случае платежей в конце периодов срок ренты составит 3,21 года.