Парная регрессия

Контрольная работа

По теме:  Парная регрессия

 

Данные, характеризующие  прибыль торговой компании  «Все  для  себя» за первые 10 месяцев 2009 года (в тыс. руб.),  даны в следующей таблице: N – номер зачетки

 

январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь
382 + N	402 + N	432+ N	396+ N	454+ N	419+ N	460+ N	447+ N	464+ N	498+ N

 

Требуется:

 

1. Построить диаграмму  рассеяния.
2. Убедится  в наличии  тенденции (тренда)  в заданных  значениях прибыли фирмы и возможности принятия гипотезы о линейном тренде.
3.    Построить линейную парную регрессию (регрессию вида  ). Вычисление  коэффициентов выполнить методом наименьших квадратов.
4. Нанести  график регрессии на диаграмму рассеяния.
5. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проверить гипотезу о ненулевом его значении.
6. Вычислить оценку дисперсии случайной ошибки эконометрической модели. 
7. Проверить гипотезы о ненулевых значениях  коэффициентов .
8. Построить доверительные интервалы для коэффициентов .
9. Вычислить значения статистики и коэффициента детерминации  .
10. Построить доверительные интервалы для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели. 
11. Построить доверительную область для условного математического ожидания (диапазон  по оси январь – декабрь). Нанести границы этой области на диаграмму рассеяния.
12. С помощью линейной парной регрессии сделать прогноз величины прибыли и нанести эти значения на диаграмму рассеяния. Сопоставить эти значения  с границами доверительной области для условного математического ожидания и сделать вывод о точности прогнозирования с помощью построенной регрессионной модели.

                                                                                                                            Таблица 1

январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь
392	412	442	406	464	429	470	457	474	508

 

1. Построить диаграмму  рассеяния.

 

Построить диаграмму  рассеяния.

 

Рисунок 1  Поле корреляции.

 

 

2. Убедится  в наличии  тенденции (тренда)  в заданных  значениях прибыли фирмы и возможности принятия гипотезы о линейном тренде.

 

        На  основе  корреляционном поле, где на оси абсцисс отложены значения Х_i, по оси ординат Y_i. По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличии тренда  и возможности принятия гипотезы о линейном тренде.

 

3. Построить линейную парную регрессию (регрессию вида  ). Вычисление  коэффициентов выполнить методом наименьших квадратов.

 

    Для расчета параметров линейной регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно и :

Составим расчетную таблицу:

                                                     Таблица 1.1

№
1	392	1	392	1	153664	398,76	2851.56	45.75
2	412	2	824	4	169744	409,13	1115.56	8.25
3	442	3	1326	9	195364	419,49	11.56	506.66
4	406	4	1624	16	164836	429,85	1552.36	569.04
5	464	5	2320	25	215296	440,22	345.96	565.57
6	429	6	2574	36	184041	450,58	268.96	465.77
7	470	7	3290	49	220900	460,95	605.16	81.98
8	457	8	3656	64	208849	471,31	134.56	204.75
9	474	9	4266	81	224676	481,67	817.96	58.87
10	508	10	5080	100	258064	492,04	3918.76	254.84
итого	4454	55	25352	385	1995434	4454	11622.4	2761.49
среднее значение	445,4	5,5	2535,2	38,5	199543,4	-	-	-
	34,09	2,87	-	-	-	-	-
	1162,24	8,25	-	-	-	-	-

 
= =38,5-5,5*5,5=8,25

= =199543,4-445,4*445,4=1162,24

;

Уравнение линейной регрессии: .

 

4. Нанести  график регрессии на диаграмму рассеяния.

 

 

      Рисунок  2. Поле корреляции и линия регрессии.

 

 

5. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проверить гипотезу о ненулевом его значении.

 

Выборочный линейный коэффициент  корреляции:

 

 

 

         Если фактическое значение t-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу. В противном случае говорят, что нулевая гипотеза отклоняется и на уровне значимости α принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости коэффициента парной корреляции.

    Проверка значимости  линейного коэффициента корреляции  r проводится с помощью t-критерия Стьюдента: t_набл.= сравнивается с критическим значением t-критерия из таблицы значений с учетом заданного уровня значимости (a=0,05) и числа степеней свободы (n-2). Если t_набл.> t_{критич.}, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

 

    По таблице  Стьюдента с уровнем значимости  α=0.05 и степенями свободы k=10 находим t_крит:t_крит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2,306

где m = 1 - количество объясняющих  переменных.

      Так как  6,93>2,306, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым и нулевая гипотеза отвергается.

 

6. Вычислить оценку дисперсии случайной ошибки эконометрической модели. 

 

Оценка дисперсии случайной ошибки:

 

 

 

Необъясненная дисперсия S²_y = 345.19

S_y = 18.58

 

7. Проверить гипотезы о ненулевых значениях  коэффициентов  .

 

S_a - стандартное отклонение случайной величины a.

 

 

S_b - стандартное отклонение случайной величины b.

 

 

t-статистика. Критерий Стьюдента.

t_крит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.306

 

 

 

 

t_a=30,6>t_табл=2,306, коэффициент значим

t_b= 5,07>  t_табл=2,306, коэффициент значим

      Значит   коэффициенты значимы и гипотезы о ненулевых значениях  подтверждает.

 

 

8. Построить доверительные интервалы для коэффициентов  .

 

Доверительные интервалы  для этих коэффициентов равны:

Подставив числовые значения:

Так как точка 0 не лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента а статистически значима.

Так как точка 0 не лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b статистически значима.

 

9. Вычислить значения статистики и коэффициента детерминации  .

 

Коэффициент детерминации:

 

 

   Оценку значимости  уравнения регрессии в целом  проведем с помощью  -критерия Фишера. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости α.

   Если фактическое  значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу. В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется.

Фактическое значение -критерия:

 

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5,32

 

 Поскольку F > F_табл, то уравнение статистически значимо 

 

10. Построить доверительные интервалы для дисперсии  случайной составляющей эконометрической модели. 

 

Доверительный интервал  для дисперсии:

S*(1- q) <σ<   S*(1+q)

Примем σ=0,05, тогда по таблице для 10-элементной выборки: q=0,65

18,58*(1- 0,65) <σ< 18,58*(1+0,65)

6,5 <σ< 30,7

11. Построить доверительную область для условного математического ожидания (диапазон  по оси январь – декабрь). Нанести границы этой области на диаграмму рассеяния.

 

Средняя ошибка прогноза

,                                  

 где

,

 

 

t_крит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

 

Составим таблицу:

№	х		σ
1	1	398,76	10,91	373,60	423,92	20,25
2	2	409,13	9,25	387,80	430,46	12,25
3	3	419,49	7,78	401,55	437,43	6,25
4	4	429,85	6,62	414,58	445,12	2,25
5	5	440,22	5,96	426,48	453,96	0,25
6	6	450,58	5,96	436,84	464,32	0,25
7	7	460,95	6,62	445,68	476,22	2,25
8	8	471,31	7,78	453,37	489,25	6,25
9	9	481,67	9,25	460,34	503,00	12,25
10	10	492,04	10,91	466,88	517,20	20,25
11	11	502,4	12,68	473,16	531,64	82,5
12	12	512,77	14,52	468,91	535,89	-
∑	-	-	-	-	-	82,5

 

Построим график.

 

 
Рисунок 3. График уравнения регрессии, доверительные интервалы

 

 

12.  С помощью линейной парной регрессии сделать прогноз величины прибыли  и нанести эти значения на диаграмму рассеяния. Сопоставить эти значения  с границами доверительной области для условного математического ожидания  и сделать вывод о точности прогнозирования с помощью построенной регрессионной модели.

 

Составим прогноз:

При х=11   _{тыс.руб.}

При х=12   _{тыс.руб.}

Рисунок 4. График уравнения регрессии, доверительные интервалы и точки прогноза.

Точность прогнозирования  с вероятностью 0,95 прибыль в ноябре находится в интервале от 473,16 до 531,64 тыс.руб., а в декабре от 468,91до 535,89

 

Использованная литература:

 

	Бывшев В.А. Эконометрика: Учебное пособие / В.А. Бывшев. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 480 с.: ил.
	Валентинов В.А. Эконометрика: Практикум. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2007. – 436 с.
	Валентинов В.А. Эконометрика: Учебник. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2006. – 448 с.
	Вербик, Марно. Путеводитель по современной эконометрике / Пер. с англ. В.А.Банникова. Научн. ред. и предисл. С.А.Айвазяна. – М.: Научная книга, 2008. – 616 с. «Библиотека Солев»