Арифметические основы представления информации

Тема:  Арифметические основы представления информации.

Данные, которые вводятся и обрабатываются в компьютере, должны иметь цифровой характер. Для изображения чисел используется некоторая система счисления.

Система счисления (СС)  это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Система счисления, в которой значение каждой цифры в произвольном месте последовательности цифр, обозначающей запись числа, не изменяется, называется непозиционной.

Хорошо известным примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой роль цифр играют буквы алфавита:  І - один,  V - пять,  Х - десять,  С - сто,  L - пятьдесят, D - пятьсот, М - тысяча. Например, 321 = СССХХІ. В непозиционной системе счисления арифметические операции выполнять неудобно и сложно.

Система счисления, в которой значение каждой цифры зависит от места в последовательности цифр в записи числа, называется позиционной.

Количество (Р) различных цифр и символов, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от 0 до Р-1.

В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием  Р  будет представлять собой ряд вида:

am-1am-2…a0 , a-1… a-s  = am-1Pm-1  + am-2Pm-2   +...+ a1P1 + a0P0 + a-1P-1  + ... + a-sP-s       (1)

где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

        положительные значения индексов  для целой части числа ( m разрядов);

        отрицательные значения  для дробной ( s разрядов).

Общепринятой в современном мире является десятичная позиционная система счисления. Например, в десятичной системе счисления

30678,45 = 3*104 + 0*103 + 6*102 + 7*101 + 8*100 + 4*10-1 + 5*10-2

Здесь 10 служит основанием системы счисления, а показатель степени - это номер позиции цифры в записи числа (нумерация ведется, начиная с нуля), т.е. разряд.

Наиболее распространенной и основной для представления чисел в памяти компьютера является двоичная система счисления. Для изображения чисел в этой системе необходимо две цифры: 0 и 1. Эта система счисления близка к оптимальной по экономичности,  кроме того, таблицы сложения и умножения в этой системе элементарные:

Для сокращения записи адресов и содержимого оперативной памяти компьютера используют шестнадцатеричную, состоящую из 16 символов — 10 цифр и 6 латинских букв: А, В, С, D, E, F и  восьмеричную (цифры от 0 до 7) системы счисления.

Для отладки программ и в других ситуациях при программировании существуют алгоритмы ( правила ) перевода чисел из одной системы счисления в другую.

В таблице 1 (см. ниже) приведены первые 16 натуральных чисел записанных в десятичной (10),  двоичной (2),  восьмеричной (8)  и  шестнадцатеричной (16) системах счисления.

Таблица 1.

Если основание новой системы счисления Q равняется некоторой степени старой системы счисления  P  ( т.е. Q = Pn , например, 16 = 24;   8 = 23 ), то правила перевода (алгоритмы 1, 2) очень просты: 

Алгоритм 1. Нужно сгруппировать (справа налево для целой части числа и слева направо для десятичной части числа) разряды в количестве, равном показателю степени и заменить эту группу разрядов соответствующим символом новой системы счисления (из таблицы 1).

Этим алгоритмом удобно пользоваться при переводе числа из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную.

А именно, из двоичной записи числа нужно выделить триады (в восьмеричную) и тетрады (в шестнадцатеричную) влево и вправо от десятичной запятой (или точки).
В случае необходимости неполные триады и тетрады дополняются нулями.

Например, 1111110,1100012 = 001 111 110,110 0012 =176,618,   10111002 = 0101 1100 =5C16 .

Перевод чисел из восьмеричной или шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему происходит по обратному правилу:

Алгоритм 2. Один символ старой системы счисления заменяется группой разрядов новой системы счисления, в количестве равном показателю степени новой системы счисления.

Например,   4728 = 100 111 010  = 1001110102,    B516 = 1011 0101 = 101101012

В противном случае ( т.е. Q  Pn ) для перевода чисел из системы счисления с основанием P в систему счисления с основанием  Q , используя арифметику новой системы счисления с основанием  Q , нужно

Алгоритм 3. Записать коэффициенты разложения, основания степеней и показатели степеней в системе с основанием Q и выполнить все действия в этой самой системе.

Очевидно, что этот алгоритм удобен при переводе в десятичную систему счисления.

Например, из шестнадцатеричной в десятичную:

92C816 = 9*16103+2*16102+12*16101+8*16100 = 37576 ;

28E16 =  2*16102 + 8*16101 + 14*16100 = 654

из восьмеричной в десятичную:

7358 =  7*8102 + 3*8101 + 5*8100 = 47710

из двоичной в десятичную:

1101001012 = 1*2108+ 1*2107+ 0*2106+ 1*2105+ 0*2104+ 0*2103+ 1*2102+ 0*2101+ 1*2100 = 421

101110,101(2) = 1*25 + 0*24 + 1*23 + l*22 + 1*21 + 0*20 + l*2-1 + 0*2-2 + l*2-3  = 46,625 .

Для перевода чисел из системы счисления с основанием P в систему счисления с основанием Q с использованием арифметики старой системы счисления с основанием P нужно:

Алгоритм 4.

        для перевода целой части:

последовательно число делить на основание новой системы счисления, выделяя остатки. Последние записанные в обратном порядке, будут образовывать число в новой системе счисления;

        для перевода дробной части:

последовательно дробную часть умножать на основание новой системы счисления, выделяя целые части, которые и будут образовывать запись дробной части числа в новой системе счисления.

Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифр, в результате, которое поместится в ячейку.

Алгоритмом 4 удобно пользоваться в случае перевода из десятичной системы счисления, поскольку ее арифметика для нас привычна.

Пример:  999,3510  = 1111100111,010112 ; 

для целой части:                                                                                                   для дробной части:

Дополнительно, материал по этим вопросам можно посмотреть в учебнике  А.В. Могилёв “Информатика” на стр. 31-36 (выдан Вам в библиотеке МИЭЛ ИГУ).