Задача по «Экономике»

                                                              Задача 1.

По территориям региона  приводятся данные за 199X г. (см. таблицу своего варианта).

Выполнить прогноз заработной платы  при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.                                                 Вариант 4

Номер региона	Среднедушевой прожиточный  минимум в день одного трудоспособного, руб.,	Среднедневная заработная плата, руб.,
1	83	137
2	88	142
3	75	128
4	89	140
5	85	133
6	79	153
7	81	142
8	97	154
9	79	132
10	90	150
11	84	132
12	112	166

 

Требуется:

1.Найти корреляционную зависимость между фактором (х) и результирующим признаком (у). Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. На одном графике  построить исходные данные и  теоретическую прямую.

3. Найти коэффициент вариации.

4. Найти коэффициент  корреляции.

5. Найти коэффициент  детерминации.

6. Оценить точность  модели.

7. Представить схему  дисперсионного  анализа.

8. Проверить адекватность  модели по F-критерию Фишера (α=0,05).

9. Оценить статистическую  значимость коэффициентов регрессии и корреляции по t-критерию Стьюдента (α=0,05).

10. Найти доверительные  интервалы  для  статистически  значимых параметров модели.

11. Оценить точность  прогноза, рассчитав ошибку прогноза  и его доверительный интервал.

12.  Найти доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной.

13. Найти коэффициент  эластичности.

14. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
15. Проверить выполнение предпосылок МНК.

 

Решение

1. Заполним расчетную таблицу

									, %
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	83	137	11371	6889	18769	138,96	-1,96	3,86	1,43
2	88	142	12496	7744	20164	143,47	-1,47	2,15	1,03
3	75	128	9600	5625	16384	131,76	-3,76	14,13	2,94
4	89	140	12460	7921	19600	144,37	-4,37	19,08	3,12
5	85	133	11305	7225	17689	140,77	-7,77	60,30	5,84
6	79	153	12087	6241	23409	135,36	17,64	311,12	11,53
7	81	142	11502	6561	20164	137,16	4,84	23,40	3,41
8	97	154	14938	9409	23716	151,57	2,43	5,89	1,58
9	79	132	10428	6241	17424	135,36	-3,36	11,30	2,55
10	90	150	13500	8100	22500	145,27	4,73	22,38	3,15
11	84	132	11088	7056	17424	139,86	-7,86	61,85	5,96
12	112	166	18592	12544	27556	165,08	0,92	0,84	0,55
Итого	1042	1709	149367	91556	244799	1709,00	0,00	536,31	43,08
Среднее значение	86,83	142,42	12447,3	7629,67	20399,9	142,42	0,00	44,69	3,59
	9,47	10,84
	89,64	117,41

Рассчитаем параметры  линейного уравнения парной регрессии .

0,9;

64,21.

Получили уравнение: .

Коэффициент регрессии  показывает, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума в день на одного трудоспособного на 1 руб. среднедневная заработная плата увеличивается на 0,9 руб.

2. На одном графике  построить исходные данные и  теоретическую прямую.

 

3. Найти коэффициент вариации.

Коэффициент ковариации находится по формуле  80,74.

4. Найти коэффициент  корреляции.

Коэффициент корреляции можно найти по формуле  0,79.

Величина коэффициента корреляции указывает на сильную линейную корреляционную зависимость между признаками.

5. Найти коэффициент  детерминации.

Коэффициент детерминации равен квадрату линейного коэффициента корреляции.

=0,62.

6. Оценить  точность модели.

Точность модели оценим с помощью средней ошибки аппроксимации  .

Вычислим прогнозные значения и относительные ошибки для различных значений факторной  переменной х.

Заполним 7, 8, 9, 10 колонки  расчетной таблицы.

 не превосходит допустимых 7%, показывает хорошую точность модели.

7. Представить  схему дисперсионного  анализа.

Схема дисперсионного анализа  имеет вид, представленный в таблице 1.1 ( – число наблюдений, – число параметров при переменной ).

Таблица 1.1

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы
Общая
Факторная
Остаточная

Составим расчетную  таблицу

1	3	7		5	9		7
1	137	138,96		29,34	3,86		11,92
2	142	143,47		0,17	2,15		1,10
3	128	131,76		207,84	14,13		113,59
4	140	144,37		5,84	19,08		3,81
5	133	140,77		88,67	60,30		2,73
6	153	135,36		112,01	311,12		49,78
7	142	137,16		0,17	23,40		27,60
8	154	151,57		134,17	5,89		83,85
9	132	135,36		108,51	11,30		49,78
10	150	145,27		57,51	22,38		8,13
11	132	139,86		108,51	61,85		6,51
12	166	165,08		556,17	0,84		513,80
Итого	1709	1709,00		1408,92	536,31		872,61
Среднее значение	142,42	142,42		117,41	44,69		72,72
Компоненты дисперсии			Сумма квадратов			Число степеней свободы			Дисперсия на одну степень свободы
Общая			117,41			12-1=11			10,67
Факторная			872,61			1			872,61
Остаточная			536,31			12-1-1 = 10			53,63

 

8. Проверить  адекватность модели по F-критерию Фишера (α=0,05).

Определение дисперсии  на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину -критерия Фишера:

.         

16,27

Фактическое значение -критерия Фишера (1.9) сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы и . При этом, если фактическое значение -критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

4,96.

Так как  , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

9. Оценить  статистическую значимость коэффициентов  регрессии и корреляции по t-критерию Стьюдента (α=0,05).

Рассчитаем случайные  ошибки параметров линейной регрессии  и коэффициента корреляции:

=53,63.

0,22,

142,83,

0,20.

Фактические значения -статистик: 4,03, 0,45, 4,03

Табличное значение -критерия Стьюдента при и числе степеней свободы есть . Так как и , то признаем статистическую значимость коэффициента регрессии и показателя тесноты связи, , следовательно, свободный член уравнения регрессии статистически не значим.

10. Найти доверительные  интервалы  для  статистически  значимых параметров модели.

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как  .коэффициента регрессии заключено в пределах

, тогда с вероятностью 0,95 значение  коэффициента регрессии заключено  в пределах  .

11. Оценить  точность прогноза, рассчитав ошибку  прогноза и его доверительный  интервал.

 

92,91 прогнозное значение факторной переменной;

147,89 прогноз.

 - ошибка прогноза;

 - средняя ошибка индивидуального прогнозируемого значения.

7,74;

17,25.

Тогда доверительный интервал прогноза

, .

 

 

13. Найти коэффициент  эластичности.

Коэффициент эластичности находится по формуле

0,55

14. Вычислить остатки; найти остаточную= сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Остатки мы вычисляли  в п. 7 (схема дисперсионного анализа).

Остаточная сумма квадратов 536,31.

Дисперсия остатков =53,63.

 

15. Проверить выполнение предпосылок МНК.

1. Первая предпосылка  МНК – случайный характер остатков  ε_i. Для проверки этого свойства определяют значения ε_i и строится график зависимости ε_i от теоретических значений результативного признака.

Если на графике получена горизонтальная полоса остатков ε_i то они представляют собой случайные величины и МНК оправдан, теоретические значения y_x независимы от ε_i.

При этом возможны следующие случаи, если εi зависит от yx:

- остатки ε_i не случайны;

- остатки ε_i не имеют постоянной дисперсии;

- остатки ε_i носят систематический характер.

 

2. Вторая предпосылка МНК –  нулевая средняя величина остатков, не зависящая от ε_i. Для проверки этой предпосылки строится график зависимости случайных остатков ε_i от факторов, включенных в регрессию x_i.

Если остатки на графике расположены  в виде горизонтальной полосы, то они  независимы от значений x_i. Если же график показывает зависимости ε_i от x_i, то это свидетельствует о наличии систематической погрешности модели, причины которой могут быть разные.

Возможно, нарушена третья предпосылка  МНК и дисперсия остатков не постоянна  для каждого значения фактора x_i. Может быть, неправильно подобрана модель.

Корреляция случайны остатков с  факторными признаками, позволяет проводить  корректировку модели, например, использовать кусочно-линейные модели.

 

3. В соответствии с третей  предпосылкой МНК требуется, чтобы  дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора x_i остатки ε_i имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность.

Проверка на наличие гетероскедастичности методом графического анализа остатков.

В этом случае по оси абсцисс откладываются  значения объясняющей переменной Xi, а по оси ординат квадраты отклонения εi2.

Если имеется определенная связь  между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости  скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.

 

В нашем случае зависимость между  отклонениями не наблюдается.