Эконометрика

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

Учреждение  высшего профессионального образования

Тульский  государственный университет

Кафедра  «Финансов и менеджмента»

 

Эконометрика

 

 

 

 

 

контрольная работа

 (вариант№17)

 

 

 

 

 

 

Студент           ___________                                              Монина Н.Ю.                                         Руководитель     ___________                                           Гучек  Н.Е.

 

 

 

 

 

 

                                              Тула 2013

 

 

Содержание.

1.Задание……………………………………………………………… ……….  3

2. Диаграмма рассеивания………………………………….…………………..4

3. Линейная регрессия…………………………………………………………..5

4. Степенная регрессия………………………………………………………….8

5. Гиперболическая регрессия…………………………………………………10

6. Оценка результатов…………………………………………………………..11

7. Определение прогнозных значений…………………………………………12

8. Литература…………………………………………………………………….15

 

1.Задание

    Экономист, изучая зависимость уровня издержек обращения Y (тыс. руб.) от объема товарооборота X (тыс. руб.), обследовал 10 магазинов, торгующих одинаковым ассортиментом товаров, и получил следующие данные ( см. таблицу ).

№п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Х*
X	85	65	105	75	55	115	95	45	80	110	130
Y	4.3	4.1	4.6	3.7	3.5	5.3	4.0	3.2	3.4	5.0

 

Требуется:

 

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной и гиперболической регрессии.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений регрессии.
6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в п.п. 3-5 и данном пункте,  выберите лучшее уравнение регрессии и дайте обоснование этого шага.
7. Для выбранной лучшей модели постройте таблицу дисперсионного анализа и  найдите доверительные интервалы для параметров регрессии и коэффициента корреляции.
8. Сделать прогноз значения Y  при x = x* и найти доверительные интервалы прогноза для двух уравнений регрессии .1). ỹ_x=a+bx 2).y= a+bx+ε
9. Оценить полученные результаты и сделать вывод. 
   

 

Решение.

2. Построим диаграмму рассеивания по исходным данным .

 
 

 Из диаграммы следует, что между показателями x и y действительно наблюдается  зависимость. Но сделать вывод: какая именно, трудно, поэтому рассмотрим все три регрессии, а затем выберем лучшую. 

 

3.Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу

№	х	y	ух	x2	y2
1	85	4,3	365,5	7225	18,49	4,18	0,12	0,0144	2,79
2	65	4,1	266,5	4225	16,81	3,66	0,44	0,1936	10,73
3	105	4,6	483,0	11025	21,16	4,7	-0,1	0,01	2,17
4	75	3,7	277,5	5625	13,69	3,92	-0,22	0,0484	5,95
5	55	3,5	192,5	3025	12,25	3,4	0,1	0,01	2,86
6	115	5,3	609,5	13225	28,09	4,96	0,34	0,1156	6,42
7	95	4,0	380,0	9025	16,0	4,44	-0,44	0,1936	11,0
8	45	3,2	144,0	2025	10,24	3,14	0,06	0,0036	1,88
9	80	3,4	272,0	6400	11,56	4,05	-0,65	0,4225	19,12
10	110	5,0	550,0	12100	25,0	4,83	0,17	0,0289	3,4
Итого	830	41,1	3540,5	73900	173,29	41,28	-0,18	1,0406	66,32
Ср знач	83,0	4,11	354,05	7390	17,329	4,128			6,63

 

Функция издержек выразится зависимостью:

Для определения  коэффициентов «a» и «b» воспользуемся  методом наименьших квадратов (МНК):

Подставляя  свои значения и решив систему, получили b=0.0258 , a=1.97

Коэффициенты  корреляции a и b можно находить по формуле,  не решая систему непосредственно

Получено  уравнение регрессии: . С увеличением объема товарооборота на 1 тыс.руб. издержки возрастают в среднем на 0,026 тыс. руб.

Затем, подставляя различные значения x, получим теоретические  значения  для столбца  .

 Тесноту  линейной связи оценит коэффициент  корреляции:

Характер  связи устанавливаем по таблице  Чеддока- связь прямая высокая.

Качество  модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество  построенной модели оценивается  как хорошее, так как А не превышает 8 - 10%.

Дисперсионный анализ.  Общая сумма квадратов  отклонений (т.е. общая дисперсия ) равна ,

Где - общая сумма квадратов отклонений,

 

-сумма отклонений, обусловленная  регрессией (факторная),

-остаточная сумма квадратов отклонений, определена в таблице.

=173,29-10*(4,11)²=173,29,

=3,33

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей  доле дисперсии y характеризует индекс детерминации R2. Он определяется отношением объясненной дисперсии к общей

, получаем R²=0.76

Это означает, что 76% вариации издержек (у) объясняется вариацией фактора х – объема товарооборота.

Рассчитаем  F- критерий.

 

, .

-гипотеза о статистической  незначимости уравнения регрессии  отклоняется .

Найдем средний  коэффициент эластичности по формуле 

Э=  0,52.

Найдем среднюю  ошибку аппроксимации по формуле:

 Проведем подобные рассчеты  для степенной и гиперболической  регрессий. 

 

4. Степенная регрессия  =a*x^b

Для того, чтобы построить степенную модель, необходимо линеаризовать переменные путем логарифмирования обеих частей уравнения :

Пусть тогда

 

 Рассчитываем  a´ и b по формулам:

 

 В начале  заполняем первую половину таблицу,  а затем на основании полученных  данных производим расчеты и  заполняем вторую половину.

 

№	х	y	X	Y	XY	X2	Y2
1	85	4,3	4.44	1.46	6.48	19.71	2.13	4.2	0.11	0.0121	2.56
2	65	4,1	4.17	1.41	5.88	17.39	1.99	3.7	0.39	0.1521	9.62
3	105	4,6	4.65	1.53	7.11	21.62	2.34	4.6	-0.01	0.0001	0.3
4	75	3,7	4.32	1.31	5.66	18.66	1.72	3.9	-0.26	0.0676	6.92
5	55	3,5	4.0	1.25	5.0	16.0	1.56	3.4	0.07	0.0049	1.91
6	115	5,3	4.74	1.67	7.92	22.47	2.79	4.8	0.49	0.2401	9.25
7	95	4,0	4.55	1.39	6.32	20.7	1.93	4.4	-0.4	0.16	10
8	45	3,2	3.8	1.16	4.41	14.44	1.35	3.1	0.07	0.0049	2.19
9	80	3,4	4.38	1.22	5.34	19.18	1.49	4.1	-0.67	0.4489	19.71
10	110	5,0	4.7	1.6	7.52	22.09	2.56	4.7	-0.01	0.0001	0.2
Ит	830	41,1	43.75	14	61.64	192.26	19.86	41	-0.22	1.0908	62.66
Ср знач	83,0	4,11	4.375	1.4	6.164	19.226	1.986				6.26

 

Параметры будут  равны: a^’=-0.6, b=0.457

Подставим их в уравнение и получим линейное уравнение: =-0.6+0.457X

Потенцируя  которое, получим:

 

=e^-0.6*x^0.457=0.55*x^0.457

Оценим тесноту  связи результативного фактора  с факторным признаком с помощью  индекса корреляции и коэффициента детерминации, которые рассчитываются по следующим формулам:

 

Подставляя  свои данные в формулы , получим:

ρ= 0,87, R²=0.75.

 

Оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера:

F=0.75/(1-0.75)*8=24

Найдем средний  коэффициент эластичности по формуле  ,

Э=0,457. 

5. Гиперболической регрессии соответствует уравнение

Линеаризуется при замене , тогда

Все необходимые  расчеты представим в таблице

№	х	y			2
1	85	4,3	0.0118	0.0506	0.000738	4.27	0.03	0.0009	0.7
2	65	4,1	0.0154	0.0631	0.000237	3.84	0.26	0.676	6.34
3	105	4,6	0.0095	0.0438	0.000091	4.54	0.06	0.004	1.3
4	75	3,7	0.0133	0.0493	0.000018	4.08	-0.38	0.144	10.27
5	55	3,5	0.0182	0.0636	0.00033	3.51	-0.01	0.0001	0.29
6	115	5,3	0.0087	0.0461	0.000076	4.64	0.66	0.4356	12.45
7	95	4,0	0.0105	0.0421	0.00011	4.42	-0.42	0.1764	10.5
8	45	3,2	0.0222	0.0711	0.00049	3.02	0.18	0.0324	5.6
9	80	3,4	0.0125	0.0425	0.00016	4.18	-0.78	0.6084	22.9
10	110	5,0	0.0091	0.0454	0.000083	4.59	0.41	0.1681	8.2
Ит	830	41,1	0.1312	0.5177	0.0019	41.1	0.01	2.246	78.55
Ср зн	83,0	4,11	0.0131	0.0518	0.00019	4.11			7.85