Критерий оптимальности

Критерий оптимальности  – некоторый показатель, имеющий  экономическое содержание, который  является формализацией цели управления и выражается в виде целевой функции через факторы модели

Критерий оптимальности – это  смысловое содержание целевой функции.

 

Решение экономико-математической модели – это совокупность значений переменных, которая удовлетворяет системе ограничений (уравнениям связи). Оптимальным решением является такое, при котором функция цели достигает своего экстремального значения (min или max)

 

Детерминированные – это модели, в которых все ограничения и функция цели описываются с помощью детерминированных, т.е. неслучайных величин.

 

Стохастические (вероятностные) – это модели, в которых учитывается случайный характер протекающих экономических процессов.

 

В статических моделях описывается состояние производственно-экономической системы, зафиксированное на конкретный момент или период времени; динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени, описывая силы и взаимодействия процессов в экономике.

 

Дескриптивные модели. Слово “дескриптивный” происходит от английского слова “description”, что означает “описание”. Экономико-математические модели, относящиеся к этому классу, предназначены для описания различных производственно-экономических процессов.

 

Равновесные модели описывают такие состояния рыночной экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести ее из данного состояния, равна нулю.

 

Корреляционно-регрессионный  анализ используется также для определения некоторых показателей (например, себестоимости) новых изделий параметрическим методом на основе собранных данных по изделиям-аналогам.

 

Проверка адекватности модели реальной действительности заключается в  сопоставлении полученных результатов решения с характеристиками системы, которые при тех же исходных данных имели место в прошлом.

 

Понятие “система” известно с античных времен и, в переводе с греческого, означает целое, составленное из частей. Система – это упорядоченный комплекс, совокупность каких-либо взаимосвязанных, взаимодействующих и воздействующих друг на друга элементов (компонентов), объединенных одной целью, образующих единое целое, обладающее свойствами, отсутствующими у составляющих его элементов.

 

Любая система может быть рассмотрена как элемент системы более высокого порядка, в то же время каждый из её элементов или группа таких элементов могут выступать в качестве подсистемы более низкого порядка.

 

Системы, в которых происходят постоянные изменения, переходы из одного состояния в другое, называют динамическими.

 

Под управлением понимается процесс воздействия подсистемы управления на управляемую подсистему для достижения определенных целей.

Цели системы выражают необходимость и потребность достижения ее желаемых будущих состояний.

 

Графом называют фигуру, состоящую из точек (прямоугольников, окружностей), называемых вершинами, и соединяющих их отрезков, называемых ребрами (дугами).

 

Деревом целей называется граф-дерево, выражающее отношение между вершинами, являющимися этапами или проблемами, подлежащими решению при достижении некоторой цели.

 

Производственные системы  находятся в постоянном взаимодействии с внешней средой, которая представляет собой совокупность всех объектов, изменение свойств которых влияет на систему, а также тех объектов, чьи свойства меняются в результате поведения системы.

Системы, взаимодействующие с внешней  средой – это открытые системы.

 

Эффективное функционирование сложных  систем возможно только при использовании обратной связи, т.е. на основе постоянного контроля с целью выявления информации о нежелательных отклонениях в производстве и принятия своевременных мер по их устранению или использования новых благоприятных возможностей.

 

Положительная обратная связь ухудшает устойчивость системы, отрицательная - способствует восстановлению равновесия в системе при его нарушении возмущающими воздействиями.

 

Принцип обратной связи  устанавливает вид соединения элементов  и означает связь между входом и выходом какого-либо элемента, осуществляемую либо непосредственно, либо через другие элементы системы

 

Метод анализа иерархий (аналитико-иерархический  процесс) базируется на обработке порядковой, т.е. “мягкой” информации, поступающей в распоряжение лица, принимающего решения (ЛПР), и на основе этой неполной информации позволяет определить ряд альтернативных вариантов решения.

При сопоставлении двух объектов анализа  выбирается соответствующее значение шкалы V_ij, сравнение этих же объектов в обратном порядке должно оцениваться обратной величиной V_ji = 1/V_ij .

 

Надёжность системы оценивается следующими показателями:

• отказ;

• продолжительность безотказной  работы;

• наработка на отказ;

• вероятность безотказной работы.

Расчет показателей надёжности производственной системы можно считать достоверным, если число наблюдений превышает 100 и статистические данные приведены в сопоставимый вид.

 

Коэффициент вариации, характеризующий  разброс мнений экспертов для i–го объекта

 

Коэффициент конкордации позволяет  определить, - существует ли неслучайная согласованность во мнениях экспертов.

Коэффициенты  компетентности  экспертов определяются как отношения взвешенных сумм относительных балльных оценок к сумме взвешенных оценок:

Эксперт, у которого оценки ближе к среднегрупповым, полагается самым компетентным.

 

3.2. Корреляционно-регрессионный анализ

 

Корреляционно-регрессионный  анализ  применяется для определения и выражения формы аналитической зависимости результативного  признака  Y от факторных признаков Х_i  и измерению тесноты корреляционной связи. Основу решения первой задачи корреляционно-регрессионного анализа составляет качественный анализ данной зависимости.  Математическим средством ее количественного выражения является метод наименьших квадратов: сумма квадратов отклонений расчетных значений Yр,  т.е.  полученных из выбранного уравнения связи, от фактических значений Yф должна быть минимальной 

 S = å (Y_р - Y_ф)² ® min.                              (4)

При расчете  параметров уравнения  регрессии  для  линейной  формы связи типа 

  у = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ + а₃х₃ + а₄х₄

решается система  нормальных уравнений:

åУ   =      åа₀ + а₁åх₁     + а₂ åх₂     + а₃ åх₃    + а₄ åх₄

åУх₁ = а_о åх₁ + а₁ åх₁²  + а₂ åх₂ х₁ + а₃ åх₃х₁ + а₄ åх₄х₁

åУх₂ = а₀ åх₂ + а₁ åх₁х₂ + а₂ åх₂²   + а₃ åх₃х₂ + а₄ åх₄х₂

åУх₃ = а₀ åх₃ + а₁ åх₁х₃ + а₂ åх₂х₃ + а₃ åх₃²   + а₄ åх₄х₃

åУх₄ = а₀ åх₄ + а₁ åх₁х₄ + а₂ åх₂х₄ + а₃ åх₃х₄ + а₄ åх₄²

При проведении качественного  анализа  необходимо  понимать,  что корреляция может  быть обусловлена  непосредственной зависимостью между Х и Y, общей зависимостью от третьей величины, неоднородностью материала или быть чисто формальной.  Причинная зависимость существует, например, между временем работы и стоимостью производственной  продукции, между весом станков и их стоимостью, между мощностью предприятия и себестоимостью его продукции.

Корреляция вследствие  неоднозначности возникает из-за значительного разброса статистических данных и она полностью  исключается  проверкой нулевой гипотезы.

Чтобы избежать типичной ошибки - нахождения и расчета беспричинных формальных корреляций, необходимо провести качественный логический экономический анализ.  И если причинной связи между факторами  не  существует, то бессмысленно проводить математическую обработку фактических данных.

При проведении корреляционного  анализа надо учитывать также,  что достоверное уравнение регрессии можно получить только при  использовании однородного  статистического материала.  Выражением количественной однородности может служить коэффициент вариации. Величина коэффициента вариации, служащая границей между однородностью и неоднородностью статистической совокупности составляет 0,33. Величина коэффициента вариации  показывает,  что совокупность данных по рассматриваемому признаку неоднородна.  Поэтому необходимо расчленить исходную неоднородную совокупность на однородные части (группы). В данном выражении s - величина среднеквадратического отклонения, - средняя арифметическая величина исследуемого признака.

После решения системы  нормальных уравнений, получения коэффициентов регрессии  и  уравнения регрессии необходимо рассчитать показатели тесноты связи.  При криволинейной зависимости теснота связи измеряется величиной корреляционного отношения, рассчитываемого по формуле

,

где s_р² = å (Yр-Yф)²/N, s² = å (Y-Yф)²/N, Yр - значение изучаемого признака, рассчитанного по уравнению регрессии.

Для определения  величины корреляционного отношения  нужно  вычислить для каждого реального объекта значение Yр по найденному уравнению регрессии. Далее для каждого объекта  определяется  разность  действительного значения Yф и вычисленного по уравнению регрессии. Сделав это по всем объектам, находят средний квадрат отклонений или дисперсию вычисленных значений от фактических.  Далее определяется средний квадрат отклонения фактических значений признака Yф от среднего  по  изучаемой совокупности того же признака,  т.е. опять дисперсия. Полученные величины подставляются в формулу корреляционного отношения.

При изучении  парной  линейной  корреляционной  зависимости между двумя признаками теснота связи определяется расчетом значения  коэффициента корреляции по следующей формуле

где N - число  изучаемых объектов в статистической совокупности.

Для качественно  оценки тесноты связи приняты  следующие шкалы:

r < 0,3 - слабая связь;

0,3  <  r < 0,7 - средняя связь;

0,7  <  r < 0,9 - высокая связь;

0,9  <  r       - весьма высокая связь.

И хотя при малой  статистической совокупности можно  получить высокую корреляционную связь между изучаемыми признаками,  но тем не менее пользоваться полученным уравнением регрессии нельзя из-за  его  низкой надежности.

При проведении  корреляционно-регрессионного  анализа  производят статистическую оценку значимости коэффициента корреляции и коэффициентов уравнения регрессии.  Для этого определяют среднеквадратическую ошибку s_r коэффициента корреляции:

Отношение величины  коэффициента корреляции к его среднеквадратической ошибке дает величину t:   r/s_r = t. Принято считать, что если t > 2, то это свидетельствует о надежности полученного коэффициента корреляции. Вероятность такого утверждения составляет 0,95,  и наоборот, если t < 2, это свидетельствует о недостаточной надежности исчисленного коэффициента.

    Полученная величина   коэффициента  корреляции  используется  для оценки статистической  значимости  коэффициента  уравнения регрессии (а_i). Для этого исчисляется его среднеквадратическая ошибка (s_аi).

Коэффициент уравнения  регрессии  сопоставляется  с  его  среднеквадратической ошибкой. В результате получается отношение t_ai = a_i / s_аi.

Если t_ai > 2,  полученный коэффициент a_i следует считать значимым и соответствующий фактор  Х_i  остается в уравнении множественной регрессии; если полученный коэффициент нельзя признать значимым (t_ai < 2),  то соответствующий параметр  исключается  из уравнения множественной регрессии. По оставшемуся набору значимых факторов  определяется  окончательное уравнение множественной регрессии.

Влияние отдельных  факторных  признаков на результативный признак в едином масштабе в процентах можно определить по частным  коэффициентам эластичности,  которые  характеризуют,  на сколько процентов изменится уровень результативного признака  Y  при изменении Х_i-го  факторного признака на 1 %.

Частный коэффициент эластичности определяется по формуле

Э_i = а_i (X_i / Y_i),

где Э_i - частный коэффициент эластичности;  а_i - коэффициент уравнения множественной регрессии  в  натуральном  масштабе  при  Хi-м факторном признаке;  Х_i - среднее значение Хi-го факторного признака;  Y_i - среднее значение результативного признака.