Математика средних веков

Математика средних веков

1. Культура арабов м народов Средней Азии

С начала VIII века в мусульманском мире появился большой интерес к различным наукам. Правители заботились о сохранении, приумножении и распространении знаний, высоко ценили ученых и создавали условия для тех, кто желал целиком посвятить себя служению науке. Интерес к постижению знаний начинался с изучения Священного Корана и арабского языка. Мусульмане заучивали наизусть Коран и изречения Пророка, изучали его жизнеописание и наставления. В исламском мире практически не было безграмотных людей. Даже старики и немощные люди обучались грамоте, чтобы читать Коран на арабском языке. Повсеместное использование арабского языка было одним из факторов, способствовавших распространению знаний в мусульманских странах. В период правления халифа аль-Валида бин Абд-альМалика (86/705-96/715) арабский язык был объявлен официальным языком мусульманского Халифата.

Одна из важных особенностей этой цивилизации - мусульманские правители, борясь с иноверцами и язычниками, тем не менее не запрещали ученым пользоваться знаниями, полученными из книг греческих, индийских, китайских авторов. При дворе халифа Аль-Мамуна в конце VII в. было основано специальное учреждение - Дом мудрости, в котором он собрал ученых, владевших различными языками, во главе с известным математиком аль-Хорезми. На арабский язык переводились труды античных авторов по философии, математике, медицине, алхимии, астрономии. 

Представлял насущный интерес для арабов, в особенности сочинения по медицине и астрономии. Астрономия была тогда практической дисциплиной - прежде всего потому, что она давала возможность определить направление на Мекку, куда мусульманам надлежало обращаться при молитве. Математика также находила себе практическое применение; именно в этой сфере сделали свои первые шаги арабские ученые. Первым значительным именем, как в математике, так и в астрономии было имя аль-Хорезми, известного европейцам как Алгорисмус (Alghoarismus), от этой модификации его имени был образован термин "АЛГОРИТМ". Этот великий хорезмийский ученый-энциклопедист в период правления халифа аль-Мамуна работал в Байт аль хикма ("Дом мудрости"). Это переводческий центр, где переводились на арабский все известные научные труды древнего мира) и умер вскоре после 846 года. Он сделал для аль-Мамуна свод нескольких индийских астрономических таблиц, известных под названием "Синд Хинд". Аль-Хорезми принадлежит также описание обитаемой части мира, основанное на "Географии" Птолемея. Наибольшее распространение, однако, получили его математические работы. Одна из них считается основополагающей для алгебры (само слово алгебра происходит от ее названия), а другая - первая работа по арифметике (за исключением индийских сочинений), где используется нынешняя система счисления, т.е. цифры, известные как арабские.

2. Арабская система нумерации

Происхождение десяти знаков цифрового обозначения достаточно туманно. Арабские авторы называют их "индийскими", но ни у одного из этих авторов до сих пор не было обнаружено отсылки на какую-либо индийскую работу или автора. Этот странный факт позволил некоторым из европейских ученых предположить, что арабы заимствовали у византийцев одну из двух форм записи этих десяти знаков. Большинство исследователей, однако, в настоящий момент придерживаются мнения об индийском происхождении современных цифр. 

Арабские цифры на самом деле были придуманы индусами примерно в V веке, А арабский ученый Ал-Хорезми популяризировал их в своей книге «Об индийском счёте», и они получили распространение в мусульманском мире, потом в XII веке книга была переведена на латинский язык (европейцы про данные цифры еще узнали в X веке).  
3. Происхождение наших цифр

И так почему арабские цифры выглядят так или иначе, присмотримся на них как они в самом начале выглядели: 
  
Цифры состоят из отрезков прямых линии, количество углов определяет цифру, то есть нет углов значит ничего нет цифра"О"(ноль), один угол значит цифра "1"(она больше чем первая), потом два угла - цифра"2" и так далее. Со временем цифры модернизировались и выглядят обычно. 
 
Из этого следует вывод, что древняя запись арабских цифр, была близка к современной. С течением времени, для скорописи, прямые линии стали писать ровно и плавно. А некоторые элементы цифр упразднили за ненадобностью. Тем не менее, в ряде стран осталась древняя манера письма цифр, очень близкая к первоисточнику.

Вы когда-нибудь задумывались, почему арабские цифры выглядят так, а не как-то по-другому? Что стоит за их рисунком? Почему единица выглядит как «1», два как «2», три как 3 и т.д.? Почему именно так, а не иначе? Что это, прихоть художника выдумавшего их? Или всё гораздо сложнее и интереснее, в этом есть некое таинство? Зачем нас учат в школе писать 7 с чёрточкой по середине.

Ведь древние никогда ничего не делали просто так. У них во всём таится скрытый смысл, непонятный для широкой аудитории. Ведь знания раньше были засекречены, только малая часть населения, жрецы, владели ими. Так как, знание – это сила, а сила - это власть. Когда все наделены силой, власть исчезает, а вместе с этим исчезает и смысл жречества. Но время идёт, их знания постепенно просачиваются и распространяются.

В последнее время книжные прилавки наполнены различной литературой, пропагандирующие альтернативный взгляд на историю. Авторы этих книг полностью перечеркивают современное представление на древность. Их книги фантастичны, эпатажны и не признаны научным большинством. Факты, на которых построены повествования, косвенные, но зато этих фактов много и они остроумно дополняют друг друга, объясняя простые вещи простым языком. Несут ли они правду? Это уже вопрос веры. Только читатель может соглашаться с автором или нет. 
 
В одной из этих книг, я нашёл ответ на свой детский вопрос, про семёрку. Книга называлась «Велес бог русов», автор Александр Белов. В ней я вычитал интересную теорию происхождения цифр. Она не признана научным большинством, поэтому считается антинаучной. Но, как и любая другая теория, другая точка зрения имеет право на жизнь.

Сейчас я процитирую вам её: 
 
«До сих пор точно неизвестно кто именно изобрёл цифры. Про цифры говорят, что они арабские. Но что арабам считать в безводных пустынях Аравии и Сахары, где они вели кочевой образ жизни? Скот, поголовье скота. А что на голове скотинки красуется? Рога. Вот так и обозначали одну голову - одного быка галочкой - похожей на V. Галочка эта - рога - все, что осталось от бычьей головы. Как известно, в старину люди предпочитали рисовать картины-образы - пиктограммы. Затем эти картинки стилизовали, и они стали абстрактными значками, цифрами и буквами…. По сему от бычьей головы остались одни рога. Так вот: цифры - это и есть количество голов. Одна голова- два рога – галочка (V). Две головы - две галочки и т. л. В качестве экономии стали изображать одним росчерком пера количество голов. Ведь достаточно утомительно считать галочки, если их много. Так возникли цифры, где отражалось количество голов в стаде.»

Цифровой ряд так называемых арабских цифр, где каждая цифра обозначает количество рогов. Цифра десять обнуляет числовой ряд, и он продолжается дальше на уровне десятков, сотен, тысяч и т. д. с участием все тех же первых десяти цифр. Количество рогов указано на цифрах.

Складывается мнение, что семёрка протерпела наибольшее изменение. Так ли это?  
Давайте-ка разберёмся. 7 с чёрточкой посередине, уже много лет не пишется на Западе. В славянских государствах традиция такой записи ещё осталось. Возможно, осталось и ещё что-то? Давайте-ка попробуем записать рукописный символ семёрки. А затем, перерисуем ее, используя только прямые линии. И посчитаем количество рогов (элементов V).

  Получилось ровно 7 рогов.

Другой великий хорезмийский ученый-энциклопедист Абу-р-Рейхан аль-Бируни (973 - ок. 1050) создал капитальные работы не только по математике и астрономии, но и по ботанике, географии, общей геологии, минералогии и другим наукам. В большом трактате по математической и описательной географии «Канон Масуда» 1037 года, между прочим, излагается тригонометрический метод определения географических долгот, близкий к современным триангуляционным геодезическим методам. Бируни принадлежит сведение задач о трисекции угла и удвоении куба к решению уравнений 3-й степени. В этой книге он также описал затмения, движение планет и Солнца, исходя из движения Земли вокруг Солнца (вопреки Корану и ставя под сомнение справедливость системы Птолемея) - первым на Среднем Востоке пришел к этому выводу; приводятся подробные тригонометрические таблицы для определения долготы. Бируни доказал, что изменение лунных фаз зависит от различной освещенности Луны Солнцем. В 997г в Хорезме он наблюдал солнечное затмение.

Аль- Бируни писал: “Я начал с  геометрии и продолжил двигаться к арифметике, тогда к структуре Вселенной, и наконец к астрономии , поскольку никто не достоин стиля и титула астронома, который не является полностью сведущим в этих четырех науках.”

Омар Хайям Гийяс Оддин Абольфатх Омар ибн Ибрагим Хайям Нишапури - родился 18 мая 1048 года в Нишапуре — умер 4 декабря 1131, там же —великий персидский поэт, астроном, философ, математик. 

Вклад Хайяма в математику определяется его исследованием уравнений. Омар Хайям предложил новый способ решения квадратных и кубических уравнений. Кроме того, ученый построил собсвенную классификацию кубических уравнений и дал их решения с помощью конических сечений. В своем «Трактате о доказательствах ал-джебры и ал-мукабалы» Хайям не заметил, что кубическое уравнение может иметь три положительных вещественных корня и не дошел до алгебраических формул Кардано, но высказал уверенность, что такое решение будет найдено.

В «Трактате об истолковании темных положений у Евклида» Хайям особое внимание уделяет иррациональным числам. Здесь же ученый пытается доказать пятый постулат Евклида, опираясь на предположение, что две сходящиеся прямые должны пересечься. Выдающимся достижением Хайяма была разработка теории параллельных.

Одна из книг автора посвящена учению о составлении отношения, которое недостаточно разработано Евклидом. Хайям частично отходит от учения Аристотеля, предлагая «расширить» понятие о числе.

«Математические» достижения Хайяма стали существенными звеньями в цепи исследований, приведших к усовершенствованию понятия числа и основанному на нем математическому анализу.

В Иране ученый известен как одаренный астроном, который предложил более точный, по сравнению с европейским, календарь: он используется с XI в. В своем календаре астроном взял за основу не юлианский цикл «1 високосный год на 4 года», а собственный цикл «8 високосных лет на 33 года». Хайям не ошибся в своих расчетах: его календарь более других соответствует году весенних равноденствий.

Развитие геометрии  сферической и плоской тригонометрии

Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю).

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение  тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский  астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия.  Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги.

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвалардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками  в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб(выпуклость). При переводе арабских математических текстов в  веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa =  sin( 90° - a)).

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов.  Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.