Метод статистического моделирования (метод Монте-Карло)

Задание 1. Метод статистического моделирования

(метод Монте-Карло)

 

Имитационные  модели часто используются для принятия решений в условиях риска. В классе моделей принятия решений в условиях риска мы можем сделать предположения об исходах случайных параметров и вероятностях наступления каждого возможного состояния.

В этом случае в основе имитационного  моделирования лежит метод статистического моделирования (метод Монте-Карло), позволяющий воспроизводить на компьютере случайные величины с заданными законами распределения. Так как отдельные реализации этих случайных величин получены искусственно, то их реализации называют псевдослучайными числами. Процедуры получения псевдослучайных чисел называют датчиками псевдослучайных чисел.¹

При использовании метода Монте-Карло существенное значение имеет равномерный закон распределения, с помощью которого можно получить любое другое распределение.

Непрерывное равномерное  распределение моделирует функция  Excel =СЛЧИС(), которая возвращает случайное число из интервала от 0 до 1. В общем случае, для того чтобы моделировать в Excel равномерное дискретное распределение целых чисел, принимающих значения от х до у, используется формула:

                            =ЦЕЛОЕ(Х+(Y-Х+1)*СЛЧИС()).                      (1)

Для реализации метода требуются случайные величины с различными законами распределения вероятностей. Методы математического генерирования случайных чисел основываются на использовании следующего фундаментального соотношения теории вероятностей:

                                    

,                                       (2)

где x_i – случайные числа с законом распределения, соответствующим плотности распределения (нижний предел интеграла равен нулю, если необходимы только положительные случайные числа);

P_i – случайные числа с равномерным их распределением в интервале от 0 до 1.

Например, используя соотношение (1) для получения случайных чисел  с показательным законом распределения  , будем иметь (так как P_i есть равномерно распределенная случайная величина, то (1 – P_i) является таковой)

                                    

.                                 (3)

Таким образом, для получения случайных чисел  с любым законом распределения нужно решить интеграл (1) относительно верхнего предела x_i, что не всегда возможно в конечном виде, но всегда выполнимо с любой требуемой точностью на основе численных методов интегрирования.

Результаты расчетов по имитационным моделям небольшой размерности обычно представляют в виде таблиц, легко поддающихся количественному анализу.

Имитационный эксперимент  проведен в задаче 5 данной работы.

Следует отметить, что во многих реальных задачах для получения  результатов имитации приемлемой точности достаточно провести N = 100 испытаний.

При проведении имитационных экспериментов в среде MS Excel используют два подхода к организации датчиков случайных чисел:

1) применение  встроенных функций 9непосредственное  использование стандартных функций  Мастера диаграмм в Excel или организация специального алгоритма, базирующегося на них);

2) применение  инструмента Генератор случайных  чисел (с использованием надстройки  Пакет анализа или с помощью  дополнительно приобретаемых надстроек Crystal Ball и Risk для электронных таблиц).²

В практических расчетах с  применением встроенных функций  Excel можно использовать следующую процедуру получения случайных чисел с законом распределения вероятностей, для которого интеграл в левой части (1) не разрешается в квадратурах.

1. С помощью датчика равномерно распределенных случайных чисел Мастер функций Excel / СЛЧИС получаем число P_i.

2. С помощью соответствующей  встроенной функции Excel, например Мастер функций Excel / НОРМОБР, находим соответствующее P_i число х_i с требуемым законом распределения вероятностей.

Например, чтобы получить значение нормально распределенной случайной величины сроков поставки товара со средним значением m = 3 дня и стандартным отклонением s = 1 день, надо применить формулу Excel

                                    =НОРМОБР(СЛЧИС();3;1).                       (4)

Поскольку рассматриваемые  в модели случайные величины неотрицательны, то моделируются случайные величины с усеченным нормальным распределением (при выполнении условия усечения значение псевдослучайной величины с нормальным распределением считается найденным, в противном случае управление в алгоритме вновь передается на вход датчика и генерируется другая случайная величина).

Для моделирования некоторой  случайной величины с конечным числом исходов можно предложить следующий алгоритм (датчик):

сначала из опытных данных определяются частоты появления  возможных значений этой величины. По частотам вычисляются вероятности, по вероятностям – кумулятивные вероятности. Затем с использованием кумулятивных вероятностей устанавливается соответствие между случайными числами и значениями случайной величины. Далее генерируются несколько случайных величин, по ним восстанавливаются значения случайной величины и определяются нужные характеристики.

Инструмент анализа Генератор  случайных чисел в Excel позволяет использовать семь типов распределений: равномерное, нормальное, Бернулли, биномиальное, Пуассона, модальное и дискретное.

Имитация часто применяется  для исследования широкого класса задач  управления запасами.

Обязательным элементом «моделирующего алгоритма» в реальных имитационных экспериментах является оценка точности результатов, полученных методом статистических испытаний.

Для любых законов распределения  случайной величины с помощью  неравенства Чебышева можно получить верхнюю оценку ошибки, т.е. ошибка не может быть больше результата, полученного методом статистических испытаний. При нормальном законе распределения результата, полученного методом статистических испытаний, ошибка будет определяться неравенством

                                    

.                                     (5)

Неравенство (5) дает точную оценку возможной ошибки. Таким образом, вначале необходимо по данным N испытаний вычислить среднее статистическое , статистическое среднеквадратическое отклонение и лишь затем оценить ошибку результата на основе неравенства (5). Если ошибка окажется больше приемлемой, потребуется увеличить число испытаний N.³

Так, имитируя работу одноканальной СМО с отказами, надо получить N реализаций x_i соответственно случайной величине длительности интервалов между отдельными поступлениями требований и случайной величине длительности интервалов по обслуживанию требований и с помощью «моделирующего алгоритма» зафиксировать число отказов в такой системе. При большом числе испытаний N получим, например, достаточно точную оценку вероятности отказа в обслуживании (конечно, предварительно проводится статистическая оценка гипотез о характере законов распределения входного потока требований и длительности интервалов обслуживания).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2

Решить графическим методом  типовую задачу оптимизации

 

При производстве двух видов  продукции используется четыре типа ресурсов. Данные о норме расхода ресурсов на производство единицы продукции и общем объеме каждого ресурса представлены в таблице.

Ресурсы	Норма затрат ресурсов на производство единицы продукции		Общее количество ресурса
	1-го вида	2-го вида
1 2 3 4	2 1 4 0	2 2 0 4	12 8 16 12

 

Прибыль от реализации продукции первого вида составляет 2 ден. ед./ед., второго вида — 3 ден. ед./ед.

Сформулируйте производственную программу выпуска продукции, обеспечивающую максимальную прибыль от ее реализации.

Постройте экономико-математическую модель задачи, дайте необходимые комментарии к ее элементам и получите решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Переменные:

х₁ – количество продукции первого вида;

х₂ – количество продукции второго вида.

Ограничения:

2х₁ + 2х₂ ≤ 12 - расход ресурса первого вида на производство всей продукции;

х₁ + 2х₂ ≤ 8 - расход ресурса второго вида на производство всей продукции;

4х₁ ≤ 16 - расход ресурса третьего вида на производство всей продукции;

4х₂ ≤ 12 - расход ресурса четвертого вида на производство всей продукции.

Функция цели:

2х₁ + 3х₂ - прибыль от реализации всей продукции.

ЭММ задачи:

max ¦(х) = 2х₁ + 3х₂

2х₁ + 2х₂ ≤ 12

х₁ + 2х₂ ≤ 8

4х₁ ≤ 16

4х₂ ≤ 12

х₁ ³ 0, х₂ ³ 0

Решим задачу графическим методом:

1) 2х₁ + 2х₂ ≤ 12

Найдем пересечения  граничной прямой 2х₁ + 2х₂ = 12 с осями координат.

Прямая проходит через точки (0; 6) и (6; 0).

Подставляем координаты точки О(0;0) в неравенство:

2·0 + 2·0 ≤ 12

0 ≤ 12 - верно Þ  исходному неравенству соответствует та полуплоскость, которая содержит точку (0;0).

2) х₁ + 2х₂ ≤ 8

Прямая х₁ + 2х₂ = 8 проходит через точки (0; 4) и (8; 0).     

1·0 + 2·0 ≤ 8

0 ≤ 8 - верно Þ  исходному неравенству соответствует та полуплоскость, которая содержит точку (0;0).

3) 4х₁ ≤ 16

Решением этого неравенства  является полуплоскость, лежащая левее прямой х₁ = 4.

4) 4х₂ ≤ 12

Решением этого неравенства  является полуплоскость, лежащая ниже прямой х₂ = 3.

5) х₁ ³ 0

Решением этого неравенства  является полуплоскость, лежащая правее прямой х₁ = 0 – оси ОХ₂.

 6) х₂ ³ 0

Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой х₂ = 0 – оси ОХ₁.

Пятиугольник ОАВСД  является областью допустимых решений  системы ограничений.

 

 

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент Ñ, координатами которого являются частные производные целевой функции, т.е.: Ñ = (2; 3), а начало которого в точке (0;0).

Затем построим линию уровня 2х₁ + 3х₂ = а.

Пусть а = 0, тогда прямая 2х₁ + 3х₂ = 0 проходит через точки (0; 0) и (-3; 2).

Движение линии уровня будем осуществлять в направлении градиента до ее выхода из области допустимых решений. В угловой точке С (4; 2) достигается максимум целевой функции.

max ¦(х) = 2·4 + 3·2 = 14 ден. ед.

Максимальную прибыль  от реализации продукции в размере 14 денежных единиц можно получить, если производить продукции первого вида 4 единицы, а продукции второго вида – 2 единицы.

Если решать данную задачу на минимум, т.е. передвигать линию  уровня в направлении, противоположном  вектору-градиенту, то минимум функции  цели (прибыли от реализации продукции) будет равен нулю (в точке О (0;0), т.е. при оптимальном плане х = (0; 0)).

 

Осуществим проверку правильности решения с помощью  надстройки Поиск решения в MS Excel:

 

 

Ответ:

Х = (4; 2)

max ¦(х) = 14 ден. ед.

Максимальную прибыль от реализации продукции в размере 14 денежных единиц можно получить, если производить продукции первого вида 4 единицы, а продукции второго вида – 2 единицы.

 

 

 

Задание 3

Рассчитать параметры моделей  экономически выгодных размеров заказываемых партий.

 

Годовая потребность машиностроительного завода в шинах марки Bridgestone В250 (175/70 R13 82H) составляет 70 000 шт., расходы на один заказ – 600 руб., издержки по содержанию запасов – 10 руб. за шт. в год. Завод работает 300 дней в году. Доставка заказа осуществляется в течение трех дней.

Определите:

а) оптимальный размер поставки;

б) годовые расходы на хранение запасов;

в) период поставок;

г) точку заказа.

Решение:

D = 70 000 шт.

К = 600  руб.

Н = 10 руб./шт.

Т = 300 дней

L = 3 дня

Оптимальный размер поставки:

 шт.

Годовые расходы на хранение запасов:

 руб.

Число заказов в течение года:

Период поставок (время между заказами):

  дней

Ежедневный спрос:

 шт.

Точка заказа:

R = dL = 233 · 3 = 700 шт.