Моделирование временных рядов

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Сибирский государственный аэрокосмический  университет

имени академика  М.Ф. Решетнева 
 
 
 
 
 

Кафедра высшей математики 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Задание №3 

Вариант 1 
 
 
 
 

                                                    ВЫПОЛНИЛА:

                                                    Студентка гр. УЗВ-01

                                                    Агейкина Г.В. 
 

                                                    ПРОВЕРИЛ:

                                                    Преподаватель

                                                    Гомонова О.В. 
 
 
 

Красноярск 2010

Задание 3. Моделирование временных рядов 

    Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту России в 1995-1999 гг.

Таблица 3.1

 

      Задания: 

1. Постройте график данного временного ряда. Охарактеризуйте структуру этого ряда.

2. Рассчитайте сезонную компоненты временного ряда и постройте его мультипликативную модели.

3. Рассчитайте трендовую компоненту временного ряда и постройте его график

4. Оцените качество модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения. 

Решение: 

     1. Построим график данного временного ряда. Анализ графика позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в 5 кварталов. (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1

Построение  мультипликативной  модели

     2. Методика построения мультипликативной модели на первом этапе полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.

     Найдем  оценки сезонной компоненты как частное  от деления фактических уровней  ряда на центрированные скользящие средние (таб.3.2)

Таблица 3.2

Расчет  оценок сезонной компоненты в мультипликативной  модели

     Используем  эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S в мультипликативной модели (таб. 3.3). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле В нашем случае это число равно 5.

Таблица 3.3

Расчет  значений сезонной компоненты в мультипликативной  модели

 

     Для данной модели имеем:

1,0093 + 0,9658 + 1,0191 + 1,0037 + 1,0027 = 5,0006

Определим корректирующий коэффициент:

k = 5 / 5,0006 = 0,99988.

Рассчитаем  скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

.

Проверим  условие равенства нулю суммы  значений сезонной компоненты:

1,0092 + 0,9657 + 1,0189 + 1,0036 + 1,0026 = 5

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

Занесем полученные значения в таб. 3.4 для  соответствующих кварталов каждого  года.

     3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T*E=Y/S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 3.4

Расчет  выровненных значений тренда T и ошибок E в мультипликативной модели

     Определим трендовую компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда () с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Таблица 3.5

     Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

.

Подставляя  в это уравнение значения t =1,…, 20, найдем уровни T для каждого момента времени. График уравнения тренда приведен на рис. 3.2.

     Найдем  значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого  прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (T·S) представлены на рис. 3.2.

Рис. 3.3

     7. В соответствии с методикой построения мультипликативной модели расчет ошибки производится по формуле.

.

Для того чтобы сравнить мультипликативную  модель и другие модели временного ряда, можно также использовать сумму  квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки для мультипликативной модели определяются так 

.

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 681,896. Следовательно, средняя квадратичная абсолютная ошибка составит 

Сумма квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня равна