Парная линейная регрессия

Эконометрика

Парная линейная регрессия

 

Вопросы:

1. Что такое регрессионная модель?
2. Перечислите этапы построения регрессионной модели (постановка проблемы; получение данных, анализ их качества; спецификация модели; интерпретация результатов)
3. Что такое функциональная зависимость? (такое отображение множества X на множество Y, что каждому значению x соответствует единственное значение y)
4. Что значит стохастическая зависимость? (зависимость, в которой одному фактору x может соответствовать множество различных показателей y)
5. Какой метод используется при построении уравнения регрессии? Опишите его. (метод наименьших квадратов (МНК) заключается в построении суммы квадратов разностей наблюдаемых и теоретических значений зависимого фактора и нахождении минимальной из них. Из полученных соотношений находят коэффициенты уравнения регрессии)
6. Как определяют степень линейной зависимости между факторами? (коэффициент корреляции чем ближе к 1, тем сильнее зависимость. Знак коэффициента корреляции показывает характер линейной зависимости: прямая или обратная)
7. Как определить качество уравнения регрессии? (коэффициент детерминации показывает процент взаимосвязи, описываемый уравнением)
8. Что такое статистическая значимость коэффициента, как ее определить? (расчетные t-статистики Стьюдента сравниваются с критической величиной и решается вопрос, принять или отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве нулю проверяемого коэффициента)

 

Задача

По 12 территориям региона построено уравнение регрессии зависимости среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного (руб., x) и среднедневной заработной платы (руб., y):

 

 

Требуется:

1. Дать экономическую интерпретацию параметров уравнения регрессии;
2. Оценить степень линейной зависимости между факторами;
3. Оценить качество уравнения регрессии;
4. Оценить статистическую значимость параметров и уравнения в целом;
5. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума, составляющем 107% от среднего уровня, если , .

 

Решение:

 

1. Свободный коэффициент экономического смысла не имеет.

Коэффициент 0,92 означает, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб. Уравнение регрессии описывает прямую линейную зависимость.

 

2. Степень линейной связи оценит коэффициент корреляции , следовательно линейная зависимость между факторами достаточно сильная.

 

? Что можно сказать, если r = 1; – 1; 0?

 

3. . Качество уравнения регрессии удовлетворительное, т.к. коэффициент детерминации . Изменение заработной платы на 52% объясняется вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума.

 

4. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистик Стьюдента. Поскольку расчетные значения t больше 3, то оба коэффициента являются статистически значимыми.

 

? В каком случае говорят о статистической незначимости параметра? Как найти критическое значение t? Чему равно число степеней свободы?

 

? Как оценить статистическую значимость уравнения в целом? (F-критерий)

.

При df₂ = 10 степенях свободы и df₁ = 1 независимой переменной F_кр = 4,96. Т.к. F_расч > F_кр, то уравнение статистически значимо (адекватно).

 

? Можно ли использовать построенное уравнение для прогноза? Почему?

 

5. Расчет прогноза

1 способ:

Если прогнозное значение прожиточного минимума составит x_пр = 85,58 ∙ 1,07 = 91,57 руб., тогда прогнозное значение зарплаты будет равно:

y_пр = 77 + 0,92 ∙ 91,57 = 161,24 руб.

2 способ:

 руб.

3 способ:

- коэффициент эластичности показывает, что при увеличении прожиточного  минимума на 1% среднедневная зарплата  увеличится на 0,5%.

Относительное приращение фактора x равно: , тогда относительное приращение результата y: , т.е. прогнозное значение на 3,5% больше, чем среднее: y_пр = 155,75 ∙ 1,035 = 161,2 руб.

 

Замечание: 2-й и 3-й способ удобно использовать, если свободный коэффициент уравнения регрессии является статистически незначимым.

 

Рассчитаем интервальный прогноз. Ошибка прогноза:

Предельная ошибка прогноза:

Доверительный интервал прогноза:

.

Т.е. прогнозное значение прожиточного минимума находится в пределах 131,8 и 190,6 тыс. руб.

 

Задача. По данным 14 банков построена модель зависимости прибыли банка (y, млн д.е.) от объема резервов по активам, подверженным риску (x, млн д.е.):

 

Требуется:

1. Дать экономическую интерпретацию параметров уравнения регрессии;
2. Оценить степень линейной зависимости между факторами;
3. Оценить качество уравнения регрессии;
4. Оценить статистическую значимость параметров и уравнения в целом;
5. Выполнить интервальный прогноз прибыли банка при прогнозном значении объема резервов по рисковым активам, составляющем 105% от среднего уровня, если , s = 2,9, .

 

Решение.

 – точечный прогноз.

Ошибка прогноза:

Предельная ошибка прогноза:

Доверительный интервал прогноза:

.

 

 

Домашнее задание № 1

 

Теория: множественная линейная регрессия

«Экономико-математические методы и  модели», под ред. Миксюк С.Ф., Мн., БГЭУ, 2006.

 

№ 1 (с. 118)

Для анализа зависимости инвестиций предприятия (y) от объемов производства (x)  исследуются данные 12 однотипных предприятий (объем выборки n=12). Данные приведены в таблице.

Предприятия	Объем производства (млн.шт.)	Инвестиции (тыс.у.е.)
i	xi	yi
1	107	102
2	109	105
3	110	108
4	113	110
5	120	115
6	122	117
7	123	119
8	128	125
9	136	132
10	140	130
11	145	141
12	150	144

 

Ориентируясь на эти данные необходимо:

а) построить диаграмму рассеяния, отражающую зависимость инвестиций от объема производства, определить вид  зависимости и оценить тесноту  связи между показателями;

б) по методу наименьших квадратов (МНК) рассчитать параметры уравнения регрессии, описывающего данный вид зависимости. Построить уравнение регрессии и регрессионную прямую;

в) определить расчетные значения , остатки , относительную ошибку аппроксимации;

г) проверить качество уравнения  регрессии, рассчитав статистические характеристики: стандартные ошибки параметров регрессии, t-статистики параметров регрессии, коэффициент детерминации. Сделать вывод о статистической значимости фактора с позиций его влияния на результативный показатель;

д) дать экономическую интерпретацию  параметров регрессии. Как изменятся  инвестиции, если объем производства

 увеличится на 2 млн.шт. Как изменятся инвестиции, если объем производства уменьшится  на 1 млн.шт.;

е) Пусть  в отчетном периоде  объем производства на предприятии  составлял 150 млн.шт., а инвестиции 144 тыс. у.е. Предполагая, что в прогнозном периоде сохранятся экономические условия отчетного года, спрогнозировать уровень инвестиций, если ожидается увеличение объема производства на 10%.

 

№ 2 (с. 118)

Для анализа зависимости прибыли  предприятия (y) от ставки налога  (x)  исследуются годовые данные 12 однотипных  предприятий. Данные приведены в таблице.

Предприятия	Ставка налога (%)	Прибыль (тыс.у.е.)
i	xi	yi
1	10	110
2	20	75
3	15	100
4	25	80
5	30	60
6	35	55
7	40	40
8	35	80
9	25	60
10	40	30
11	45	40
12	40	30

 

Ориентируясь на эти данные необходимо:

а) построить диаграмму рассеяния, отражающую зависимость прибыли  от ставки налога, определить вид зависимости  и оценить тесноту связи между  показателями;

б) по методу наименьших квадратов (МНК) рассчитать параметры уравнения регрессии, описывающего данный вид зависимости. Построить уравнение регрессии и регрессионную прямую;

в) определить расчетные значения , остатки , относительную ошибку аппроксимации;

г) проверить качество уравнения регрессии, рассчитав статистические характеристики: стандартные ошибки параметров регрессии, t-статистики параметров регрессии, коэффициент детерминации, F-статистику. Сделать вывод о статистической значимости фактора с позиций его влияния на результативный показатель;

д) дать экономическую интерпретацию  параметров регрессии. Как изменится прибыль, если ставка налога

 увеличится на 2 пп. Как изменится прибыль, если ставка налога уменьшится  на 1 пп;

е) пусть  в отчетном периоде  предприятие имело ставку налога 40% и прибыль предприятия составляла 30 тыс. у.е.  Предполагая, что в  прогнозном периоде сохранятся экономические  условия отчетного года, спрогнозировать уровень прибыли, если ожидается снижение ставки налога  на 4 пп.