Контрольная работа «Эконометрика»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермская государственная сельскохозяйственная академия

имени академика Д.Н. Прянишникова»

 

 

Кафедра финансов, кредита и

 экономического анализа

 

 

 

Контрольная работа

По дисциплине «Эконометрика»

 

 

 

 

 

 

 

Пермь 2012

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

1 раздел задача № 1…………………………………………………………...

2 раздел задача № 2……………………………………………………………..

3 раздел 1 теоретический  вопрос № 25 - Измерение тесноты  связи множественной регрессии  и границы его изменения…………………

4 раздел 2 теоретический  вопрос № 49 - Понятие Лага Алмон и его использование……………………………………………………….

Список использованных источников………………………………………….....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Измерение тесноты связи множественной регрессии и границы его изменения.

 

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, издержек производства и других вопросах. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также их совокупное воздействие на моделируемый показатель.

Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

,

где зависимая переменная (результативный признак);

       независимые переменные (факторы).

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:

• линейная – ;
• степенная – ;
• экспонента – ;
• гипербола – .

В некоторых случаях используются и другие функции, приводимые к линейному виду методами всевозможных замен [8].

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Он включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.

Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано прежде всего с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определённость.
2. Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, может привести к нежелательным последствиям – система нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной и повлечь за собой неустойчивость и ненадёжность оценок коэффициентов регрессии.

Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором факторов, то для неё рассчитывается показатель детерминации , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счёт рассматриваемых в регрессии факторов. Влияние других, не учтённых в модели факторов, оценивается как с соответствующей остаточной дисперсией .

Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по критерию Стьюдента.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа [7]. Однако теоретический анализ часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе матрицы показателей корреляции определяют статистики для параметров регрессии.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Для её решения может быть применен метод определителей:

, ,…, ,

где определитель системы;

        , , частные определители; которые получаются путём замены

                                соответствующего столбца матрицы  определителя системы 

                                данными левой части системы.

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизированном масштабе:

,

где , стандартизированные переменные;

      стандартизированные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе применим МНК. Стандартизированные коэффициенты регрессии ( коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:

.

Решая её методом определителей, найдём параметры – стандартизованные коэффициенты регрессии ( -коэффициенты). Они показывают, на сколько сигм изменится в среднем результат, если соответствующий фактор изменится на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов. В силу того, что все переменные заданы как центрированные и нормированные, стандартизованные коэффициенты регрессии сравнимы между собой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые несравнимы между собой.

Рассмотренный смысл стандартизованных коэффициентов регрессии позволяет их использовать при отсеве факторов – из модели исключаются факторы с наименьшим значением .

Связь коэффициентов множественной регрессии со стандартизированными коэффициентами описывается соотношением:

.

Параметр определяется как:

.

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле

.

Для расчёта частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:

.

Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – показателя детерминации [9].

Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:

,

где общая дисперсия результативного признака;

      остаточная дисперсия.

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

   .

При правильном включении факторов в регрессионную модель величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. Если же дополнительно включенные в уравнение множественной регрессии факторы третьестепенны, то индекс множественной корреляции может практически совпадать с индексом парной корреляции (различия в третьем, четвёртом знаках). Отсюда ясно, что сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности включения в уравнение регрессии того или иного фактора [3].

Расчёт индекса множественной корреляции предполагает определение уравнения множественной регрессии и на его основе остаточной дисперсии:

.

Можно пользоваться следующей формулой индекса множественной детерминации:

.

При линейной зависимости признаков формула индекса множественной корреляции может быть представлена следующим выражением:

,

где стандартизованные коэффициенты регрессии;

      парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии получила название линейного коэффициента множественной корреляции, или, что то же самое, совокупного коэффициента корреляции.

Возможно также при линейной зависимости определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции: , где определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

        определитель матрицы межфакторной корреляции.

Как видим, величина множественного коэффициента корреляции зависит не только от корреляции результата с каждым из факторов, но и от межфакторной корреляции. Рассмотренная формула позволяет определять совокупный коэффициент корреляции, не обращаясь при этом к уравнению множественной регрессии, а используя лишь парные коэффициенты корреляции [5].

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на фактора при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:

или по рекуррентной формуле:

.

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до 1.

Частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включения того или иного фактора в модель доказывается величиной показателя частной корреляции. Частные коэффициенты (индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включённых в уравнение регрессии, в основном их используют на стадии формирования модели. Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счёт дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:

.

Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле:

,

где число наблюдений;

      число факторов [9].

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью -критерия Фишера:

Частный -критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого факторов в уравнении. В общем виде для фактора частный -критерий определится как:

.

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью -критерия Стьюдента сводится к вычислению значения

,

где средняя квадратичная ошибка коэффициента  регрессии она может

                быть определена по следующей формуле:

 

.

При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов, их тесной линейной связанности.

Считается, что две переменные явно коллинеарны, то есть находятся между собой в линейной зависимости, если .

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надёжна оценка распределения суммы объяснённой вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку все недиагональные элементы    были бы равны нулю. Так, для включающего три объясняющих переменных уравнения

 матрица коэффициентов  корреляции между факторами имела  бы определитель, равный 1:

, так как  и .

Если же, наоборот, между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны 1, то определитель такой матрицы равен 0:

. [2]

Чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадёжнее результаты множественной регрессии. И наоборот, чем ближе к 1 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.