Контрольная работа по "Эконометрике"

 

 

 

 

 

Факультет экономики  и управления

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по дисциплине

«Эконометрика»

 

                                                                     

 

 

 

                                                                                       Выполнил

 

 

Москва 2013

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. По данным таблицы 1 о группе операторов связи построить однофакторную линейную эконометрическую модель -  функцию издержек: 

                                                    у = а + b · х + е.

Требуется изобразить поле корреляции, построить однофакторную эконометрическую модель, определив уравнение  регрессии и оценив с помощью метода наименьших квадратов (МНК) параметры модели, оценить тесноту связи и проверить значимость уравнения регрессии.

 

Таблица 1

№ оператора связи	Реализация услуг, млн.  руб.	Затраты на производство, млн. руб.
1	100	40
2	200	80
3	300	100
4	400	120
5	500	150
6	600	160
7	700	180
8	800	190
9	900	210
10	1000	250
11	1100	280
12	1200	300

 

 

 

Решение. 1) Изобразим графически  поле корреляции (рис. 1.1).

 

 

 

                     150     300      450       600    750      900      1050    1200            x

 

        Рис. 1.1. Диаграмма рассеяния величин x_i   и   y_i

 

2) По расположению эмпирических точек можно предполагать наличие линейной корреляционно-регрессионной зависимости, поэтому уравнение регрессии будем искать в виде линейного уравнения

                                            

     у ' = a₀ + a₁  х.                                        

 

Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры  a₀  и a₁  выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений у_i   от значений у'_i , найденных по уравнению регрессии (1), была минимальной:

                 S= S (у' _i   -  у_i)² = S (a₀ + a₁  х_i   -  у_i)²® min,                  

 

с учетом этого  параметры уравнения регрессии  определяются следующим образом:                                           _ _                  _

                               a₁  = (S х_i у_i - n x y) / (Sх_i ² - n x²) ,                                   

    _         _

                                                        a₀  = y - a₁  x.                                                

 

Коэффициент регрессии a₁ показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная у при увеличении переменной х на одну единицу.

Для зависимости переменной y_i от переменной x_i параметры уравнения регрессии определяем следующим образом:

                                                      _  _                  _

      а₁  = (S х_i у_i - n x y) / (Sх_i ² - n x ²) .                          

 

Вспомогательные расчеты представим в таблице 1.2.

     _                                                            _

     x  = S х / n = 7800 : 12 = 650 руб.,  y = S у / n = 2060 / 12 = 171,7 мин.

 

а₁  = (1654000 – 12  · 650  · 171,7) : (6500000 – 12 · 650²) =  

= 315000 : 1430000   = 0,2202,

                             _         _

а ₀  = y - а₁  x =  171,7 - 0,2202 · 650 = 171,7 – 143,13 = 28,48.

 

То есть  уравнение  однофакторной эконометрической модели зависимости затрат на производства связи y_i (в руб) и стоимости реализации  x_i (в рублях) выглядит следующим образом:

 

                                               у' _i  = 28,48 + 0,2202 x_i.                                 

 

Из полученного уравнения регрессии  следует, что при увеличении стоимости  реализации услуг на 100 млн. рублей затраты на производство  увеличивается на 2,2 млн. рублей (свободный член в данном уравнении регрессии не имеет реального экономического смысла).

 

Таблица 1.2

 

 

i	xi	yi	xi2	yi2	xi yi	y'i		(yi  - y'i) 2
							yi  - y'i			y'i  -yср.		(y'i  - yср.) 2
1	100	40	10000	1600	4000	50,51	-10,51	110,52		-121,15		14678,25
2	200	80	40000	6400	16000	72,54	7,46	55,64		-99,13		9825,94
3	300	100	90000	10000	30000	94,57	5,43	29,50		-77,10		5944,09
4	400	120	160000	14400	48000	116,60	3,40	11,58		-55,07		3032,70
5	500	150	250000	22500	75000	138,62	11,38	129,40		-33,04		1091,77
6	600	160	360000	25600	96000	160,65	-0,65	0,43		-11,01		121,31
7	700	180	490000	32400	126000	182,68	-2,68	7,19		11,01		121,31
8	800	190	640000	36100	152000	204,71	-14,71	216,34		33,04		1091,77
9	900	210	810000	44100	189000	226,74	-16,74	280,11		55,07		3032,70
10	1000	250	1000000	62500	250000	248,76	1,24	1,53		77,10		5944,09
11	1100	280	1210000	78400	308000	270,79	9,21	84,78		99,13		9825,94
12	1200	300	1440000	90000	360000	292,82	7,18	51,55		121,15		14678,25
S	7800	2060	6500000	424000	1654000	2060,00	0,00	978,55		0,00		69388,11

 

 

На рис. 1.2 представим график уравнения  регрессии.

 

                                                         у' _i  = 28,48 + 0,2202 x_i

 

                     150     300      450       600    750      900      1050    1200            x

 

        Рис. 1.2.

 

 

3) Оценим тесноту связи и качество  полученной однофакторной эконометрической модели.

Показателем тесноты связи является выборочный коэффициент корреляции (или просто коэффициент корреляции):

         r = (n S х_i у_i - S х_i S у_i )/ [Ö nSх_i ² – (S x) ² ·Ö nSу_i ² – (S у) ²].    

 

Проверить значимость уравнения регрессии – значит, установить, соответствует ли полученная модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной.

Для этого определяют F – критерий Фишера-Снедекора, в случае парной линейной регрессии уравнение значимо на уровне a, если

 

        F = [Q_R (n – 2)] / Q_е  > F _{a;1; n – 2} ,                       

                             _

где Q_R  = S ( у' _i  – у) ²,    Q_е = S (у _i  – у' _i ) ²,

       n – 2 –   число степеней свободы.

       F _{a;1; n – 2}  –  табличное значение F – критерия Фишера-Снедекора, определенное на уровне значимости a при k₁ = m - 1 и k₁ =  n – m  степенях свободы (при парной линейной регрессии m = 2).

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии, характеристикой прогностической силы анализируемой регрессионной модели является коэффициент детерминации (R²). Его величина показывает, какая часть (доля вариации) зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной. 0 £ R² ³ 1, чем R² ближе  к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии и между переменными х и у существует линейная функциональная зависимость. Если R² = 0, то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс. В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции:

                                              R² = r².                                            

 

а) Оценим тесноту связи  однофакторной эконометрической модели зависимости затрат на производства y_i (в рублях) и стоимости реализации услуг  x_i (в рублях) :

 

(12 ·1654000 – 7800 · 2060 )

 r =   =

Ö 12 · 6500000 – (7800) ² ·Ö 12 · 424000 –  (2060) ².

 

= 3780000 : (Ö17160000 · Ö 844400) = 0,993.

 

Полученное значение линейного  коэффициента корреляции свидетельствует  о  том, что связь между факторами  «стоимость реализации» и «затрат на производство» тесная  и прямая.

Проверим значимость уравнения регрессии (6) с помощью F – критерия Фишера-Снедекора:

 

                      F = [ Q_R (n – 2)] / Q_е  > F _{a;1; n – 2} ,                       

                                    _

Q_R  = S ( у' _i  – у) ²   = 69388,11;     Q_е = S (у _i  – у' _i ) ²  = 978,55;

 

                      F = [ 69388,11 (12 – 2)] / 978,55= 709,08.

Табличное значение критерия Фишера-Снедекора  F _{a;1; 8} = 5,32 (при уровне значимости a = 0,05) и F _{a;1; 8} = 11,26 (при уровне значимости a = 0,01), то есть условие  F  > F _{a;1; n – 2} выполняется, и  уравнение регрессии значимо.

Оценим качество уравнения регрессии  с помощью коэффициента детерминации (R² ).

 

                                          R² = r²,

                                           R² = 0,993² = 0,987. 

 

Полученное значение коэффициента детерминации свидетельствует об адекватности уравнения регрессии эмпирическим данным и возможности использования  полученной эконометрической модели зависимости  затрат на производство y_i (в рублях) от стоимости реализации услуг  x_i (в рублях) в прогнозных целях.

 

 

Задача 2.  Построить двухфакторную эконометрическую модель зависимости годового товарооборота салона связи от торговой площади и среднего числа посетителей в день. Рассчитать частные коэффициенты эластичности годового товарооборота салона связи от торговой площади и от среднего числа посетителей.

Исходные данные:

Номер салона связи	Годовой товарооборот, млн. руб.	Торговая площадь, тыс. м2	Среднее число посетителей в день, тыс. чел.
1	19,76	0,24	8,25
2	38,09	0,31	10,24
3	40,95	0,55	9,31
4	41,08	0,48	11,01
5	56,29	0,78	8,54
6	68,51	0,98	7,51
7	75,01	0,94	12,36
8	89,05	1,21	10,81
9	91,13	1,29	9,89
10	91,26	1,12	13,72
11	99,84	1,29	12,27
12	108,55	1,49	13,92