Контрольная работа по "Экономической теории"

Задание 1

На основании  данных табл. 1:

Таблица 1 - Наличие  предметов длительного пользования  в домашних хозяйствах по регионам ЦФО РФ в 2007 г. (по материалам выборочного  обследования бюджетов домашних хозяйств;  на 100 домохозяйств (кроме легковых автомобилей); штук)¹

Область	Музыкальные центры	Швейные машины
Белгородская Брянская Владимирская Воронежская Ивановская Калужская Костромская Курская Липецкая Московская	28 26 34 34 33 49 34 30 36 52	63 46 77 59 80 59 49 53 58 56

 

1. Построить уравнение линейной регрессии. Изобразить фактические данные и уравнение регрессии на одном графике.

2. Вычислить линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации.

       3. Определить среднюю ошибку аппроксимации.

       4. Проверить значимость всего уравнения регрессии, коэффициентов уравнения регрессии и линейного коэффициента парной корреляции.

       5. Построить доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии.

       6. Построить интервальный прогноз для значения х = х_max. Изобразить значения на графике.

       7. Рассчитать средний коэффициент эластичности.

       8. Дать экономическую интерпретацию рассчитанных параметров уравнения линейной регрессии.

Решение

1. Для расчета параметров a и b линейной регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

По исходным данным рассчитаем (таблица 2)

Таблица 2

№ п/п	y	x	yx	x2	y2	x	y- x	At
1	28	63	1764	3969	784	35,58	-7,58	27,07
2	26	46	1196	2116	676	35,75	-9,75	37,5
3	34	77	2618	5929	1156	35,44	-1,44	4,23
4	34	59	2006	3481	1156	35,62	-1,62	4,76
5	33	80	2640	6400	1089	35,41	-2,42	7,73
6	49	59	2891	3481	2401	35,62	13,38	27,3
7	34	49	1666	2401	1156	35,72	-1,72	5,05
8	30	53	1590	2809	900	35,68	-5,68	18,93
9	36	58	2088	3364	1296	35,63	0,37	1,02
10	52	56	2912	3136	2704	35,65	16,35	31,44
Итого	356	600	21371	37086	13318	356,1	0	165,03
Среднее значение	35,6	60	2137,1	3708,6	1331,8	х	х	16,5
	8,03	10,42	х	х	х	х	х	х
	64,46	108,6	х	х	х	х	х	х

 

Уравнение регрессии 

Рис. 1. Линия  регрессии и исходные данные.

2. Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

,

 т.е. связь  слабая, обратная.

Определим коэффициент  детерминации:

²=1,68*10^-4

ариация результата на 0,17% объясняется вариацией фактора х.

3. Средняя ошибка  аппроксимации:

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 16,5 %. Поскольку величина ошибки более 10%, то модель ненадежна.

4. Оценка значимости  уравнения регрессии проводится  при помощи F-критерия Фишера.  Определим фактическое значение F-критерия:

Табличное значение F-критерия при степени свободы n-2=8 и уровне значимости α=0,05 равно 3,07. Поскольку F_табл > F_факт, то Н₀ -  гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик принимается и отклоняется признание их статистической значимости и надежности.

Оценка значимости коэффициентов линейного уравнения  регрессии и линейного коэффициента корреляции проводится при помощи t-критерия Стьюдента.

Определим фактические  значения t-критерия Стьюдента для параметров уравнения регрессии и линейного коэффициента корреляции.

;      ; ,

где m_b, m_a, m_r – случайные ошибки.

Тогда m_b = -0,012 m_a=0,77 m_r=-0,0048

Табличное значение t-критерия при степени значимости α=0,01 равно 5,041.

Поскольку t_табл>t_факт, то гипотеза Н₀ о случайной природе формирования a,b и r_yx принимается.

5. Для расчета доверительного  интервала определим предельную  ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

γ_а=36,21±236,67

γ_аmin=36,21-236,87= -200,66

γ_аmax=36,21+236,67=272,88

γ_b=-0,01±3,88

γ_bmin=-0,01 – 3,88= - 3,89

γ_b=-0,01+3,88=3,87

Анализ нижней и верхней границ доверительных  интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью 95% параметры  уравнения a и b принимают нулевые значения, т.е. являются статистически незначимыми и существенно не отличаются от нуля. Данное уравнения для прогнозных оценок использоваться не может.

6. Построение  прогнозной оценки по найденному  уравнению не возможно.

7. Коэффициент  эластичности равен:

т.е., при увеличении количества швейных машин на 100 домохозяйств на 1%, количество видеомагнитофонов на 100 домохозяйств сократится на 0,017 %.

8. Параметр а  в уравнении регрессии никакой  экономической интерпретации не  имеет. Параметр b= -0,01 показывает, что в рассматриваемой совокупности областей при увеличении количества швейных машин на 100 домохозяйств на 1 шт, количество видеомагнитофонов на 100 домохозяйств сократится на 0,01 шт.

Задание 2.

На основании  тех же данных, что и в задании 1:

1. Построить логарифмическое уравнение регрессии.

2. Вычислить индекс парной корреляции.

3. Определить среднюю ошибку аппроксимации.

4. Проверить значимость всего уравнения регрессии.

5. Рассчитать средний коэффициент эластичности.

6. Дать экономическую интерпретацию рассчитанных параметров уравнения регрессии.

7. Сделать вывод по двум уравнениям регрессии.

 

Решение.

1. Для нахождения  параметров уравнения регрессии  делаем замену z=lnx.

и составляем вспомогательную  таблицу 3.

 

Таблица 3

№ п/п	y	x	z	yz	z2	y2	x	y- x	At
1	28	63	4,14	115,92	17,14	784	35,75	-7,75	27,72
2	26	46	3,83	99,58	14,67	676	35,50	-9,50	36,54
3	34	77	4,34	147,56	18,84	1156	35,92	-1,92	5,62
4	34	59	4,08	138,72	16,65	1156	35,71	-1,71	5,02
5	33	80	4,08	134,64	16,65	1089	35,71	-2,71	8,20
6	49	59	4,08	199,92	16,65	2401	35,71	13,29	27,13
7	34	49	4,08	138,72	16,65	1156	35,71	-1,71	-5,02
8	30	53	3,97	119,10	15,76	900	35,61	-5,62	-18,72
9	36	58	4,06	146,16	16,48	1296	35,69	0,31	0,86
10	52	56	4,03	209,56	16,24	2704	35,66	16,34	31,41
Итого	356	600	40,69	1449,88	165,72	13318	356,96	0	166,24
Среднее значение	35,6	60	4,07	144,99	16,57	1331,8	х	х	16,6
	8,03	10,42	0,12	х	х	х	х	х	х
	64,46	108,6	0,0147	х	х	х	х	х	х

Находи параметры  уравнения

Получаем уравнение регрессии:

2. Рассчитаем индекс парной корреляции:

3. Средняя ошибка аппроксимации равна

 

В среднем расчетные  значения отклоняются от фактических  на 16,5 %. Поскольку величина ошибки более 10%, то модель ненадежна.

4. Оценка значимости  уравнения регрессии проводится при помощи F-критерия Фишера.  Определим фактическое значение F-критерия:

Табличное значение F-критерия при степени свободы n-2=8 и уровне значимости α=0,05 равно 3,07. Поскольку F_табл > F_факт, то Н₀ -  гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик принимается и отклоняется признание их статистической значимости и надежности.

5.  Коэффициент эластичности равен:

т.е., при увеличении количества швейных машин на 100 домохозяйств на 1%, количество видеомагнитофонов на 100 домохозяйств увеличится на 0,093 %.

6. Параметр а в уравнении регрессии никакой экономической интерпретации не имеет. Параметр b= 0,82 показывает, что в рассматриваемой совокупности областей при увеличении количества швейных машин на 100 домохозяйств на 1 шт, количество видеомагнитофонов на 100 домохозяйств увеличится на 0,82 шт.

7. Проводя анализ показателей, характеризующих степень тесноты связи и добротности моделей можно сделать вывод, что для анализируемой совокупности анализ по линейному и логарифмическому уравнению регрессии не дают сколько ни будь приемлемых результатов.