Анализ рядов динамики

Процесс прогнозирования по трендовой модели осуществляется путем простой подстановки в уравнение тренда значений фактора t, то есть порядкового номера периода, на который осуществляется прогноз. Пример: параболическая модель для импорта на 25 период:

Точечный прогноз дополняется расчетом доверительных интервалов прогноза:

t – коэффициент доверия

S – стандартная ошибка уравнения тренда

Стандартная ошибка тренда рассчитывается по формуле:

 

n – длина динамического ряда

m – число факторов включенных в анализ

3. Авторегрессионные модели и прогнозирование

Еще одним подходом к описанию основной тенденции временного ряда и прогнозированию является авторегрессионная модель. Ее построению предшествует оценка наличия автокорреляции в изучаемом ряду.

Автокорреляция – это зависимость между последовательными значениями (уровнями) временного ряда. Автокорреляция первого порядка (first-order autocorrelation) оценивает степень зависимости между соседними значениями временного ряда. Автокорреляция второго порядка (second-order autocorrelation) оценивает тесноту связи между значениями, разделенными двумя временными интервалами, и т.д. Интервал времени, разделяющий зависимые уровни динамического ряда, называется лагом (lag).

Автокорреляционная функция :

• Дает представление о внутренней структуре динамического ряда
• Позволяет определить наличие или отсутствие в ряду периодических колебаний
• Позволяет определить период колебаний. Он равен величине лага, при которой значение коэффициента автокорреляции наибольшее.

Чем выше порядок коэффициента автокорреляции, тем по меньшему числу уровней он рассчитывается и следовательно, тем меньше его надежность. Оценив значимость коэффициента автокорреляции разных порядков можно сделать вывод о виде уравнения авторегрессии. Уравнения авторегрессии могут быть построены разных порядков, но ориентируются на максимальное значение статистически значимого коэффициента автокорреляции ( ).

Если установлено наличие автокорреляции в уравнениях ряда, то можно описывать тенденцию ряда так же с помощью уравнения авторегрессии. Фактор – предшествующий уровень , этот уровень отстает на величину лага, равную i.

Авторегрессионная модель:

Решение о том, модель авторегрессии какого порядка строить, принимается исходя из оценки значимости коэффициента автокорреляции. Если значимым оказывается лишь коэффициент автокорреляции первого и второго порядка, то имеет смысл начинать построение уравнения авторегрессии с уравнения второго порядка. Если хотя бы один параметр незначим, то надо перейти к построению уравнения первого порядка. Если уравнение статистически значимо и все параметры статистически значимы, то можно переходить к прогнозированию на основе этого уравнения.

Для экспорта авторегрессионное уравнение имеет вид:

Для импорта авторегрессионное уравнение имеет вид:

Как правило, авторегрессионная модель позволяет лучше, чем трендовая, описать предысторию процесса и получить более точный прогноз. Но для этого необходимо, чтобы уравнение и все его параметры были статистически значимы. 

В обоих случаях один из параметров уравнения авторегрессии статистически незначим, оно не может быть использовано для прогнозирования.

При прогнозировании на основе уравнения авторегрессии в модель подставляются значения предществующего уровня. Потом рассчитывается доверительный интервал.

Средние ошибки прогноза:

          MAS(D) – среднее абсолютное отклонение

          MSE – средний квадрат отклонений

          MAPE – средняя ошибка аппроксимации

          MPE – средняя процентная ошибка

MSE – используется для выявления максимальных отклонений.

MAPE – процентные ошибки у фактических значений. Если ошибка не превышает 10% прогноз считается хорошим, если больше 25% - удовлетворительный прогноз, если больше 50% - плохой прогноз.

Если MPE не превышает 5-7% - прогноз считается хорошим.

4. Корреляция рядов динамики

Корреляция рядов динамики – это изучение зависимости между динамическими рядами.

Корреляционная связь между уровнями двух динамических рядов называется кросс-корреляцией. Оценка тесноты связи в задачах исследования  кросс-корреляции производится с использованием стандартного коэффициента корреляции Пирсона. Однако применение традиционных методов корреляции и регрессии к анализу зависимости временных рядов имеет определенные особенности.

Изучение связей между рядами сопряжено с рядом проблем:

• Опасность измерения ложной корреляции. Если в анализируемых рядах имеются однонаправленные тенденции, то есть коэффициент корреляции автоматически завышается, даже если связь между рядами отсутствует, и наоборот, если в рядах есть разнонаправленные тенденции, то коэффициент корреляции может быть занижен.
• Статистической оценки связей между рядами, должен предшествовать теоретический анализ, то есть теоретически надо обосновать наличие причинно-следственной связи.
• Как правило в экономических рядах есть автокорреляция, то есть зависимость последних уровней ряда от предшествующих. Присутствие автокорреляции в рядах динамики, это нарушение важного условия применения метода наименьших квадратов. Надо исключить тенденцию.

Способ исключения автокрреляции:

• Корреляция остатков от трендовых моделей (предварительно проверив автокорреляцию в остатках)
• Коррелирование показателей является константами трендов.
• Построение множественного уравнения связи путем прямого включения в него фактора времени

Математической статистикой доказано, что прямое включение фактора времени в уравнение регрессии аналогично коррелированию остатков от трендовых моделей.

 Рисунок 7 Корреляционная связь между уровнями двух динамических рядов, экспорта и импорта Франции в период с 1977 по 2000 гг.

На основании рассчитанных коэффициентов кросс-корреляции определяется лаг наиболее существенной взаимосвязи между динамическими рядами, то есть тот лаг, которому соответствует максимальный коэффициент кросс-корреляции. В нашем случае максимально значение достигается при и составляет r = 0,9942.

Это свидетельствует о статистически значимой тесноте связи между двумя динамическими рядами при , что является достаточным основанием возможности прогнозирования значений одного динамического ряда по соответствующим уровням другого и в данном случае нет необходимости в смещении их относительно друг друга.

Далее строим уравнение связи:

где i - лаг наибольшей взаимосвязи между рядами

Невозможно теоретически обосновать, какой из динамических рядов является признаком-фактором, а кокой признаком-результатом, т.е. обосновать причинно-следственную связь. Поэтому строим два уравнения, в которых в качестве результативной переменной будут выступать разные динамические ряды:

Таблица 11

Зависимость экспорта Франции от импорта

	Beta	Std.Err. of Beta	B	Std.Err. of B	t(21)	p-level
Intercept			-10,4728	5,867572	-1,78486	0,088739
Импорт Франции	0,844211	0,078793	0,9063	0,084588	10,71432	0,000000
t	0,155930	0,078793	1,8414	0,930460	1,97898	0,061080

Как видно из таблицы 11, не все показатели значимы, то есть прогнозировать по данному уравнению нельзя.

Таблица 12

 Зависимость  импорта Франции от экспорта

	Beta	Std.Err. of Beta	B	Std.Err. of B	t(21)	p-level
Intercept			18,20950	5,001867	3,64054	0,001529
Экспорт Франции	1,001357	0,093460	0,93275	0,087057	10,71432	0,000000
t	-0,007344	0,093460	-0,08078	1,028049	-0,07858	0,938114

Как видно из таблицы 12, не все показатели значимы, то есть прогнозировать по данной модели нельзя.

Для прогнозирования следует выбрать уравнение на основе максимального коэффициента детерминации (или использовать другие критерии). При условии статистической значимости уравнения и параметров модель может быть использована для прогнозирования. В нашем случае прогнозирование не возможно.

Заключение

Исходными данными для данной работы послужили показатели экспорта и импорта Франции в период  с 1977 года по 2000 год включительно. Анализ данных показал, что объем экспорта во Франции  в среднем составлял 182 миллиарда долларов в год, а импорт в среднем 187 миллиардов долларов в год. Ежегодно объем экспорта в среднем менялся на 10,2 миллиарда долларов, а импорт ежегодно в среднем менялся на 10,4 миллиарда долларов. Это значит, что во Франции в период с 1977 года по 2000 год в среднем значения экспорта и импорта ежегодно менялись на 7% и 6% соответственно по отношению к показателям предшествующего года.

Основной задачей курсового проекта было спрогнозировать объем экспорта и импорта на следующие 3 года после 2000 года, но этого сделать не удалось. Это не получилось сделать, так как ни одна из выбранных нами трендовых моделей не смогла полностью описать тенденцию динамических рядов. В остатках рядов присутствует значительная автокорреляция. Следовательно, существует неописанная выбранными функциями зависимость в изменении уровней рядов, и осуществлять прогноз на основе линейной, показательной и параболической функций нельзя. Может на основе других трендовых моделей можно делать прогноз, но мы рассматривали только три, выше названные, модели. Так же была изучена взаимосвязь между динамическими рядами, было выявлено, что связь присутствует, максимальное значение достигается при и составляет r = 0,9942. Это свидетельствует о статистически значимой тесноте связи между двумя динамическими рядами при , что является достаточным основанием возможности прогнозирования значений одного динамического ряда по соответствующим уровням другого и в данном случае нет необходимости в смещении их относительно друг друга. Но так, как параметры уравнений связи, получились, статистически не значимы, то прогнозировать на основании этих уравнений нельзя.