Векторы и матрицы

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

 

Вариант № 6.

 

 

 

1. Вычислить угол между двумя векторами на плоскости заданными своими началом (А) и концом (В). Построить график.

      А₁(-8; 3),  В₁(-5; 7);   А₂10; 6),  В₂(12; 3). 

 

 

Угол между векторами  и найдем по формуле:

 

 

где  (х₁ ;  у₁) координаты вектора

       (х₂; у₂) координаты вектора

 

Определим координаты векторов и

 

 

 

 

 

 

Ответ:   109,44^▫

 

 

2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Вычислить длину высоты из вершины А. Построить график.

А (4; 2);  В (-4; -5); С (7; -1).

 

Составим уравнение стороны ВС.

Уравнение прямой проходящей через две данные точки:

 

,

(х₁ ;  у₁) – координаты точки В

 

(х₂; у₂)  координаты  точки С.

 

 

        

 

Так как АН высота ∆АВС, то  

 

Уравнение прямой с угловым  коэффициентом k проходящей через данную точку определяется по формуле:   y-y₁=k(x-x₁)

 

Так как

 

 

 

- уравнение высоты АН.

 

Найдем точку пересечения высоты АН  и стороны ВС:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Длина высоты  

 

 

 

 

 

 

Ответ:  3,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Даны две матрицы А и В. Найти    .

 

 

 

 

4. Решить систему линейных уравнений матричным методом и методом исключений Жордана-Гаусса.

Метод Жордана Гаусса

Запишем расширенную  матрицу коэффициентов данной системы:

      

 

                            

 

 

Запишем систему:

                                      

          

 

Ответ:  х₁=2,   х₂=-1,    х₃=3.

 

 

 

5. Вычислить пределы функций.

а)

 

 

 

Для раскрытия неопределенности  разложим  числитель дроби на множители: 

 

 

 

 

воспользуемся вторым замечательным  пределом: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 

 

 

6. Найти производные.

а)  

б)

 

 

в)

 

Ответ:

 

7. Найти экстремумы функции 

 

Определим точки, в которых производная равняется нулю или не существует (необходимое условие экстремума)

 

 

 

Производная существует на всей области определения функции.

 

Воспользуемся достаточным  условием экстремума:

 

 

 

  x=2- точка минимума       

 

-  минимум функции

 

 

Ответ:    x=2 - точка  минимума    у(2)=-12 - минимум функции 

 

 

 

8. Найти неопределенный интеграл.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 

 

 

 

 

 

 

 

9. Вычислить площадь плоской фигуры, заключенной между линиями:  (l₁) у=4x²;     (l₂) y=4х;    Построить график.

Определим абсциссы точек пересечения  линий:   у=4x² и  y=4х;   

    4x² = 4х

    x² = х

    x² – х =0

    x(х – 1) =0

    x=0          или    х – 1 =0

                               х = 1

 

 

Ответ: площадь плоской фигуры, заключенной между линиями:  у=4x²  y=4х  равна

10. Вычислить вероятность случайного события.

 

Поступающие в магазин  часы изготавливаются на трех заводах. С первого завода 40%, со второго 45%, с третьего 15% товара.  Среди часов  первого завода 10% отстают, со второго  – 5%, с третьего  2%.  Какова вероятность того, что наугад взятые часы отстают.

 

Решение:

 

Событие А - наугад взятые часы отстают.

 

Гипотеза   H₁ - часы изготовлены на первом заводе;

 H₂ - часы изготовлены на втором заводе;

 H₃ - часы изготовлены на третьем заводе;

 

Вероятности этих гипотез:

 

Условные вероятности, наугад взятые отстающие часы изготовлены на соответствующем заводе:

 

 

По формуле полной вероятности:

 

 

 

Ответ: вероятность того, что наугад взятые часы отстают 0,0655

 

 

 

 

 

 

 

11. Найти математическое ожидание и дисперсию заданной дискретной случайной величины. Построить график.

 

х	-3	-2	0	2	4	5
р	0,10	0,15	0,25	0,30	0,15	0,05

 

Математическое ожидание дискретной случайной величины найдем по формуле:

 

дисперсию заданной дискретной случайной величины найдем по формуле: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 

 

 

12. Дать формулу и график нормального закона распределения вероятностей с указанными параметрами. (0; 0,8)

а=0 – математическое ожидание

σ=0,8  -  среднее квадратичное отклонение

-  нормальный закон  распределения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Решить дифференциальное уравнение: 

 

Разделим переменные:  

 

 

 

 

 

Интегрируем:

 

 

 

 

 

 

 

 

                   

Ответ:    -  общее решение дифференциального уравнения