Визначення фрактальної розмірності

НАЦІОНАЛЬНИЙ  ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ 

«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ  ІНСТИТУТ»

МІЖУНІВЕРСИТЕТСЬКИЙ МЕДИКО-ІНЖЕНЕРНИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра лікувально-діагностичних  комплексів

 

 

 

 

 

 

Практична робота №1

«ВИЗНАЧЕННЯ ФРАКТАЛЬНОЇ РОЗМІРНОСТІ»

з

«Синергетики»

 

                                                                                                          Виконав:

студент гр. ЛД-91

Гаупт Олександр

                                                                                  Перевірила:

Вов’янко С.І.

 

 

 

 

 

Київ 2013

Мета роботи: Визначення розмірності Хаусдорфа

Завдання:

1. згідно заданого алгоритму, побудувати геометричний фрактал, відтворивши певну кількість ітерацій;
2. визначити дробову розмірність побудованої фігури методом box-counting

 

Варіант 2

Схема така: кожен з відрізків  прямої на наступному кроці замінюється  на два відрізки, що утворюють бічні  сторони рівнобедреного прямокутного трикутника, для якого вихідний відрізок був би гіпотенузою. В результаті відрізок як би прогинається під прямим кутом. Напрямок прогину чергується. Перший відрізок прогинається вправо (по ходу руху зліва направо), другий - вліво, третій - знову вправо і т.д.

Виконати 7 ітерацій.

 

Теоретичні відомості:

Фрактальна розмірність, D, — поняття фрактальної геометрії, що означає статистичну величину, яка говорить про те наскільки повно фрактал заповнює простір, коли збільшувати його до дрібніших деталей.

Існує багато специфічних визначень фрактальної розмірності. Найважливішими теоретичними фрактальними розмірностями є розмірність Реній, розмірність Хаусдорфа, компактна розмірність. На практиці, розмірність Мінковського і кореляційна розмірність широко застосувуються через їхню простоту використання. Хоч для деяких фракталів всі ці розмірності збігаються, загалом вони не є еквівалентними.

Наприклад, розмірність сніжинки Коха має топологічну розмірність, але вона не є кривою в жодному разі: довжина кривої між двома точками сніжинки Коха є нескінченною. Жоден найменший шматок цієї кривої не є подібним до лінії, але не є він чимось подібним до шматочку площини тощо. Можна сказати, що цей шматочок є занадто «товстим» щоб класифікувати його як одновимірний об'єкт, але він занадто «тонкий» щоб класифікувати його як двовимірний об'єкт. Тобто розмірність цього об'єкта є числом між одиницею і двійкою.

Існує два підходи для генерації  фрактальної структури. Один з них — це вирощування з одиничного об'єкта, інший — Сконструювати подальші розмірності вихідної структури, наприклад трикутник Серпінського. Тут ми слідуємо другому підходу для визначення розмірності фрактального об'єкта.

Якщо  ми візьмемо об'єкт з лінійним розміром що дорівнює 1 і припустимо що цей  об'єкт знаходиться в евклідовому  просторі D, зменшимо його лінійний розмір на 1 / l в кожному напрямку в просторі, він має N = l^D самоподібних об'єктів для того щоб покрити вихідний об'єкт. Розмірність визначена як

(де  логарифм може мати будь яку основу) досі дорівнює її топоплогічній або Евклідовій розмірності. Використовуючи це рівняння для фрактальної структури, ми отримаємо її розмірність (яка є більш-менш Хаусдорфовою розмірністю), що не буде цілим числом як і передбачалось.

де N(ε) — це число самоподібних структур лінійного розміру ε, необхідних для покриття всієї структури.

Наприклад, фрактальна розмірність трикутника Серпінського (Рис. 2) визначається як

Подібним  до цього є розмірність Мінковського, що розглядає випадок поділу простору на сітку кубиків, що мають розмір ε.

Хід роботи:

1. Побудувати на площині геометричний фрактал: 1-у, 2-у…n-у ітерацію.
2. Покрити побудований фрактал сіткою. Збільшуючи номер ітерації, одночасно зменшувати квадратики.
3. Визначити довжину ребра ε та число непустих квадратів N(ε)
4. Результати заности в таблицю:

 

номер ітерації	1/ε	ln(1/ε)	N(ε)	lnN(ε)	lnN(ε)/ln(1/ε)
1	2	0,6931	2	0,6931	1,0000
2	4	1,3863	6	1,7918	1,2925
3	8	2,0794	21	3,0445	1,4641
4	16	2,7726	48	3,8712	1,3962
5	32	3,4657	162	5,0876	1,4680
6	64	4,1589	357	5,8777	1,4133
7	128	4,8520	1322	7,1869	1,4812

 

 

 

 

5 Побудувати залежність lnN(ε) від ln(1/ε). Обчислити фрактальну розмірність.

, 

Висновок: За допомогою графіка функції залежності ln (Ni) від ln (ε) вдалося виміряти кут нахилу графіка, а також вдалося визначити фрактальну розмірність.