Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

    Конспект  лекции для автора курсового проекта  как для преподавателя  

    Дискретные  случайные величины и их числовые характеристики 

      Дискретная  случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число значений.

      Пример ДСВ – число точек на грани игрального кубика, выпадающее при его подбрасывании.

      !Задание привести пример ДСВ из окружающей жизни

      Законом распределения ДСВ называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения).

    Закон распределения может быть задан  формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а  также функцией распределения.

      Функцией  распределения случайной величины называется функция  

    

,

    определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее . 

    Свойства  функции распределения:

    а)  функция распределения принимает  значения только из отрезка [0,1]:

      0 ≤ F(x) ≤ 1;

    б)  F(x) – неубывающая функция, т.е. если x₂ > x₁, то F(x₂) > F(x₁) ;

    в)  F(- ∞ ) = 0; F(+ ∞) = 1; 

    г) вероятность того, что случайная  величина примет значение из

        интервала (причем ), равна:  

         ;  

    д) F(x) непрерывна слева, т. е. F(x) = F(x – 0) 

    Закон распределения дискретной случайной  величины может быть представлен в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек , соединенных отрезками (рис. 1.3).  

       

    Рис. 1.3. Многоугольники унимодального (а), полимодального (б) и антимодального (в) распределений   

      Математическим  ожиданием ДСВ называется среднее значение данной случайной величины  

    

,  

    т. е. математическое ожидание – это сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности . 

    Свойства  математического  ожидания.

    а) ,   где ;

    б) ;

    в) ;

    г) если случайные величины и независимы, то . 

      Мода распределения – это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение. Если мода единственна, то распределение называется унимодальным (рис. 1.3, а), в противном случае – полимодальным (рис. 1.3, б) Если в середине диапазона изменения аргумента наблюдается минимум на графике многоугольника вероятностей, тогда распределение называется антимодальным (рис. 1.3, в).  

      Медиана – это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5  

    

.  

    Медиана обычно не определяется для дискретной случайной величины.

    Величина  , определяемая равенством , называется квантилью порядка . Соответственно квантиль порядка 0,5 является медианой. 

      Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания  

     ,

     .  

    Дисперсия служит для характеристики рассеяния  СВ относительно ее математического  ожидания 

    Свойства  дисперсии:

    а) ,  где ;

    б) ;

    в) ,

    где – ковариация двух случайных величин и ;

    г) если и некоррелированы, то , тогда . 

      Средним квадратическим отклонением называется величина, которая имеет ту же размерность, что и СВ :  

    

.  

    Пример Дискретная случайная величина задана законом распределения:

	-1	0	1	2
	0,1	0,2	0,1	0,6

 

 

    Найти числовые характеристики СВ: , моду.

    Решение. Построим многоугольник распределения  данной случайной величины.  

Математическое  ожидание:

  

 Дисперсия:

    

    СКО:

    Мода  равна 2.  

    Основные  законы распределения  дискретных  случайных  величин 

    1. Закон распределения Бернулли. Случайная величина , распределенная по закону Бернулли, принимает значения: 1 – «успех» или 0 – «неудача» с вероятностями и соответственно

	0	1

 

 

    Математическое  ожидание: СВ X: .

    Дисперсия: . 
 
 

    2. Биномиальный закон распределения. Случайная величина , распределенная по биномиальному закону, принимает значения:

    0, 1, 2, …, n с вероятностями, определяемыми по формулам Бернулли:

    

  

	0	1	2	,,,		,,,

 

 

    Математическое  ожидание: .

    Дисперсия: .

    На  рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной  величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n=5 и p (для  p=0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8).

    

 

    Пример . В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую пятую единицу товара денежный приз размером 100 тенге. Найти закон распределения числа сотен тенге, полученных при четырёх сделанных покупках. 

Решение Вероятность того, что в случайно сделанной покупке окажется денежный приз, равна p=1/5=0,2. Случайная величина X - число покупок, в которые вложен денежный приз, имеет биномиальный закон распределения с параметрами n=4 и p=0,2. Ряд распределения X имеет вид:

xi	0	1	2	3	4
pi	0,4096	0,4096	0,1536	0,0256	0,0016

    значения  p_i=P(X=m), (m=0, 1, 2, 3, 4) вычислены по формуле

    !Задание построить многогранник распределения 

    3. Закон распределения Пуассона. Случайная величина , распределенная по закону Пуассона, принимает бесконечное счетное число значений: 0, 1, 2, …, k, …, с соответствующими вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона

    

,

    где – параметр распределения Пуассона.

    На  рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной  величины X, имеющей закон распределения Пуассона с параметром  (для =0,5; 1; 2; 3,5; 5).

      
 

    При и биномиальный закон распределения приближается к закону распределения Пуассона, где .

    Математическое  ожидание .

    Дисперсия . 

    Пример В супе объёмом V плавает N перчинок. С какой вероятностью в ложку объёмом V₀ попадёт ровно n перчинок?

    Решение

    Если количество перчинок N велико, а отношение мало, то задача описывается распределением Пуассона.

    В среднем, в ложке должны оказаться перчинок. Вероятность того, что в ложке окажется ровно n перчинок, равна В частности, при V = 10 л, л, N = 50 получаем (то есть одна перчинка, в среднем, попадается на 20 ложек), а вероятность:

• того, что в ложке окажется ноль перчинок, p₀ ≈ 0,95123,
• того, что в ложке окажется одна перчинка, p₁ ≈ 0,04756,
• того, что в ложке окажется две перчинки, p₂ ≈ 0,00119,
• того, что в ложке окажется три перчинки, p₃ ≈ 0,00002.

    Как видим, p_n очень быстро уменьшается с ростом n.

      

    4) Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями  

    

 

    где 0 < p < 1, q=1 - p, m =1, 2, ... 

    Пример  геометрического распределения представлен на рисунке

      

    Ряд геометрического распределения  имеет вид: 

xi	1	2	3	...	m	...
pi	p	pq	pq2	...	pqm-1	...

    Очевидно, что вероятности p_i образуют геометрическую прогрессию с первым членом  p и знаменателем q (отсюда и название "геометрическое распределение"). 

    Определение геометрического распределения  корректно, так как сумма ряда

    

    (так  как  есть сумма геометрического ряда при ).

    Случайная величина X=m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведённых по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

    Математическое  ожидание СВ X, имеющей геометрическое распределение с параметром p,

    Дисперсия , где q= 1-p. 
 

    Пример. Вероятность поражения цели равна 0,6. Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд распределения числа сделанных выстрелов, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов.

    Решение.  Случайная величина X - число сделанных выстрелов - имеет геометрическое распределение с параметром p=0,6. Ряд распределения X имеет вид: