Дифференцирование вектора

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА

Предположим, что  вектор U является функцией одной скалярной  переменной t. Например, U может быть радиус-вектором, проведенным из начала координат до перемещающейся точки, а t - временем. Пусть t изменится на небольшую  величину Dt, что приведет к изменению U на величину DU. Это показано на рис. 9. Отношение DU/Dt - вектор, направленный в том же направлении, что и DU. Мы можем определить производную U по t, как

Рис. 9. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ  ВЕКТОРА. Если U - функция переменной t, то изменение t на величину Dt повлечет изменение U на величину DU. В этом случае можно определить производную U по t.

при условии, что  такой предел существует. С другой стороны, можно представить U как  сумму компонент по трем осям и  записать

Если U - радиус-вектор r, то dr/dt - скорость точки, выраженная как  функция времени. Продифференцировав по времени еще раз, мы получим  ускорение. Предположим, что точка  перемещается вдоль кривой, показанной на рис. 10. Пусть s - расстояние, пройденное точкой вдоль кривой. В течение  малого интервала времени Dt точка  пройдет расстояние Ds вдоль кривой; положение радиус-вектора изменится на Dr. Следовательно Dr/Ds - вектор направленный как Dr. Далее

Рис. 10. СЛЕД ЧАСТИЦЫ. Если частица перемещается вдоль  кривой на расстояние s, то она пройдет  расстояние Ds (от P до Q) в течение  малого интервала времени.

Вектор Dr - изменение  радиус-вектора.

есть единичный  вектор, касательный к кривой. Это  видно из того, что при приближении  точки Q к точке P, PQ приближается к  касательной и Dr приближается к Ds. Формулы  для дифференцирования произведения подобны формулам для дифференцирования  произведения скалярных функций; однако, так как векторное произведение антикоммутативно, порядок умножения  должен быть сохранен. Поэтому,

Таким образом, мы видим, что, если вектор является функцией одной  скалярной переменной, то мы можем  представить производную почти  также, как в случае скалярной  функции.

Вектор и скалярные  поля. Градиент. В физике часто приходится иметь дело с векторными или скалярными величинами, которые меняются от точки  к точке в заданной области. Такие  области называются "полями". Например, скаляр может быть температурой или  давлением; вектор может быть скоростью  движущейся жидкости или электростатическим полем системы зарядов. Если мы выбрали  некоторую систему координат, то любой точке P (x, y, z) в заданной области  соответствует некоторый радиус-вектор r (= xi + yj + zk) и также значение векторной  величины U (r) или скаляра f (r), связанных  с ним. Предположим, что U и f определены в области однозначно; т.е. каждой точке соответствует одна и только одна величина U или f, хотя различные точки могут, конечно, иметь различные значения. Допустим, что мы хотим описать скорость, с которой U и f изменяются при передвижении по этой области. Простые частные производные, такие, как dU/dx и df/dy, нас не устраивают, потому что они зависят от конкретно выбранных координатных осей. Однако можно ввести векторный дифференциальный оператор, независимый от выбора осей координат; этот оператор называется "градиентом". Пусть мы имеем дело со скалярным полем f. Сначала в качестве примера рассмотрим контурную карту области страны. В этом случае f - высота над уровнем моря; контурные линии соединяют точки с одним и тем же значением f. При движении вдоль любой из этих линий f не меняется; если двигаться перпендикулярно этим линиям, то скорость изменения f будет максимальной. Мы можем каждой точке сопоставить вектор, указывающий величину и направление максимального изменения скорости f; такая карта и некоторые из этих векторов показаны на рис. 11. Если мы проделаем это для каждой точки поля, то получим векторное поле, связанное со скалярным полем f. Это поле вектора, называемого "градиентом" f, который записывается как grad f или Сf (символ С также называется "набла").