Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Июня 2013 в 17:02, курсовая работа
Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ним вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в программе. В общем виде изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.
Именно, если дано:
а) Линейное уравнение ax+b=0,где a≠0,то x= – единственный корень;
б) Квадратное уравнение ax+bx+c=0,где a,b,c –действительные числа,a≠0,то , при этом число корней зависит от величины D=b2-4ac,называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно:
При D>0,два действительных корня,D=0 – один двукратный корень (или, что то же ,два совпадающих корня), D<0 – нет действительных корней.
Введение…………………………………………………………………… 3
1.История возникновения комплексных чисел…………………………...5
2.Геометрический смысл комплексных чисел. Алгебраические действия над ними…………………………………………………………………………10
2.1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами……………………………………………………………………...10
2.2 Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрические действия над ними………………………………………………………….12
2.3. Операция сопряжения комплексных чисел………………………….14
2.4. Извлечение корня из комплексного числа…………………………. .15
2.5. Геометрический смысл алгебраических операций…………………..15
2.6. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме……16
2.7. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме……… .16
2.8.Возведение в целую степень комплексного числа, записанного в тригонометрической форме………………………………………………. .17
2.9. . Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме………………………………………………...17
3. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней…………………………………………………………...18
4.Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел………………………………………………………….20
5.Заключение………………………………………………………………...22
6. Использованная литература…………………………
Ответ: z=8+4i.
3. Доказать, что (а2+1)(b2+1)(c2+1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c – целые числа).
Доказательство: заметим, что
а2+1=|a+i|2, тогда имеем: (а2+1)(b2+1)(c2+1)=(a+i)(a-i)(
4. Доказать тождество:
(2x-z)2+(2x-z)2=2Re(z2).
Доказательство:
а)(2x-z)2+(2x-z)2=4x2-4xz+z2+
-2zz=(2x)2-2|z|2=4x2-2(x2+y2)=
б) 2Re(z2)=2Re(x+iy)2=2Re(x2-y2+
5. Доказать тождество
|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|
Доказательство: |z1+z2|2+|z1-z2|2= (z1+z2)( z1+z2)+( z1-z2)( z1-z2)= (z1+z2)( z1+z2)+( z1-z2)( z1-z2)=2 z1 z1+2 z2 z2=2(|z1|2+|z2|2).
Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.
5.Заключение
Проанализировав множество математической литературы, я изучила тему «Комплексные числа».
Комплексные
числа, имеют очень широкое
Именно поэтому нам нужно расширять свои
знания о комплексных числах, их свойствах
и особенностях.
Хотя комплексные числа не входят в базовую
школьную программу алгебры но, тем не
менее, являются серьёзным разделом элементарной
математики.
В данной курсовой работе было раскрыто
понятие комплексных чисел, история их
возникновения. Рассмотрены примеры действий
с комплексными числами. Приведены примеры
решения уравнений с комплексным переменным.
Материал, изложенный в этой работе, может быть использован в учебном процессе в курсе алгебры в высшем учебном заведении, а также в классах с углубленным изучением математики или на элективных курсах в школе. Я считаю, что достигла своей цели и выполнила поставленные перед собой задачи.
6.Использованная литература