Комплексные числа

j = ,      kÎZ

r4 = 1

r = 1

Z = cos + i×sin

k = 0,1,2,3...

k = 0

Z1 = cos0+ i×sin0 = 1 + 0 = 1

k = 1

Z2 = cos + i×sin = 0 + i = i

k = 2

Z3 = cosp + i·sinp = –1 + 0 = –1

k = 3

Z4 = cos + i×sin

                                              Ответ: Z13 = 1

                                                    Z24 = i

8.ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ

 

Из формулы 6 видно, что возведение комплексного числа  r·( cosj + i·sinj) в целую положительную степень с натуральным показателем  его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

[ r·(cosj + i·sinj)]n= rn·( cos nj + i·sin nj)

Число Z называется корнем степени n из числа w ( обозначается ), если Zn =w.

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения Zn = w является корнем степени n из числа w. Другими словами, для того, чтобы извлечь корень степени n из числа w, достаточно решить уравнение Zn = w. Если w=0, то при любом n уравнение Zn = w имеет только одно решение Z= 0. Если w 0, то и Z 0, а, следовательно, и Z и w можно представить в тригонометрической форме

Z = r·(cosj + i·sinj),         w = p·(cosy + i·siny)

Уравнение Zn = w примет вид:

rn·( cos nj + i·sin nj) = p·( cosy + i·siny)

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратными 2p. Следовательно,  rn = p и nj = y + 2pk, где kÎZ или r = и j = , где kÎZ.

Итак, все решения могут быть записаны следующим образом:

ZK= [cos( ) + i·sin( )],  kÎZ            (8)

Формулу 8 называют второй формулой Муавра.

Таким образом, если w 0, то существует ровно n корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле 8. Все корни степени n из числа w имеют один и тот же модуль , но разные аргументы, отличающиеся слагаемым, кратным числу . Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа w, соответствует точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке Z = 0.

Символ не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим символом подразумевается. Например, используя запись , следует подумать о том, чтобы было ясно, понимается под этим символом пара комплексных чисел i и –i, или одно, то какое именно.

 

Уравнения высших степеней

Формула 8 определяет все корни двучленного уравнения степени n. Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнения степени n:

an×Zn + an–1×Zn–1 +...+ a1×Z1 + a0 = 0             (9)

Где an,..., a0 – заданные комплексные числа.

В курсе высшей математики доказывается теорема Гаусса:  каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней мере один корень. Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом Гауссом в 1779 году.

Опираясь на теорему Гаусса, можно доказать, что левая часть уравнения 9 всегда может быть представлена  в виде произведения:

,

Где Z1, Z2,..., ZK  – некоторые различные комплексные числа,

а a1,a2,...,ak – натуральные числа, причем:

a1 + a2 + ... + ak = n

Отсюда следует, что числа  Z1, Z2,..., ZK являются корнями уравнения 9. При этом говорят, что Z1 является корнем кратности a1, Z2 – корнем кратности a2 и так далее.

Если условиться считать корень уравнения столько раз, какова его кратность, то можно сформулировать теорему: каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n корней.

Теорема Гаусса и только что сформулированная теорема дают решения о существовании корней, но ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корни первой и второй степени могут быть легко найдены, то для уравнений третей и четвертой степеней формулы громоздки, а для уравнений степени выше четвертой таких формул вообще не существует. Отсутствие общего метода не мешает отыскивать все корни уравнения. Для решения уравнения с целыми коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема: целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Докажем эту теорему:

 Пусть Z = k – целый корень уравнения

an×Zn + an–1×Zn–1 +...+ a1×Z1 + a0 = 0

с целыми коэффициентами. Тогда

an×kn + an–1×kn–1 +...+ a1×k1 + a0 = 0        

a0 = – k(an×kn–1 + an–1×kn–2 +...+ a1)

Число в скобках, при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит    k – делитель числа a0.

 

9.КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ  НЕИЗВЕСТНЫМ

 

Рассмотрим уравнение Z2 = a, где a – заданное действительное число, Z – неизвестное.

Это уравнение:

 имеет один корень, если a = 0.

 имеет два действительных  корня Z1,2= , если a > 0.

 не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных корня.

Запишем число a в виде a = (– 1)×(– a) = i2× = i2×( )2. Тогда уравнение     Z2 = a запишется в виде:                          Z2 – i2×( )2 = 0

т.е.                                          (Z – i× )(Z + i× ) = 0

Следовательно, уравнение имеет два корня: Z1,2 = i×

Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни  любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами

a×Z2 + b×Z + c = 0

По известной общей формуле

Z1,2=                (10)

Итак, при любых действительных a(a 0), b, c корни уравнения можно находить по формуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле 10

                 D = b2 – 4×a×c

 положителен , то уравнение a×Z2 + b×Z + c = 0 два действительных различных корня. Если D = 0, то уравнение a×Z2 + b×Z + c = 0 имеет один корень. Если D < 0, то уравнение a×Z2 + b×Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Комплексные корни квадратного уравнения обладают такими же свойствами, как и известные нам свойства действительных корней.

Сформулируем основные из них:

Пусть Z1,Z2 – корни квадратного уравнения a×Z2 + b×Z + c = 0, a 0. Тогда справедливы свойства:

 Теорема Виета:           Z1 + Z2 = –

                                         Z1×Z2 =

2. При всех комплексных  Z справедлива формула

a×Z2 + b×Z + c = a×(Z – Z1)×(Z – Z2)

Пример 5:

Z2 – 6·Z + 10 = 0

Д = b2 – 4·a·c

Д = 62 – 4·10 = – 4    

– 4 = i2·4

Z1,2 =

Z1,2 =

  Ответ: Z1 = Z2 = 3 + i

 

Пример 6:

3·Z2  +2·Z + 1 = 0

Д = b2 – 4·a·c

Д = 4 – 12 = – 8

Д = –1·8 = 8·i2

Z1,2 = =

Z1,2 =

Z1 = – ( )

Z2 = –

Ответ: Z1 = Z2 = –

Пример 7:

Z4 – 8·Z2 – 9 = 0

Z2 = t

t2 – 8·t – 9 = 0

Д = b2 – 4·a·c = 64 + 36 = 100

t1,2 = = = 4

t1 = 9                           t2 = – 1

Z2 = 9                          Z2 = – 1

Z1,2 = 3                      Z =

                                    Z3,4 = i

Ответ: Z1,2 = 3,    Z3,4 = i

 

Пример 8:

Z4 + 2·Z2 – 15 = 0

Z2 = t

t2 + 2·t – 15 = 0

Д = b2 – 4·a·c = 4 + 60 = 64

t1,2 = = = –1 4

t1 = – 5                      t2 = 3

Z2 = – 5                     Z2 = 3

Z2 = – 1·5                 Z3,4 =   

Z2 = i2·5

Z1,2 = i

Ответ: Z1,2 = i ,   Z3,4 =

 

Пример 9:

Z2 = 24 – 10·i

Пусть Z = X + Y·i

(X + Y·i)2 = X2 + 2·X·Y·i –Y2

X2 + 2·X·Y·i – Y2 = 24 – 10·i

(X2 – Y2) + 2·X·Y·i = 24 – 10·i

          

 

 

Y = –

X2 – = 24

 умножим на X2 0

X4 – 24·X2 – 25 = 0

X2 = t

t2 – 24·t – 25 = 0

t1·t2 = – 25

t1 + t2 = 24

t1 = 25        t2 = – 1

X2 = 25       X2 = – 1 — нет решений

X1,2 = 5

X1 = 5                     X2 = – 5

Y1 = –                 Y2 =

 

Y1 = – 1                  Y2 = 1

Тогда:

Z1,2 = (5 – i)

Ответ:  Z1,2 = (5 – i)