Контрольная работа по "Алгебре, аналитической геометрии"

Задание 1. Найти матрицу, обратную к матрице

Решение:

1. Вычислим определитель матрицы А

2. Обратная матрица А^-1 вычисляется по формуле , где А_ij^Т – транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений.

а) Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы

;  ; 

;  ; 

;  ; 

б) Составим матрицу алгебраических дополнений

в) Транспонируем матрицу  А_ij и получим А_ij^Т

г) Вычисляем обратную матрицу

д) Для проверки умножим А^-1 на А, получим

Ответ: .

Задание 2. Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

.

Доказать ее совместимость  и решить тремя способами:

1. методом Гаусса;
2. методом Крамера;
3. средствами матричного исчисления.

Решение:

1. Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных и осуществляется в два этапа:

а) прямой ход заключается  в приведении системы к ступенчатому (треугольному) виду; при этом, последнее уравнение системы имеет одну неизвестную; б) Обратный ход заключается в последовательном определении неизвестных из уравнений системы.

С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы  системы сведем ее к треугольному виду. Если в процессе СЛАУ методом Гаусса какая-либо строка примет вид 0=0, это будет свидетельствовать о том, что СЛАУ имеет бесконечное множество решений, если же возникает строка 0 = const, то система несовместна.

. Ответ: (0,1,1).

2. Методом Крамера

При СЛАУ совместна и, причем, она имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера , где ∆ - определитель матрицы А системы, а ∆_х, ∆_у, ∆_z – определители для неизвестных (х,у,z), полученные заменой соответствующего столбца, составленного из коэффициентов при неизвестных, на столбец свободных членов.

. Ответ: (0,1,1).

3. средствами матричного исчисления

СЛАУ удобно записать в матричной форме А·Х=С, где  А – матрица системы, Х –  столбец неизвестных членов, С  – столбец свободных членов.

Из матричного уравнения следует Х = А^-1С, (*) где А^-1 – обратная матрица, которая вычисляется по формуле , где А_ij^Т – транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений.

Вычислим определитель матрицы  А (смотрите выше)

а) Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы

;  ; 

;  ; 

;  ; 

б) Составим матрицу алгебраических дополнений

в) Транспонируем матрицу  А_ij и получим А_ij^Т

г) Вычисляем обратную матрицу

Согласно формуле (*) столбец  решений

.

Таким образом, СЛАУ: х = 0, у = 1, z = 1, что подтверждается в ходе проверки (подстановки полученных значений в каждое уравнение системы).

Задание 3. Даны вершины треугольника АВС: А(1;-1;2), B(5;-6;2), С(1;3;-1). Найти длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

Решение: Площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , то есть . Имеем: , . Тогда векторное произведение этих векторов равно .

(*).

Известно, что площадь треугольника равна  (**).

Приравняем равенства (*) и (**) и определим  высоту h

. Ответ: h = 5.

Задание 4. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄

А₁ (2; -1; 1), А₂ (5; 5; 4),  А₃ (3; 2; 3), А₄ (4; 1; 3). Найти:

1. длину ребер A₁A₂; A₁A₃; A₁A₄;
2. угол между ребрами: A₁A₂ и A₁A₄;
3. площадь грани A₁A₂А₃;
4. объем пирамиды;
5. длину высоты, опущенной из вершины А₄ на грань A₁A₂А₃.

Решение:

1. ,

,

,

2. Пусть α угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₄. Скалярное произведение векторов и запишется в следующем виде:

.

3. Площадь грани A₁A₂А₃ будем вычислять, исходя из геометрического смысла векторного произведения векторов. Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника A₁A₂А₃ равна .

.

.

4. Объем пирамиды численно равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов, образующих данную пирамиду, то есть , и .

.

5. Известно, что , где S – площадь основания (грань A₁A₂А₃) пирамиды, а h – высота пирамиды, опущенной из вершины А₄ на грань A₁A₂А₃. .

Задание 5.

а) Найти острый угол между двумя  плоскостями  .

Решение: Угол между двумя плоскостями  и равен углу между их нормальными векторами и и определяется по формуле

.

Из формулы (*) получим, если учесть, что на основании уравнения (I) А₁ = 5; В₁ = 3; С₁ = 4, а из (II) А₂ = 3; В₂ = -4; С₂ = -2,

. В формуле (*) следует взять  абсолютную величину правой части,  так как надо найти острый  угол между плоскостями.

б) Составить уравнение  плоскости, которая проходит через  прямую пересечения плоскостей Р₁, Р₂ и точку М(2,-1,3).

Решение: Две пересекающиеся плоскости Р₁ и Р₂ определяют (задают) пучок плоскостей, уравнение которого имеет вид 5x–3y+4z–4+t(3x–4y–2z+5)=0, где t – параметр. Все плоскости этого пучка проходят через прямую пересечения плоскостей Р₁ и Р₂ (ось пучка). Из множества плоскостей пучка выбираем ту (определяем значение t), которая проходит через точку М: значение t должно быть таким, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнению

.

Уравнение искомой плоскости

.

Задание 6. Даны уравнения высот треугольника 2х – 3у + 1 = 0 и х + у = 0 и координаты одной из его вершин А(1;2). Найти уравнения сторон треугольника.

Решение: Точка А(1;2) не принадлежит данным в условии  высотам треугольника, так как  ее координаты не удовлетворяют их уравнениям:

2·1 - 3·2 + 1 ≠ 0 и 1 + 2 ≠  0. Отсюда следует, что высоты, данные в задаче, проведены из  двух других вершин треугольника  В и С. Назовем их СД и ВЕ, , . Пусть высота СД имеет уравнение х + у = 0, а высота ВЕ имеет уравнение 2х – 3у + 1 = 0.

I способ. Так как , то уравнение АС мы найдем из уравнения семейства прямых, перпендикулярных ВЕ, приняв во внимание, что искомая прямая проходит через данную точку А(1;2).

Если две прямые перпендикулярны, то выполняется условие , то есть коэффициенты при х и у меняются местами, а также изменяется знак при у.

1. Уравнение стороны АС

2. Уравнение стороны АВ

3. Уравнение стороны ВС

Сначала следует найти координаты точек В и С, как точек пересечения прямых ВЕ и АВ и прямых СД и АС, соответственно.

Теперь найдем уравнение  ВС, воспользовавшись уравнение прямой, проходящей через две точки В(-2;-1) и С(7;-7).

II способ. Если две прямые заданы уравнениями и , то условия перпендикулярности двух прямых имеет вид .

1. Уравнение стороны АС ( )

Определим угловой коэффициент  высоты ВЕ. Преобразуем уравнение высоты ВЕ: .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку А(х₁;у₁) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом, (**).

Точка А(1;2) принадлежит  прямой АС, поэтому подставим ее координаты в уравнение (**). .

2. Уравнение стороны АВ ( )

Угловой коэффициент  высоты СД, имеющей вид, равен .

3. Уравнение стороны ВС рассмотрено выше.

 

Задание 7. Найти уравнение касательной к параболе у² = 4х, проведенной из точки А(-2;-1).

Решение: Уравнение прямой будем искать в виде . Так как точка А принадлежит искомой касательной, подставляя ее координаты в уравнение (*), получим тождество . Далее, прямая (*) и парабола у² = 4х имеют единственную общую точку (касаются). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Решаем ее относительно х и у. Это можно сделать различными способами, например, возвести правую и левую части первого уравнения в квадрат и подставить в левую часть полученного равенства вместо у² его выражение из второго уравнения. Получим . Это – квадратное уравнение, имеющее единственное решение в случае, когда дискриминант равен нулю. Таким образом, . Теперь для параметров k и b прямой (*) имеем два условия: (**) и (***). Следовательно, искомые значения параметров находятся как решения системы из этих условий:

. Подстановкой вместо b в первое уравнение его выражения из второго, получим , откуда находим, что . Система имеет два решения: . Следовательно, две прямые удовлетворяют условиям задачи. Их уравнения: .

Задание 8. Постройте кривую в полярной системе координат. Найти каноническое уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью.

Решение: Полярная система  координат задана, если заданы точка  О, называемая полюсом, и исходящей  из полюса луч ОР, который называется полярной осью. Если задать на плоскости прямоугольную декартову систему координат, поместив ее начало в полюс и совместив ось абсцисс с полярной осью, то декартовы координаты х и у будут выражены через полярные координаты (r и φ) уравнениями:

.

Составим таблицу для значений r от φ с шагом π/8.

φ	0	π/8	π/4	3π/8	π/2	5π/8	3π/4	7π/8	π
cosφ	1	0,92	0,71	0,38	0	-0,38	-0,71	-0,92	-1
r	12	11,1	9,3	7,4	6	5	4,4	4,1	4
φ	9π/8	5π/4	11π/8	3π/2	13π/8	7π/4	15π/8	2π
cosφ	-0,92	-0,71	-0,38	0	0,38	0,71	0,92	1
r	4,1	4,4	5	6	7,4	9,3	11,1	12

Примем произвольный отрезок за единицу масштаба, которым  мы будем пользоваться при построении r. Для построения проводим из полюса лучи, соответствующие выбранным значениям φ, и на каждом луче (то есть вдоль него) откладываем соответствующие вычисленные значения полярного радиуса. Полученные точки соединяем плавной кривой. Построенная линия – эллипс.