Контрольная работа по "Высшей математике"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

ВАРИАНТ 1

Задание 1. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,7. Проверено 20 изделий. Найти закон распределения случайной величины X – числа стандартных изделий среди проверенных. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Решение

Дискретная  случайная величина X (число стандартных изделий среди 20 проверенных) имеет следующие возможные значения: (ни одно из 20 проверенных изделий не является стандартным), (одно из 20 проверенных изделий является стандартным), …, (все 20 изделий являются стандартными).

Стандартность одного изделия  не зависит от стандартности или не стандартности других; вероятности, что изделия стандартны, равны между собой, поэтому применима формула Бернулли ( ). Учитывая, что, по условию, , (следовательно, ), получим:

;

;

;

;

;

…………………………………………………………………………….

;

;

.

Напишем искомый  биномиальный закон распределения X:

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,001	0,004	0,012	0,031

 

11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
0,065	0,114	0,164	0,192	0,179	0,130	0,072	0,028	0,007	0,001

Контроль: .

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по биномиальному закону,

,

А ее дисперсия

.

Среднеквадратическое  отклонение: .

Задание 2. Случайная величина задана функцией распределения Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал . Построить график функции и .

Решение

Плотность распределения непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения:

По формуле  математическое ожидание

.

По формуле  дисперсия .

Вначале найдем

.

Теперь  .

Вероятность попадания  непрерывной случайной величины в интервал равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от a до b, т.е.

.

Т.о., получаем

.

Построим график функции распределения :

Построим график плотности распределения  :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1. Н. Ш. Кремер Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студентов вузов, обучающимся по экономическим специальностям М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009. – 551 с.

2.  В. Е.  Гмурман Руководство к решению  задач по теории вероятностей  и математической статистике: учеб. пособие М.: Изд-во Юрайт, 2011. – 404 с.