Контрольная работа по "Линейной алгебре"

Оглавление

Задача 2 2

Задача 3 3

Задача 4 4

Задача 5 5

Задача 6 7

Задача 7 9

Задача 8 10

Задача 9 12

Задача 10 14

Задача 11 15

Задача 12 19

 

 

 

Задача 2

 

Найти матрицу оператора  проецирования на ось в базисе . В ответе указать сумму всех элементов матрицы.

 

Решение

 

Найдём координаты образов  базисных векторов :

 

Поэтому матрица оператора  проектирования будет следующей:

 

Сумма элементов матрицы  равна .

 

Ответ: .

 

Задача 3

 

Найти образ оператора  поворота относительно оси на угол в положительном направлении (против часовой стрелки) в базисе .

 

Решение

 

Найдём координаты образов  базисных векторов при повороте на угол относительно оси :

 

Поэтому матрица оператора  проектирования будет следующей:

 

По условию , поэтому матрица оператора будет следующей:

 

 

Ответ: .

 

Задача 4

 

Найти ядро оператора отражения  относительно плоскости в базисе .

 

Решение

 

Пусть . Её образом при заданном отражении будет точка , поэтому матрица линейного опреатора имеем вид:

 

Область значений оператора  – это множество векторов:

 

Ядро линейного оператора – это множество всех векторов, которые отражает в нуль-вектор. Получим:

 

Итак, ядро линейного оператора  будет следующим:

 

 

Ответ: .

 

Задача 5

 

Найти дефект оператора проецирования  на плоскость в базисе .

 

Решение

 

Чтобы ответить на вопрос задачи, найдём матрицу заданного линейного  оператора. Нормальный вектор плоскоcти . Произвольная точка пространства переходит в точку плоскости . При этом вектор является направляющим вектором прямой . Поэтому, канонические уравнения прямой будут следующими:

 

Отсюда

 

Точка принадлежит плоскости и прямой , то есть лежит на пересечении плоскости и прямой. Следовательно, её координаты удовлетворяют уравнению плоскости и уравнениям прямой:

 

Решим полученную систему уравнений:

 

 

Таким образом, точка переходит в точку

Следовательно, проектирование на плоскость выполняется преобразованием:

 

Отыщем матрицу преобразования. Для этого найдём образы координатных векторов: .

 

 

 

Составим матрицу линейного преобразования:

 

Ядром линейного преобразования является подпространство векторов, отображающихся в нулевой вектор:

 

Распишем последнее равенство  по координатам:

 

Получили общее решение  системы 

Построим фундаментальную  систему решений, которое содержит решение.

Пусть , тогда – базисный вектор.

Итак, ядро линейного оператора  содержит один вектор

 

Дефект линейного оператора – размерность его ядра, поэтому .

 

Ответ: .

 

Задача 6

 

Найти матрицу линейного оператора в базисе , где

 

В базисе матрица оператора имеет вид:

 

В ответе указать сумму  диагональных элементов матрицы .

 

Решение

 

По условию задана матрица  перехода от одного базиса к другому:

 

Искомая матрица линейного  оператора ищется по формуле:

 

Найдём обратную матрицу при помощи присоединённой матрицы. Проводя преобразования, приводящие заданную матрицу к единичной, те же самые преобразования приведут единичную матрицу к обратной . Получим:

 

Поменяем местами первую и третью строки:

 

Умножим первую строку на и сложим со второй:

 

Умножим первую строку на и сложим с третьей:

 

Умножим вторую строку на и сложим с третьей:

 

Умножим третью строку на и сложим со второй:

 

Умножим третью строку на и сложим с первой:

 

Умножим вторую строку на и сложим с первой:

 

Слева получили единичную  матрицу, значит, справа стоит обратная. Итак,

 

Тогда искомая матрица линейного оператора будет равна:

 

Итак, искомая матрица  линейного оператора .

Сумма диагональных элементов  полученной матрицы .

 

Ответ: .

 

Задача 7

 

Найти собственные значения оператора , заданного в некотором базисе матрицей . В ответе указать произведение собственных значений оператора.

 

Решение

 

Собственные числа оператора – корни уравнения , – единичная матрица. Составим уравнение и решим его.

 

 

 

 

По теореме Виетта произведение корней заданного уравнения равно , значит, произведение собственных значений заданного оператора равно .

 

Ответ: .

 

Задача 8

 

Найти собственные значения оператора , заданного в некотором базисе матрицей . Одно из собственных значений равно . В ответе указать сумму всех собственных значений оператора.

 

Решение

 

Собственные числа матрицы  – корни уравнения , – единичная матрица. Составим уравнение и решим его.

 

 

 

 

Т.к. одним из собственных  значений является , то выражение делится на . Получим:

 

Вернёмся к уравнению:

 

 

 

 

Итак, заданная матрица имеет три различных собственных значения .

Сумма всех собственных значений равна .

 

Ответ: .

 

Задача 9

 

Найти собственные векторы  оператора , заданного в некотором базисе матрицей:

 

Полученные векторы нормировать. В ответе указать сумму модулей всех координат собственных векторов оператора. Результат умножить на и округлить до целых.

 

Решение

 

Собственные числа оператора  – корни уравнения , – единичная матрица. Составим уравнение и решим его.

 

 

 

 

 

Итак, заданная матрица имеет три различных собственных значения .

Найдём соответствующие  собственные векторы. Для этого  составим матричное уравнение:

 

При получим:

 

 

Этому матричному уравнению  соответствует следующая система  уравнений:

 

Решим полученную систему:

 

Пусть , тогда собственный вектор имеет координаты: .

При получим:

 

 

Этому матричному уравнению  соответствует следующая система  уравнений:

 

Решим полученную систему:

 

Пусть , тогда собственный вектор имеет координаты: .

Итак, собственные векторы  заданного оператора: .

Нормируем их. Для этого  разделим каждую координату вектора  на длину вектора:

 

Сумма модулей всех координат  собственных векторов равна:

 

Умножив результат на и округлив до целых, получим:

 

 

Ответ: .

 

Задача 10

 

Привести квадратичную форму к каноническому виду с помощью метода Лагранжа. Записать соответствующее преобразование переменных. В ответе указать число положительных канонических коэффициентов.

 

 

Решение

 

Метод Лагранжа заключается  в последовательном выделении полных квадратов. Т.к. все коэффициенты , то выполним замену переменных . Получим:

 

Итак, канонический вид заданной квадратической формы

 

Преобразование переменных:

 

Коэффициенты при канонических коэффициентах: . Число положительных коэффициентах равно .

 

Ответ: .

 

Задача 11

 

Привести квадратичную форму  к каноническому виду с помощью  метода ортогональных преобразований. Записать соответствующее ортогональное  преобразование. В ответе указать  число отрицательных канонических коэффициентов.

 

 

Решение

 

Составим матрицу заданной квадратичной формы:

 

Приведём её к диагональному  виду. Для этого перейдём к базису собственных векторов. Собственные  значения матрицы найдём, решив уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, матрица имеет 3 собственных значения: . Найдём собственные векторы. Для этого решим систему уравнений, соответствующую каждому собственному значению:

 

 

 

Получили собственный вектор:

 

 

 

 

 

Получили собственный вектор:

 

Итак, получили базис собственных векторов .

Нормируем найденные собственные векторы, разделив координаты каждого вектора на его длину:

 

 

 

Тогда

 

Получим ортонормированный базис векторов:

 

В ортонормированном базисе квадратичная форма имеет вид:

 

 

 

Ортогональное преобразование от заданного базиса к базису имеет вид:

 

В канонической записи квадратичной формы имеется отрицательных коэффициента.

 

Ответ: .

 

Задача 12

 

Какая из приведённых ниже квадратичных форм является положительно определённой?

 

 

 

 

В ответе указать номер  положительно определённой квадратичной формы. Результат обосновать.

 

Решение

 

Преобразуем заданные квадратичные формы:

 

Т.к. в записи квадратичной формы есть отрицательные коэффициенты, то квадратичная форма не является положительно определённой.

 

Т.к. в записи квадратичной формы все коэффициенты положительны, то квадратичная форма является положительно определённой.

 

Т.к. в записи квадратичной формы есть отрицательные коэффициенты, то квадратичная форма не является положительно определённой.

 

Т.к. в записи квадратичной формы есть отрицательные коэффициенты, то квадратичная форма не является положительно определённой.

 

Ответ: .