Контрольная работа по "Математике"

 

 

Задание 1.Найдите пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

 

      ;     

Найти предел:

_a.   

_b.

_c)

Решение.

 

Так как числитель и знаменатель  обратились в нуль при x=2, то 2 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x - 2) .

Найдем корни первого многочлена:

x² -5x + 6 = 0

D = 5² - 4 • 1 • 6 = 25-24=1

Найдем корни второго многочлена:

x² -12x + 20 = 0

D = 12² - 4 • 1 • 20= 144-80 =64

 

Получаем:

 

 

. Исследовать функцию на непрерывность в указанных точках.

 

  ;     х₁ = 1,   х₂ = 2.

Найдем односторонние  пределы в точках х=1,

При х=1  функция имеет бесконечный разрыв.

_{При х=2}

При х=2  функция непрерывна.

Исследовать на непрерывность  функцию, найти  точки разрыва, указать характер разрыва и построить график функции  y = f (x)  в области определения.

                               

                           

                       – 2x + 1  при –2 £ x£ –1,                      

21.   f(x) =          при  –1 < x £ 1,                                       

                       2x  при    1 < x £ 2 .   

 

Функция  определена при  всех , непрерывна на каждом из промежутков так как непрерывны элементарные функции  у= -2х+1, у = 2х, у=

Исследуем точки, в которых  функция не определена (х=0) или меняет аналитическое выражение(х=-1, х=1). Найдем односторонние пределы в точках х=0, х =-1, х=1

При х=0 функция имеет бесконечный разрыв.

 При х=-1

При х=-1 функция имеет конечный разрыв.

При х=1

При х=1 функция непрерывна

 Изобразим график функции     

                                         5

                                         3

                                           

Найдите производные  для заданных функций.

;

 _{По правилу  производной суммы , а также используя табличные производные}

б) ;

_{Используем  формулы  производной суммы}

_{и табличные  производные для}

 

в) ;

_{По формуле  производной произведения}

 

_г)

По правилу производной  частного

Найти и для заданных функций и вычислить их значения в данной точке х₀.

  ,  х₀ = 0.

Найти дифференциалы первого и  второго порядка для заданных функций и вычислить их значения в заданной точке х₀.

 

51.  ,  х₀ = 0.

С помощью дифференциала вычислить  приближенное значение данной величины.

 

61.  .

Рассмотрим  функцию                 

         

 

71. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции y = на данном отрезке [–2;2]. Найти соответствующее значение с (если оно существует).

Функция y = _{непрерывна на отрезке} [–2;2], принимает равные значения на концах промежутка у(-2)=у(2)=0, но у данной функции не существует производная во внутренней точке промежутка х=0 . Условия теоремы Ролля не выполняются.

Найти пределы, используя правило  Лопиталя.

81.  .                         

. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и, используя результаты исследования, построить их графики.

91.  а)      

 

 

 

 

 

Область определения функции- множество  всех действительных чисел.

- функция является  четной.

Пересечение с осью у : (0;1)

Пересечение с осью х:

  _{ось х график не пересекает}

Вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты 

Наклонных асимптот нет.

Найдем производную

х				0
	-	0	+	0	-	0	+
у		min		max		min

                                                          

Найдем промежутки выпуклости и  вогнутости, вычислим вторую производную

 

х
	+	0	-	0	+
у

      

         

_{Строим  график функции}

                                           _y

 

 

                                                                                                                _x

 

 

                                                                                   

б) 

1. Область определения данной функции 
2. -функция является нечетной.

График проходит через (0;0)

 

3. Исследуем на асимптоты  а) вертикальных  асимптот нет

 

_{Для нахождения наклонных асимптот используем формулу  у=kx+b}

-

у = х -наклонная асимптота.

Исследуем функцию  на возрастание и убывание

Точек экстремума нет. Функция возрастает на области определения.

 Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость. Найдем вторую производную

                                  _{-                                                                         +}                                                                    у                                                                                     0                                                  х                                                                                       

 

По полученным точкам строим график функции. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Часть 2.

Вычислите неопределенные интегралы. Результат проверьте дифференцированием.

1. а)    б)    в) .

1)

Проверка 

2)

Проверка

 

3)

Интегрируем по частям

 

Проверка 

 

. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

11. 

 

 

Построим линии                                                         х

 

 

 

 

Найдем точки пересечения  линий 

 

. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость.

21.

     22. .  

        23. .       

       24. . Несобственный интеграл расходится.

Найти частное решение дифференциального  уравнения, удовлетворяющего начальным  условиям .

31.

Данное уравнение является линейным

Обозначим

Найдем  частное решение уравнения

Для нахождения  получим уравнение

Получим решение для у.

 

Подставляем начальные условия 

 

Имеем решение уравнения  Коши

 

Найти общее решение дифференциального  уравнения.

41.

Уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Сначала найдем решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

Частное решение будем  искать по правой части, учитывая, что числа 0  является корнем характеристического уравнения.

подставляем в уравнение

_{Тогда частное  решение}

 

_Тогда

  _{- общее решение}

 

. Исследовать на сходимость указанные ряды

51,

_{Применим  признак Даламбера}

_{ряд расходится}

 

_{Используем  признак сравнения   Каждый член данного  ряда больше соответствующего члена ряда , который является расходящимся рядом. Значит ряд тоже расходится.}

 

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды.

61.                                           

Найдем 

Для данного ряда не выполняется  необходимое условие сходимости ряда. Знакопеременный ряд расходится

 

 

 

 

Теория вероятности

 

1.Имеются две урны, в  первой из которых лежит 3 белых  и 2черных шаров, а во второй  находятся 4 белых и 3  черных. Из первой урны один случайно выбранный шар переложили во вторую урну. После этого шары во второй урне перемешали и из нее стали по одному вынимать шары без возвращения. Какова вероятность того, что первый вынутый из второй урны шар – черный?

Решение.Обозначим событие  А- первый вынутый шар - черный

Гипотезы Н₁ – из первой урны был переложен белый шар.;

Н₂- из первой урны был переложен черный шар

 

Условная вероятность первым вынуть черный шар для каждой гипотезы- ,

По формуле полной вероятности

 

2.Дискретная случайная  величина  имеет таблицу распределения

k	-2	-1	0	1	2
P( =k)	0,1	0,2	?	0,3	0,1

 

А1) Чему равна P( = 0).

P( = 0).=1-(0,1+0,2+0,3+0,1)=0,3