Контрольная работа по "Математическим моделям в экономике"

ФАКУЛЬТЕТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра экономики и управления предприятия (в машиностроении)

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Математические модели в экономике»

 

 

Выполнила:

студентка ФДО  ТУСУР

группа ______

специальности _______

Силкина Елена  Анатольевна

13 июня 2012 г.

 

 

 

Черепаново

2012 г.

Задание 1.

Объем выпуска  продукции Y зависит от количества вложенного труда х как функция, представленная в таблице. Цена продукции v, зарплата р. Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество вложенного труда.

Y(x) =    

   v = 90, р = 6

 

Решение:

 

Прибыль определяется W=vY – px = 180   - 0,6х

Воспользуемся соотношением v/(∂f/∂x)=p для нахождения оптимального объема производства: 90*2/( ^*) = 6

Следовательно, х^*= 4, максимальная прибыль при х^*= 4.

W=90*2 ^* - 0,6х = 180 ^* - 0,6*4 = 180 ^* - 2,4 = 360 – 2,4 = 358.

Выпуск продукции при  х^* = 4 равен: Y=2 ^* = 2 = 4.

 

Задание 2.

Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

D = 200 – 2р; S = 100+3р

 

Решение:

 

Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения, т.е. 200-2р=100+3р

Равновесная цена р^* = 20 и выручка при равновесной цене W(р^*) =р^* *D(р^*)=р^**S(p^*)=3200

При цене р>р^* объем продаж и выручка определяется функцией спроса, при р<р^* - предложения. Необходимо найти цену рⁱ , определяющую максимум выручки:

max [ W (p) = p*D(p) при р≥р^*

               W (p)=p*S(p) при р<р^*

При W( р*) = (200р-2р²) берем производную:

200 – 4р = 0

р=50

W(50)=5000.

W(р)=р*s(p) – функция является возрастной на данном участке, максимум не имеет, используем максимально доступную цену - равновесную.

Ответ: W(50)=5000.

 

 

Задание 3.

Найдите решение  матричной игры (оптимальные стратегии  и цену игры).

 

Решение:

Сначала необходимо проверить наличие седловой точки, так как если она есть, то решение  игры ясно. Седловой точки нет. Обозначим оптимальную стратегию Первого , искомую оптимальную стратегию Второго

(у, 1-у). Выигрыш  Первого есть случайная величина  с таким рядом распределения:

 

W (х, у): 

3	-2	-3	6
ху	х(1-у)	(1-х)у	(1-х)(1-у)

Находим средний  выигрыш за партию Первого – математической ожидание случайной величины W (х,у):

М(х,у) = 3ху – 2х(1-у) – 3у(1-х) + 6(1-х)(1-у) = 3ху – 2х + 2ху – 3у + 3ху + 6 – 6х – 6у + 6ху= 14ху – 2х – 9у + 6 = 14х(у-8/14) – 9(у-8/14) + 6/7 
= (у-8/14)(х-9/14) + 6/7

Для нахождения оптимальных стратегий игроков необходимо, чтобы

М(х, у^*) ≤ М (х^* , у^*) ≤ М(х, у^*). Это выполняется при х^* = 9/14 и у^* = 8/14, так как именно в этом случае М(х, 8/14) = М(9/14, 8/14) = М(9/14, у) = 6/7.

Следовательно оптимальная стратегия Первого игрока есть

Р^* = , второго – Q^* = (8/14, 6/14). Цена игры по определению равна v = M(P^*, Q^*) = 6/7.

 

 

Задание 4.

Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица  коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невырожденных матриц и приближенно), заполнить схему межотраслевого баланса.

А =

Y =

Решение:

Матрица коэффициентов 1-го порядка:

А¹= А²= =

 

=

 

Матрица коэффициента 2-го порядка:

 

А²= АА¹ = =

 

=

 

Матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна:

В ≈ Е + А + А² + А³

 

В ≈ 

 

  2-й способ:

 

Найдем матрицу(Е - А)

 

(Е-А) =     -   =  

Находим определитель:

det(Е-А) = 0,054 – (0,02) = 0,034

Транспонируем матрицу (Е - А)

(Е - А)¹ =

Находим алгебраические дополнения:

А₁₁ = (-1)² = 0,18

А₁₂ = (-1)³ = 0,04

А₁₃ = (-1)⁴ = 0,0

А₂₁ = (-1)³ = 0,1

А₂₂ = (-1)⁴ = 0,06

А₂₃ = (-1)⁵ = 0,0

А₃₁ = (-1)⁴ = 0,05

А₃₂ = (-1)⁵ = 0,03

А₃₃ = (-1)⁶ = 0,27-0,01=0,26

Находим матрицу  коэффициентов полных материальных затрат с помощью формулы: В=(Е-А)^-1

В = =

Производящие  отрасли	Потребляющие  отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1	2576,42	464,32	0,0	640	3680,74
2	1840,13	232,16	0,0	250	2322,46
3	0,0	232,16	4595,84	600	5428
Условно чистая продукция	-736,12	1392,96	1148,96	1490
Валовая продукция	3680,6	2321,6	5744,8		11747

 

Задание 5.

Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания (а = 0,1), представить результаты сглаживания графически, определите для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперед.

у=53, 51, 52, 54, 55, 56, 55, 54, 56, 57

Решение:

Найдем среднеарифметическую у^- = 54,3

Среднее квадратическое отклонение:

∂_у =

∂_у = = = = 26536,41

∂_у = 162,9

Значения λ_t в зависимости от t = 1, 2, 3, 4 представлены в таблице.

λ_t  =

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
λt	-	0,03	0,02	0,02	0,006	0,006	0,01	0,01	0,02	0,01

Как видно из таблицы λ₂<λ_а, λ_а = 1,5 (из значений критерия Ирвина). Следовательно у₂=2 является аномальным уровнем.

При сглаживании  экспоненциальным методом принято  а=0,2 нулевое значение 
                 = 52

t	yt	yt  методом экспонцеального сглаживания
1	53	21
2	51	20,6
3	52	20,8
4	54	21,2
5	55	21,4
6	56	21,6
7	55	21,4
8	54	21,2
9	56	21,6
10	57	21,8

 
Полинома первой степени  у_t = а₀ + а₁t

Система нормальных уравнений имеет вид:

.

Стандартная (средняя  квадратическая) ошибка оценки прогнозируемого показателя S_y определяется по формуле:

Задание 6.

Пункт по ремонту  квартир работает в режиме отказа и состоит из двух бригад. Интенсивность  потока заявок λ, производительность пункта μ. Определить вероятность того, что  оба каналы свободны, один  канал занят, оба канала заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускные способности, среднее число занятых бригад.

Интенсивность потока заявок λ = 0,97, производительность пункта μ = 1,06.

Решение:

Так как математической моделью  является пункт по ремонту квартир  с отказами, характеризующие параметры: интенсивность потока заявок λ = 0,97, интенсивность потока обслуживания μ = 1,06, то по формуле опрделим предельную вероятность отказа:

Р _отк = = = 0,477 или 47,7%.

т.е. в установившемся режиме из каждых 100 заявок в среднем 48 получают отказ.

Определим предельное значение относительной Q и абсолютной А пропускной способности:

Q = 1 - р_отк = 1 – 0,477 = 0,523

А = Q = 0,97 * 0,523 = 0,507

Итак, из расчета  следует, что случайный характер поступления заказов и случайный характер выполнения порождают ситуацию, что абсолютная пропускная способность А = 0,507 ниже чем интенсивность потока обслуживания μ = 1,06.

Определим далее:

- среднее время обслуживания:

Т_об = = 1/ 1,06 = 0,94 мин.

- среднее время  простоя канала:

Т_пр = = 1/ 0,97 = 1,03 мин.

- вероятность того, что  канал свободен

р₀ = Т_пр/Т_об + Т_пр = 1,03/0,94+1,03 = 0,52.

- вероятность того, что канал занят

р₁ = Т_об/Т_об + Т_пр = 0,94/0,94+1,03 = 0,48.

Таким образом, вероятность  того, что канал занят, меньше вероятности  того, что канал свободен и этого  следовало ожидать, так как интенсивность  входящего потока = 0,97 меньше интенсивности производительности канала μ = 1,06.