Контрольная работа по "Теории вероятностей"

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный  экономический университет»

Центр дистанционного образования

 

 

 

Контрольная работа

по  дисциплине: теория вероятностей

 

 

 

 

                                                                          Преподаватель: Коржавина Н.В.

                                                                            Студент: Веселов И.М .

 

Направление: управление качеством в производственно -технологических системах

Группа: УК-12СР

 

 

 

 

Екатеринбург

2013

Вариант 2                                                                

 Задача 1        

Имеется две урны. В первой урне а белых и в черных шаров, во второй с белых и d черных шаров. Из каждой урны вынимается по одному шару. Какова вероятность, что они будут белыми?       

Решение:

1 урна                               2 урна

a – белые, b – черные     c – белые, d – черные

По теореме  о сумме вероятностей: вероятность  суммы равна сумме вероятностей минус их произведение.

- вероятность того, что из первой  урны вынут белый шар;

- вероятность того, что из второй  урны вынут белый шар. 

 

Задача 2        

12 рабочих получили путевки в 4 дома отдыха: трое – в первый дом отдыха, трое – во второй, двое – в третий и четверо – в четвертый дом отдыха. Найти вероятность того, что данные двое рабочих попадут в один дом отдыха.       

Решение:       

Вероятности для одного рабочего попасть в конкретный дом: 1/4 , 1/4, 1/6, 1/3. Дальше считаем условную вероятность  попадания по формуле полной вероятности.        

Р=(3/12)•(2/11)+(3/12)•(2/11)+(2/12)•(1/11)+(4/12)•(3/11)=(1/132)•(6+6+2+12)=14/132=7/66.                                                            

Задача 3       

В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрыша. Некто приобрел 2 билета. Найти вероятность, что он 1) выиграет хотя бы по одному билет, 2) выиграет по одному билету - деньги, а по другому - вещи.        

Решение:       

Вероятность хоть какого-то выигрыша = 34/1000. это по одному билету. хотя бы по одному = 1 - вероятность, что ни один не выиграет = 1- (1-34/1000)^2.       

1. Вероятность выигрыша р=p₁+p₂=0.024+0.01=0,034;   
1)P=1-(1-p)²≈1-0.933=0.067   
2) P=p₁•p₂+p₂•p₁=2•0.024•0.01=0.0048.                                                   

                 Задача 4       

В сборочный цех завода поступили  детали с 3-х автоматов. 1-ый автомат  дает 3 % брака, 2-й – 1 %, 3-ий – 2%. Определить вероятность попадания на сборку бракованной детали, если в цех поступило 500 деталей от 1-го автомата, 200 от 2-го и 300 от 3-го.       

Решение:       

По  формуле полной вероятности,  где  А - взятие хорошей  детали , - взятие  детали  из первого (второго / третьего)  автомата , -  вероятность  взятия  детали  из первого (второго / третьего)  автомата , -  вероятность взятия хорошей  детали  из первого (второго / третьего)  автомата , - вероятность попадания на сборку небракованной детали.       

Решение:       

1% = 0,01       

Эти производительности  даны  для того, чтобы  определить   вероятность  наугад взятой  детали  быть произведённой первым  автоматом  (гипотеза H1), или вторым (гипотеза H2), или третьим (гипотеза Н3).         

Гипотезы:       

Н1 - деталь с первого автомата        

Н2 - деталь со второго автомата        

Н3 – деталь с  третьего автомата        

1 -((( 1 -0, 001 )^500)*(( 1 -0, 002 )^200))*(( 1 -0, 003 )^300))=0,999999183332  брак  почти наверняка  
                                                             

 Задача 5       

В специализированную больницу поступают в среднем 70 % больных  с заболеванием К а остальные - с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0.8, болезни М - 0.9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Какова вероятность, что он болел болезнью К?       

Решение:       

Пусть А событие состоящее в том, что выписанный болел болезнью К, а В - гипотеза, что он болел М.       

70+30 = 100;       

Р (В) = 30/100 = 0,3;       

Р (А) = 70/100 = 0,7       

Р = 0,3Ч0,9+0,7Ч0,8 = 0,27+0,56 = 0,83       

Ответ: вероятность, что заболеваемость К = 0,83.  
 

Контрольная работа №2 

 

№1.В урне 4 шара, на которых указаны очки 2; 4; 5; 5. Наудачу вынимается шар. Найти закон распределения случайной величины Х – числа очков на нем. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Решение:

Вынимается только один шар, поэтому число очков на нём  может оказаться равным 2 или 4 или 5.

Так как всего в урне 4 шара и только на одном из них  указано 2 очка, то вероятность появления  шара с двумя очками равна р1 = 1/4 = 0,25.

Вероятность появления шара с 4 очками очевидно та же р2 = 0,25, а вероятность появления шара с 5 очками равна р3 = 2/4 = 5.

Т.о. закон распределения  случайной величины Х – числа  очков на шаре в табличной форме  запишется в виде:

Х	2	4	5
р(х)	0,25	0,25	0,5

 

Математическое ожидание можно определить по формуле:

М(х) = = 2∙0,25 + 4∙0,25 + 5∙0,5 = 4;

Дисперсия: 

D(х) = М(х2) – [М(х)]2 = 0,25∙22 + 0,25∙42 + 0,5∙52 – 42 = 17,5 – 16 = 1,5;

Среднеквадратическое отклонение:  

 

 

  

 

Задание 2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а  также вероятность попадания  случайной величины в интервал (α,β). Построить графики функций F(X) и f(X). 

 

Решение:

1. Плотность распределения  f(x) есть первая производная от функции распределения:        

 Поэтому: 

2. Математическое  ожидание определится интегралом:

3. Дисперсия  определится интегралом:

4. Так как заданный  интервал (0,5; 1,5) входит в интервал  функции распределения 1 < x < 2 то, используя формулу: ,  получим:

Графики F(x) и f(x) имеют вид: