Контрольная работа по дисциплине «Методы оптимальных решений»

 

 

КАФЕДРА «Прикладная математика»

 

Контрольная работа

По дисциплине «Методы оптимальных решений»

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2014 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 3

Задание 1

Задачу решите графическим методом.

                                         ;

Решение

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом). 
Построим уравнение x1+x2 = 7 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 7. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 7. Соединяем точку (0;7) с (7;0) прямой линией. 
Построим уравнение -x1+x2 = -3 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = -3. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 3. Соединяем точку (0;-3) с (3;0) прямой линией. 
Построим уравнение x1+2x2 = 10 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 5. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 10. Соединяем точку (0;5) с (10;0) прямой линией. 
Построим уравнение -x1+2x2 = 4 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 2. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = -4. Соединяем точку (0;2) с (-4;0) прямой линией.

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений. 

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x1+2x2+6 → max.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x1+2x2+6 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (3; 2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых, то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 
-x1+x2=-3 
-x1+2x2=4 
Решив систему уравнений, получим: x1 = 10, x2 = 7 
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: 
F(X) = 3*10 + 2*7 + 6 = 50

 

 

Задание 2

Задачу решите симплексным методом.

;

Решение

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. 

-2x1 + 5x2-4x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 4

1x1-2x2 + 2x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 2

1x1 + 2x2-2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 10

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

 

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,4,2,10)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	4	-2	5	-4	1	0	0
x5	2	1	-2	2	0	1	0
x6	10	1	2	-2	0	0	1
F(X0)	0	6	-5	8	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.

2. Определение новой базисной  переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент .

3. Определение новой свободной  переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3  и из них выберем наименьшее: min (- , 2 : 2 , - ) = 1

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	4	-2	5	-4	1	0	0	-
x5	2	1	-2	2	0	1	0	1
x6	10	1	2	-2	0	0	1	-
F(X1)	0	6	-5	8	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x5 в план 1 войдет переменная x3.

Строка, соответствующая переменной x3 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=2

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x3 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x3 и столбец x3.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (2), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Получаем новую симплекс-таблицу:

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	8	0	1	0	1	2	0
x3	1	1/2	-1	1	0	1/2	0
x6	12	2	0	0	0	1	1
F(X1)	-8	2	3	0	0	-4	0

Итерация №1.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.

2. Определение новой базисной  переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент .

3. Определение новой свободной  переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2  и из них выберем наименьшее: min (8 : 1 , - , - ) = 8

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	8	0	1	0	1	2	0	8
x3	1	1/2	-1	1	0	1/2	0	-
x6	12	2	0	0	0	1	1	-
F(X2)	-8	2	3	0	0	-4	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x4 в план 2 войдет переменная x2.

Строка, соответствующая переменной x2 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=1

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x2 плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x2 и столбец x2.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	8	0	1	0	1	2	0
x3	9	1/2	0	1	1	5/2	0
x6	12	2	0	0	0	1	1
F(X2)	-32	2	0	0	-3	-10	0

Итерация №2.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.

2. Определение новой базисной  переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент .

3. Определение новой свободной  переменной.