Контрольная работ по "Теории вероятностей"

Задача 1. В магазине в течение дня было продано 20 из 25 микроволновых печей трех различных производителей, имевшихся в количествах 5, 7 и 13 штук.

Какова вероятность  того, что остались нераспроданными  микроволновые печи одной марки, если вероятность быть проданной для каждой марки печи является одинаковой?

 

Решение.

А – остались нераспроданными  микроволновые печи одной марки.

Общее число способов, которыми можно получить 5 (непроданных) микроволновых печей из 25

В₁ – остались печи 1го производителя;

В₂ – остались печи 2го производителя;

В₃ – остались печи 3го производителя.

А = В₁ + В₂ + В₃

Р(А) = Р(В₁) + Р(В₂) + Р(В₃) =

Ответ: 0,0246.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. По статистике, в среднем каждая четвертая семья в регионе имеет компьютер.

Найти вероятность того, что из восьми наудачу выбранных  семей имеют компьютер:

а) две семьи;

б) хотя бы две  семьи.

Решение.

а) вероятность того что семья  имеет компьютер р = .

q = 1- p = 1 - = ;

n=8;

k=2.

По формуле Бернулли:

.

б) «хотя бы две семьи имеют компьютер» событие противоположное «менее двух семей имеют компьютер»

Исходя из этого, получим:

Р₈(k<2) = P₈(0) + P₈(1) =

.

 

Р₈(k≥2) = 1 - Р(k<2) = 1 - 0,367 = 0,633.

 

Ответ: а) 0,311; б) 0,367.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Доля изделий высшего качества некоторой массовой продукции составляет 40%. Случайным образом отобрано 250 изделий.

Найти вероятность того, что:

а) 120 изделий будут высшего  качества;

б) изделий высшего качества будет не менее 90 и не более 120.

 

Решение:

По условию: p=0.4, q = 1-0.4 = 0.6.

а) k = 120;

    n = 250

Используем локальную теорему Муавра – Лапласа

;

Определяем x

, по таблице  (2.58) = 0.0143

.

б) Используем Интегральную теорему  Муавра-Лапласа:

;

; ;

;

 

Ответ: а) 0,002; б) 0,8966.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Двигаясь по маршруту, автомобиль преодолевает два регулируемых перекрестка. Первый перекресток он преодолевает без  остановки с вероятностью 0,4 и  при этом условии второй перекресток проезжает без остановки с вероятностью 0,3. Если же на первом перекрестке автомобиль совершил остановку, то второй он проезжает без остановки с вероятностью 0,8.

Составить закон  распределения случайной величины Х – числа перекрестков, преодолеваемых автомобилем без остановки. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.

 

Решение.

X	0	1	2
p	0.12	0.76	0.12

 

А₁ – автомобиль проехал первый перекресток без остановки;

А₂ – автомобиль проехал второй перекресток без остановки;

- автомобиль остановился на  первом перекрестке;

- автомобиль остановился на  втором перекрестке.

 

 

 

 

Х = 0 – автомобиль остановился  и на первом, и на втором перекрестке:

 

Х = 1 – автомобиль остановился  только на одном перекрестке:

 

Х = 2 – автомобиль проехал 2 перекрестка без остановки:

 

Математическое ожидание:

 

Дисперсия:

 

Функция распределения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5. Плотность вероятности  случайной величины Х имеет вид:

Найти:

а) параметр а;

б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

в) функцию распределения F(x).

С помощью неравенства  Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина принимает значения на промежутке [1; 2]. Вычислить эту вероятность с помощью функции распределения. Объяснить различие результатов.

 

Решение:

а) , →

,

,

,

б) , →

;

.

.

 

 

 

 

 

в)

Неравенство Чебышева: ;

;

Вычислим вероятность  с помощью функции распределения:

.

Полученный результат P=0.875 не противоречит оценке, найденной с помощью неравенства Чебышева P≥0,4. Различие результатов объясняется тем, что неравенство Чебышева дает лишь нижнюю границу оценки вероятности, а функция распределения уточняет оценку.

 

 

Задача 6. Расчетная графическая работа. «Обработка статистической информации».

Провести следующую  статистическую обработку результатов  измерения случайной величины  X приведённой в таблице:

 

88,23	72,31	112,10	132,75	112,24	97,61	65,88	145,33	83,77	68,96
83,19	87,62	104,10	92,02	103,57	93,63	74,22	91,43	94,53	158,16
128,29	112,70	85,77	94,60	114,79	101,02	89,98	63,81	65,67	51,89
95,90	107,91	87,61	89,79	82,46	124,71	107,09	83,48	110,12	102,75
120,07	82,74	100,70	99,74	107,02	139,37	125,89	91,88	41,53	77,19
109,29	99,10	92,94	84,83	76,53	90,96	102,38	119,13	86,97	120,05
61,40	75,84	80,35	112,84	96,03	73,65	92,28	57,80	99,39	86,03
65,66	75,73	131,95	114,61	77,10	114,10	126,26	116,26	85,96	79,09
112,88	86,94	89,90	112,79	130,46	122,25	92,85	96,39	115,75	80,72
100,72	98,31	107,17	104,58	104,53	115,35	126,32	96,12	92,64	133,95

 

1)Составить статистическое  распределение.

 

2)Найти выборочную  среднюю  , , .

 

3)Найти теоретические  или выравнивающие частоты 

 

4)В одной системе  координат построить эмпирическую кривую распределения – полигон  (ломаная) и кривую теоретического распределения.

 

5)Указать теоретическую  плотность распределения f(x).

 

6)С помощью критерия  согласия Пирсона , привести гипотезу  о нормальном распределении величины X при α=0,05.

 

7)Найти доверительный  интервал показывающий искомое  математическое ожидание с надёжностью  ϒ=0,95.

 

Решение:

1. Найдём шаг: 158,16-41,53=116,63;

 

	41,53-54,49	54,49-67,45	67,45-80,41	80,41-93,37	93,37-106,33	106,33-119,29	119,29-132,25	132,25-145,21	145,21-158,17
	2	6	11	26	21	19	10	3	2

 

 

 

 

								Φ(t)
48,01	2	-4	-8	32	18	-49,51	-2,33	0,0264	≈2
60,97	6	-3	-18	54	24	-36,55	-1,72	0,0909	≈6
73,93	11	-2	-22	44	11	-23,59	-1,11	0,2155	≈13
86,89	26	-1	-26	26	0	-10,63	-0,50	0,3521	≈21
99,85	21	0	0	0	21	2,33	0,11	0,3965	≈24
112,81	19	1	19	19	76	15,29	0,72	0,3079	≈19
125,77	10	2	20	40	90	28,25	1,33	0,1647	≈10
138,73	3	3	9	27	48	41,21	1,94	0,0608	≈4
151,69	2	4	8	32	50	54,17	2,54	0,0158	≈1
	∑=100		∑=-18	∑=274	∑=338				∑=100

 

; C=99,85 (ложный ноль)

Проверка:

2

            2·(-18) + 274 + 100 = 338 - верно.

 

2)

= -0,18;  =2,74.

D_в =[2.74-(-0.18)²] (12.96)² 454.78;

.

 

3) = ; 

   = = 60,76.

5) Обработка статистической информации проводилась в предположении нормального распределения X , варианты которой приводились в первой таблице.

f(x) = ;

a=M(x) ;

f(x)= ;

f(x)=

 

6) Провести гипотезу о нормальном определении величины Х можно с помощью критерия согласия Пирсона. Он заключается в сравнении двух числовых величин

  и

  = 0 + 0 + + + + 0 + 0 + + = = .

находим по таблице вход в которую  по параметру(K;α).

α=0,05 – по условию;

K-число степеней свободы;

S- число положенных связей=3.

K=r-S

K=9-3=6.

(6;0,05) 12,6;

12,6 гипотеза нормального распределения не отвергается.

 

7) Найдём доверительный интервал показывающий искомое математическое ожидание с надёжностью.

 < <

Y=0.95; n=100.

t (100; 0.95)= 1.984 (таблично значение).

97.52- 1.984· 97.52+ 1.984· ;

97.52 - 4.24< < 97.52 + 4.24;

93.28< < 101.76.

= 97.52 – верно.